专题06 圆（学生版）-2024年新高一（初升高）数学暑期衔接讲义

专题06圆【知识点梳理】知识点1：直线与圆的位置关系设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？图1观察图1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线.图2在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有.图3当直线与圆相切时，如图3，为圆的切线，可得，，且在中，.图4如图4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而.知识点2：点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于；同时，到定点的距离等于的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：(1)图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；(2)图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.从上面对圆的讨论，可以得出：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.【题型归纳目录】题型一：直线与圆的位置关系题型二：点的轨迹【典例例题】题型一：直线与圆的位置关系例1．(2023·安徽宿州·校考一模)如图，在中，，以为直径作，在上取一点，使，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点．(1)求证：直线是的切线；(2)若，，求的长．例2．(2023·浙江湖州·模拟预测)如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；(2)若，求的值．例3．(2023·新疆喀什·统考三模)如图，是的直径，C是上一点，过点C作的切线，于点D，延长交于点E，连接．

(1)求证：；(2)若，，求的半径长．变式1．(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)如图，内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，过点作的切线交于点．

(1)求证：；(2)若的半径为，，，求的长．变式2．(2023·河南商丘·统考三模)如图，中，，点为上一点，以点为圆心，以为半径的切于点，连接．

(1)求证：；(2)若，，求的长．变式3．(2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考三模)如图，在中，，点D为边的中点，以为直径作，分别与交于点E、F，过点E作于G．

(1)求证：是的切线；(2)若，的半径为5，求的长．变式4．(2023·广西贵港·统考三模)如图，要把残缺的圆片复原，可通过找到圆心的方法进行复原，已知弧上的三点A，B，C．

(1)用尺规作图法，找出弧所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在中，连接交于点E，连接，当时，求图片的半径R；(3)若直线l到圆心的距离等于，则直线l与圆________(填“相交”“相切”或“相离”)变式5．(2023·辽宁营口·统考二模)如图，内接于，是的直径，弦交于点E，连接．过点B作的切线，交延长线于点N．过点D作于点G，交于点F．

(1)若，求证：；(2)在(1)的条件下，若，，求的半径．变式6．(2023·浙江舟山·统考三模)如图1，在中，直径于点F，点E为上一点，点C为弧的中点，连接，交于点G．

(1)求证：；(2)如图2，过点C作的切线交BA的延长线于点Q，若，，求的长度；(3)在(2)的基础上，点P为上任一点，连接，的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．题型二：点的轨迹例4．(2023·河南郑州·河南省实验中学校考三模)综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．

(1)操作判断如图1，正方形纸片，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点．根据以上操作，请直接写出图1中与的数量关系：______．(2)迁移探究小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：如图2，在矩形纸片中，，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点，请求出的值，并说明理由；(3)拓展应用如图3，已知正方形纸片的边长为，动点由点向终点做匀速运动，动点由点向终点做匀速运动，动点、同时开始运动，且速度相同，连接、，交于点，连接，则线段长度的最小值为______，点的运动轨迹的长为______．(直接写出答案不必说明理由)例5．(2023·河北邯郸·校考三模)数学兴趣小组探究平面内横、纵坐标满足特定关系的动点的运动轨迹问题：(1)组长提出问题：动点随着t的变化形成的运动轨迹是什么?甲同学的思考：t取3个特殊值得到3个点坐标，发现3点在一条直线上，可以利用待定系数法求出该直线的表达式；乙同学的思考：令，，通过消去t得到y与x的函数关系式．______(填甲或乙)同学的方法更严谨，点运动轨迹的函数表达式为______；(2)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，Q为坐标系内一点且，点M从点A出发以每秒8个单位的速度沿x轴向左运动，同时点N从点O出发以每秒6个单位的速度沿y轴向上运动，点P是MN的中点，设运动时间为t.求点P的运动轨迹的函数表达式，并计算当时PQ的最小值；(3)老师给出坐标平面内两个动点：，.丙学说：点T、K的运动轨迹都是直线；丁同学说：点T、K在运动过程中不可能重合；请你判断两人结论是否正确并说明理由．例6．(2023·河南·河南省实验中学校考三模)综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动．(1)操作判断如图1，正方形纸片，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点．根据以上操作，请直接写出图1中与的数量关系：______．

(2)迁移探究小华将正方形纸片换成矩形纸片，继续探究，过程如下：如图2，在矩形纸片中，，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点，请求出的值，并说明理由．

(3)拓展应用如图3，已知正方形纸片的边长为2，动点由点向终点做匀速运动，动点由点向终点做匀速运动，动点、同时开始运动，且速度相同，连接、，交于点，连接，则线段长度的最小值为______，点的运动轨迹的长为______．(直接写出答案不必说明理由)

变式7．(2023·山东临沂·统考二模)“垃圾入桶，保护环境从我做起”，如图所示的是某款垃圾桶侧面展示图，，，桶盖可以绕点G逆时针方向旋转，当旋转角为时，桶盖落在的位置．(1)求在桶盖旋转过程中，点C运动轨迹的长度．(2)求点到地面的距离．(参考数据：)变式8．(2023·广东广州·九年级统考期末)如图，抛物线的图象与x轴交于点、与y轴交于点C，顶点为D．以为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接，点Q为的中点．(1)试用含a的代数式表示c；(2)若恒成立，求出此时该抛物线解析式；(3)在(2)的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径长．变式9．(2023·全国·九年级专题练习)“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米(即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离)．(1)求该圆的半径；(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？变式10．(2023·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考期末)如图：在平面直角坐标系中，点A、B、C都在格点上(1)画出关于原点对称的，并写出A、B、C三点关于原点对称的坐标、、．(2)画出绕原点O顺时针方向旋转90°得到的．并求点A运动到的轨迹的弧长．变式11．(2023·重庆梁平·九年级校联考期中)已知：，点B为x轴上的一动点，过点B作x轴的垂线交的垂直平分线于点P．(1)请利用图(1)进行探讨：若点，则点P的坐标为___________；若点，则点P的坐标为___________；若点时，点P的坐标为___________；(2)设，请列出y关于x函数关系式，并在图2中画出点P的运动轨迹l．(3)图2中，点，有动点G，；按下列要求作图，轨迹l与直线相交于点A，B(A点在左)，点Q为线段的中点，连接，直接写出线段的长度范围．【过关测试】一、单选题1．(2023·江苏无锡·九年级统考期中)已知线段的中点为，动点满足，则点的轨迹是(

)A．以为直径的圆 B．的延长线 C．的垂直平分线 D．平行的直线2．(2023·甘肃兰州·九年级校考阶段练习)如图，在矩形ABCD中，BC=2，将边BC绕点C按顺时针方向旋转一定角度，点B刚好落在边AD的中点E上，则点B的运动轨迹长为()A． B． C．π D．无法确定3．(2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)如图，点、、、在上，，，则点到的距离是()

A． B． C．2 D．34．(2023·贵州黔东南·统考二模)如图，点A，B，C在上，若，则等于(

)

A．100° B．110° C．120° D．140°5．(2023·新疆乌鲁木齐·校考二模)如图，四边形内接于．连接，若，则(

)

A．150° B．140° C．130° D．120°6．(2023·河北石家庄·统考二模)如图，点是的内心，过点作分别交于点，已知的周长为8，，的周长为，则表示与的函数图象大致是(

)

A．

B．

C．

D．

7．(2023·河北石家庄·统考二模)如图，的两条角平分线相交于O点，，，点P，Q分别为AC，BC上的点，且，甲、乙、丙三人有如下判断：甲：；乙：四边形OPCQ的面积是定值；丙：当时，的周长和面积均取得最小值．则下列说法正确的是(

)

A．甲正确，乙、丙错误 B．甲、乙正确，丙错误 C．甲错误，乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确8．(2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模)在中，，以为直径的与边交于点D，点E在上，且，若，，则的半径为(

)

A． B． C． D．9．(2023·广东深圳·深圳市福田区北环中学校考二模)如图，在中，，点在边上，过的内心作于点．若，，则的长为(

)

A．6 B．7 C．8 D．910．(2023·陕西宝鸡·统考一模)如图所示，内接于，点M为的内心，若，则的度数是(

)

A． B． C． D．二、填空题11．(2023·浙江温州·校联考二模)如图，直线与相切于点，过圆上一点作的垂线，垂足为，垂线段交于另一点，已知半径为3，，则弦的长为．

12．(2023·宁夏固原·校考二模)如图，直线是的切线，C为切点，交于点D，点E在上，连接，，，则的度数为_______．

13．(2023·贵州遵义·统考二模)已知内接于，它的内心为点D，连接交弦于点E，交于点F，已知，，，则线段的长为______．

14．(2023·安徽蚌埠·统考三模)如图，是内接四边形的一个外角，若，则的大小为__________．

15．(2023·四川泸州·统考一模)如图，在中，，，，以边的中点O为圆心，作半圆与相切，点P，Q分别是边(包括端点)和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的差是______．

三、解答题16．(2023·云南昆明·统考二模)矩形中，，点O是边BC上的一个动点(不与点B重合)，连接，将沿折叠，得到，再以O为圆心，长为半径作半圆，交射线于G，连接并处长交射线于F，连接，设．

(1)求证：是半圆O的切线；(2)当点E落在上时，求x的值；(3)当半圆O与的边有两个交点时，求x的取值范围．17．(2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测)如图，是的外接圆，，过点作，交于点，交于点，过作的切线，与的延长线相交于点．

(1)求证：(2)若的半径为2，，求的长．18．(2023·广西梧州·统考二模)如图，是的外接圆，是的直径，与关于对称，点C的对应点为点D，交于点E，连接交于点F．在C点作，交的延长线于点G．

(1)求证：；(2)求证：是的切线；(3)若，求的值．19．(2023·山西大同·校联考模拟预测)如图，已知内接于，且是的直径，

(1)实践与操作：请用尺规作图法作出的内心I；(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母)(2)推理与计算：连接并延长，与交于另一点D．若，，求的长．20．(2023·陕西西安·校考模拟预测)(1)问题提出：如图1，N为正方形内一点，连接，，点M在延长线上，连接，，若，则°；(2)问题解决：参观研学观光园是近年来兴起的一种研学旅行模式．如图2所示的五边形为某研学观光园的规划设计图．其中，，