专题08 奇偶性、对称性与周期性-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版

2/2专题08奇偶性、对称性与周期性（新高考专用）目录目录【知识梳理】 2【真题自测】 3【考点突破】 12【考点1】函数的奇偶性 12【考点2】函数的周期性及应用 16【考点3】函数的对称性 22【考点4】函数性质的综合应用 28【分层检测】 33【基础篇】 33【能力篇】 40【培优篇】 42考试要求：1.理解函数奇偶性的含义.2.了解函数的最小正周期的含义.3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.知识梳理知识梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1.函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a>0).2.对称性的四个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称；特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.真题自测真题自测一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．22．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（

）．A． B．0 C． D．13．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（

）A． B． C．0 D．14．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．5．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．6．（2021·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．二、多选题7．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点8．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．三、填空题9．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则．10．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数．①；②当时，；③是奇函数．11．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则.考点突破考点突破【考点1】函数的奇偶性一、单选题1．（2024·重庆·三模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B．C． D．2．（2024·广东佛山·一模）已知为奇函数，则在处的切线方程为（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2024·全国·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为奇函数，则下列说法中正确的是（

）A． B．C． D．4．（2024·湖南邵阳·模拟预测）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（

）A．是奇函数 B．C．的图象关于对称 D．三、填空题5．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为.6．（2024·广东佛山·二模）已知定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的实数x的取值范围为.反思提升：1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.2.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.3.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【考点2】函数的周期性及应用一、单选题1．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则（

）A． B．0 C．1 D．22．（21-22高三上·四川攀枝花·阶段练习）定义在R上的函数满足，且，则下列说法正确的是（

）A．的值域为B．图象的对称轴为直线C．当时，D．方程恰有5个实数解二、多选题3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数，及其导函数，的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则（

）A．为偶函数 B．的图象关于点对称C． D．4．（2024·广西·二模）已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（

）A．的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称C．函数的周期为2D．三、填空题5．（2024·山东枣庄·一模）已知为偶函数，且，则．6．（2024·宁夏银川·一模）若定义在上的函数满足是奇函数，，，则．反思提升：1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.【考点3】函数的对称性一、单选题1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知定义在R上的函数满足．若的图象关于点对称，且，则（

）A．0 B．50 C．2509 D．24992．（22-23高三上·辽宁营口·期末）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．二、多选题3．（2020·山东淄博·一模）已知函数是R上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（

）A．B．点是函数的图象的一个对称中心C．函数在上单调递增D．函数在上有3个零点4．（2024·全国·模拟预测）已知函数下列结论中正确的是（

）A．若，则是的极值点B．，使得C．若是的极小值点，则在区间上单调递减D．函数的图象是中心对称图形三、填空题5．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知函数的定义域为，且的图象关于点中心对称，若，则.6．（2024·宁夏固原·一模）已知定义在R上的函数满足对任意实数都有，成立，若，则．反思提升：对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称.(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，0))对称.(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))对称.【考点4】函数性质的综合应用一、单选题1．（2024·辽宁抚顺·一模）函数满足：当时，，是奇函数．记关于的方程的根为，若，则的值可以为（

）A． B． C． D．12．（2024·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（

）A． B．C． D．二、多选题3．（2024·河南开封·三模）已知函数的定义域为，且，，则（

）A． B．C．是周期函数 D．的解析式可能为4．（2024·全国·模拟预测）已知，，则（

）A． B．恒成立C． D．满足条件的不止一个三、填空题5．（2024·陕西西安·二模）已知函数满足，.则.6．（2023·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且当时，，则方程的所有解的和为.反思提升：1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1<x2(或x1>x2)求解.3.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.4.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.分层检测分层检测【基础篇】一、单选题1．（2023·福建福州·模拟预测）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知函数为偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．3．（2024·广东茂名·一模）函数和均为上的奇函数，若，则（

）A． B． C．0 D．24．（2024·全国·模拟预测）函数，则（

）A．2024 B． C．e D．二、多选题5．（2021·江苏连云港·模拟预测）函数的定义域为，且与都为奇函数，则（

）A．为奇函数 B．为周期函数C．为奇函数 D．为偶函数6．（23-24高一上·云南昆明·期中）函数，则下列结论正确的是（

）A． B．的值域为C．是偶函数 D．，7．（2024·全国·模拟预测）已知，，则（

）A．将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象B．将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象C．的图象与的图象关于直线对称D．的图象与的图象关于直线对称三、填空题8．（23-24高一下·内蒙古·期中）已知，函数是奇函数，则，．9．（2024·陕西西安·二模）已知定义域为的函数满足，且当时，，则.10．（2024·四川成都·模拟预测）函数，若，则.四、解答题11．（2023·陕西西安·模拟预测）已知奇函数在处取得极大值2.(1)求的解析式；(2)求在上的最值.12．（2020·广东中山·模拟预测）已知函数的定义域为，当时，，且对任意满足．（1）求的值；（2）判断的单调性，并加以说明；（3）当时，试比较与的大小．【能力篇】一、单选题1．（2024·山东济南·二模）已知函数的定义域为R，若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3二、多选题2．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且的图象关于点对称，，则下列结论正确的是（

）A．是偶函数B．的图象关于直线对称C．的最小正周期为4D．若，则三、填空题3．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列三个条件的函数的解析式．①；②；③的导数为且．四、解答题4．（2024·上海徐汇