2024-2025学年高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin（ωx φ）的图象（3）教学教案 新人教A版必修4

2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asin（ωxφ）的图象（3）教学教案新人教A版必修4学校授课教师课时授课班级授课地点教具教学内容分析本节课的主要教学内容是高中数学必修4第一章三角函数中的1.5节，重点探讨函数y=Asin(ωx+φ)的图象。教学内容与学生已有知识的联系在于，学生在之前的学习中掌握了正弦函数y=sin(x)的基本图象及性质，能识别A、ω、φ对正弦函数图象的影响。本节课将在此基础上，引导学生探究A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的具体影响，包括振幅、周期、左右平移等，并与教材中的例题和练习紧密结合，加深学生对三角函数图象变换的理解和应用。核心素养目标本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：一是数学抽象，通过观察和分析函数y=Asin(ωx+φ)的图象，抽象出影响图象变化的参数A、ω、φ的本质规律；二是逻辑推理，引导学生运用已知的正弦函数性质，推理出复合函数图象变换的规律；三是数学建模，使学生能够建立参数A、ω、φ与图象之间的数学模型，解决实际问题；四是数学运算，培养学生准确运用图象变换规律，进行具体的计算和图象绘制；五是数据分析，通过对图象变化规律的探究，提高学生分析数据、发现问题、解决问题的能力。这些核心素养目标与教材内容紧密结合，旨在提升学生的数学综合素质。学情分析本节课面向的是高中一年级的学生，他们在知识、能力、素质方面具备以下特点：

1.知识层面：学生在初中阶段已经接触过正弦函数的基本概念，对正弦函数的图象和性质有初步的了解。然而，对于函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，尤其是振幅A、角频率ω和相位φ对图象的具体影响，学生可能还缺乏系统的认识。此外，学生在之前的学习中可能对函数图象的平移、伸缩等变换有所了解，但将这些知识应用到三角函数中，还需要进一步引导和练习。

2.能力层面：学生在数学抽象和逻辑推理方面具备一定的基础，能够进行简单的数学推导和论证。然而，对于较为复杂的图象变换问题，学生可能需要在教师的引导下逐步培养分析和解决问题的能力。在数学建模和数学运算方面，学生需要加强实际问题的解决能力，以及准确、迅速地进行图象变换的计算。

3.素质层面：学生在团队合作、自主学习、探究思考等方面表现出不同水平的素质。一部分学生具备较强的自主学习能力，能够主动发现问题和解决问题；另一部分学生则较为依赖教师的引导，需要在课堂教学中逐步培养这些素质。此外，学生在课堂上的行为习惯也影响他们对课程学习的态度和效果，如专心听讲、积极发言、认真练习等。

对课程学习的影响：

1.知识层面：学生对正弦函数图象变换的掌握程度直接影响本节课的教学效果。为此，教师在教学过程中需要关注学生对基础知识的掌握情况，适时进行复习和巩固，以便为学生提供扎实的知识基础。

2.能力层面：学生在数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算和数据分析等方面的能力，决定了他们对本节课内容的接受程度和掌握水平。教师应针对学生的能力差异，设计不同难度的教学活动和问题，使学生在课堂上得到有效锻炼。

3.素质层面：学生的自主学习能力、团队合作精神、探究思考习惯等素质，对课程学习具有积极促进作用。教师应关注学生个体差异，激发学生的学习兴趣，培养他们良好的学习习惯，以提高课堂学习效果。

4.行为习惯：学生在课堂上的行为习惯，如认真听讲、积极参与、主动提问等，有助于提高学习效率。教师应关注学生的行为表现，适时进行指导和纠正，营造良好的课堂氛围。教学方法与手段1.教学方法：

(1)讲授法：针对函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换原理和性质，采用讲授法进行系统讲解，使学生掌握基本概念和理论知识。

(2)讨论法：在讲解过程中，教师提出引导性问题，鼓励学生积极参与讨论，促进学生之间的互动交流，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

(3)实验法：利用教学软件（如几何画板、数学软件等）进行函数图象变换实验，让学生通过动手操作，直观感受振幅、周期、相位等参数对图象的影响，培养学生的实践能力和探究精神。

2.教学手段：

(1)多媒体设备：运用多媒体课件展示函数图象变换的动态过程，使抽象的数学概念形象化、直观化，便于学生理解和记忆。

(2)教学软件：利用数学软件（如MATLAB、Mathematica等）进行函数图象绘制和变换，让学生在课堂上实时观察和操作，提高教学效果。

(3)网络资源：引导学生利用网络资源进行自主学习，查找与函数图象变换相关的资料，拓展知识面，培养学生的信息素养和自主学习能力。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对函数y=Asin(ωx+φ)图象变换的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道函数图象变换是什么吗？它在我们的生活中有什么作用？”

展示一些日常生活中的周期性现象图片或视频，如波浪、摆动等，让学生初步感受函数图象变换的魅力。

简短介绍函数图象变换的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。

2.基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解函数y=Asin(ωx+φ)的基本概念、组成和变换原理。

过程：

讲解函数y=Asin(ωx+φ)的定义，包括A、ω、φ的含义及其对图象的影响。

使用图表或示意图详细介绍振幅、周期、相位等概念，帮助学生理解图象变换的原理。

通过具体实例，让学生更好地理解函数图象变换在实际问题中的应用。

3.案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解函数y=Asin(ωx+φ)的特性和应用。

过程：

选择几个典型的函数图象变换案例进行分析，如音叉振动、电子信号等。

详细介绍每个案例的背景、变换过程和意义，让学生全面了解函数图象变换的多样性。

引导学生思考这些案例在现实生活和学术研究中的应用，以及如何运用函数图象变换解决实际问题。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与函数图象变换相关的主题进行深入讨论。

小组内讨论该主题的现有研究成果、挑战以及可能的解决方案。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对函数图象变换的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调函数图象变换的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括函数y=Asin(ωx+φ)的基本概念、变换原理、案例分析等。

强调函数图象变换在现实生活和学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用。

布置课后作业：让学生撰写一篇关于函数图象变换的短文或报告，以巩固学习效果。知识点梳理1.函数y=Asin(ωx+φ)的基本概念

-A、ω、φ的含义及其对函数图象的影响

-振幅A：决定图象的最大纵坐标值

-角频率ω：决定函数图象的周期，ω越大，周期越短

-相位φ：决定函数图象的水平平移

2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换

-振幅变换：图象在y轴方向上的伸缩

-周期变换：图象在x轴方向上的压缩或延长

-相位变换：图象在x轴方向上的平移

3.函数y=Asin(ωx+φ)的图象绘制

-基本步骤：确定A、ω、φ的值，绘制一个周期内的关键点，连接成平滑曲线

-利用五点法绘制正弦曲线

4.函数y=Asin(ωx+φ)的应用实例

-音叉振动图象

-电子信号图象

-物理中的简谐运动图象

5.函数图象变换在实际问题中的应用

-技术领域：信号处理、图像处理等

-自然科学领域：物理学、生物学等

-生活实例：音乐、波浪等

6.三角函数图象变换的性质

-伸缩变换：y=Asin(ωx)的图象在y轴方向上伸缩A倍，x轴方向上压缩（延长）1/ω倍

-平移变换：y=sin(ωx+φ)的图象在x轴方向上平移φ/ω个单位

7.三角函数图象变换的法则

-和差变换：y=A1sin(ω1x+φ1)±A2sin(ω2x+φ2)

-积变换：y=A1sin(ω1x+φ1)×A2sin(ω2x+φ2)

-商变换：y=(A1sin(ω1x+φ1))/(A2sin(ω2x+φ2))

8.数学建模：利用函数y=Asin(ωx+φ)解决实际问题

-建立数学模型：将实际问题转化为三角函数图象变换问题

-参数求解：根据实际问题求解A、ω、φ的值

-结果分析：分析结果在实际问题中的意义和作用课堂小结，当堂检测1.课堂小结

本节课我们学习了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，主要包括以下知识点：

-函数y=Asin(ωx+φ)的基本概念：A、ω、φ的含义及其对图象的影响。

-函数图象的振幅变换、周期变换和相位变换。

-函数图象的绘制方法，特别是五点法绘制正弦曲线。

-函数y=Asin(ωx+φ)在实际问题中的应用，如音叉振动、电子信号等。

-三角函数图象变换的性质和法则。

-数学建模：利用函数y=Asin(ωx+φ)解决实际问题。

通过本节课的学习，我们了解了三角函数图象变换的原理和应用，为解决实际问题奠定了基础。

2.当堂检测

为检验学生对本节课知识点的掌握情况，特设计以下检测题：

（1）填空题

1.函数y=Asin(ωx+φ)中，A表示______，ω表示______，φ表示______。

2.若函数y=3sin(2x)的图象向左平移π/4个单位，得到的新函数为______。

3.函数y=2sin(x)的图象在y轴方向上伸长到原来的2倍，新的函数表达式为______。

（2）选择题

1.下列哪个函数图象的周期最长？

A.y=sin(x)

B.y=sin(2x)

C.y=sin(1/2x)

D.y=sin(3x)

2.下列哪个函数图象的振幅最大？

A.y=2sin(x)

B.y=3sin(x)

C.y=4sin(x)

D.y=1sin(x)

（3）解答题

1.解释函数y=Asin(ωx+φ)的振幅变换、周期变换和相位变换的含义。

2.利用五点法绘制函数y=2sin(3x-π/6)的一个周期图象。

3.举例说明函数y=Asin(ωx+φ)在实际问题中的应用。

通过以上当堂检测，旨在帮助学生巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。教师可根据检测结果，针对学生的薄弱环节进行有针对性的辅导。典型例题讲解例1：绘制函数y=2sin(x)的图象。

解答：首先确定关键点，即x=0,π/2,π,3π/2,2π时的y值，分别为0,2,0,-2,0。连接这些点，得到一个周期内的正弦曲线。

2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换

例2：已知函数y=2sin(x)的图象，求函数y=2sin(2x)的图象。

解答：由于ω=2，周期变为原来的一半，即T=π。关键点为x=0,π/4,π/2,3π/4,π时的y值，分别为0,2,0,-2,0。连接这些点，得到新函数的图象。

3.函数y=Asin(ωx+φ)的实际应用

例3：一个音叉的振动方程为y=0.5sin(4πt)，求振动频率和周期。

解答：由于ω=4π，周期T=2π/ω=1/2。频率f=1/T=2Hz。

4.三角函数图象变换的性质

例4：已知函数y=3sin(2x+π/6)，求其振幅、周期和相位。

解答：振幅A=3，周期T=π/ω=π/2，相位φ=-π/6。

5.三角函数图象变换的法则

例5：求函数y=sin(x)+cos(x)的图象。

解答：利用和角公式，y=√2sin(x+π/4)。因此，新函数的图象在原函数的基础上向左平移π/4个单位。板书设计①重点知识点：

-函数y=Asin(ωx+φ)的定义及图象变换

-振幅A、角频率ω、相位φ对图象的影响

-函数图象的绘制方法

-三角函数图象变换的性质和法则

-数学建模：利用函数y=Asin(ωx+φ)解决实际问题

②重点词句：

-函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换：振幅变换、周期变换、相位变换

-振幅A：决定图象的最大纵