2023-2024学年四川省自贡市高一下学期期末考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省自贡市高一下学期期末考试数学试题一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分。1.在▵OMN中，ON−MN+A.0 B.2MO C.2OM 2.复数2+3i1+i对应的点(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用按比例分层抽样的方法，从高一、高二、高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试．已知高三年级有500人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高二年级抽取的人数为(

)A.40 B.35 C.30 D.254.水平放置的▵ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3,B′C′=2，则▵ABC的面积是(

)

A.4 B.5 C.6 D.75.若连续抛两次骰子得到的点数分别是m，n，则点Pm,n在直线x+y=8上的概率是(

)A.112 B.19 C.5366.在▵ABC中，B=30∘,b=2,c=22，则A.3+3 B.3+1 C.7.已知▵ABC中，AC⋅AB=0,2AD−AC−ABA.14CB B.34CB C.8.图1是唐朝著名的风鸟花卉纹浮雕银杯，它的盛酒部分可以近似地看作半球与圆柱的组合体(如图2).设这种酒杯内壁的表面积为Scm2，半球的半径为3cm

，若半球的体积不小于圆柱体积，则S的取值范围是A.[24π,+∞) B.(18π,24π] C.[30π,+∞) D.(18π,30π]9.设向量a,b满足a=b=1，且A.a⊥b B.a−b=2

C.b−3a=10.下列命题中真命题是(

)A.如果不同直线m、n都平行于平面α，则m，n一定不相交

B.如果不同直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定平行

C.如果平面α、β互相平行，若直线m⊂α，直线n⊂β，则m/​/n

D.如果平面α、β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β11.一家公司为了解客户对公司新产品的满意度，随机选取了m名客户进行评分调查，根据评分数进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出的频率分布直方图如图所示，其中有8名客户的评分数落在40,50内，则(

)

A.图中的a=0.005

B.m=200

C.同组数据用该组区间的中点值作代表，则评分数的平均数为76.2

D.该公司计划邀请评分数低于第25百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评分数为66，则甲将会被邀请参与产品改进会议二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z=1−3i，其中i为虚数单位，则z+2i=

．13.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一.正八面体由八个等边三角形构成，也可以看作由上、下两个正方锥体黏合而成，每个正方锥体由四个三角形与一个正方形组成.如图，在正八面体ABCDEF中，H是棱BC的中点，则异面直线HF与AB所成角的余弦值是

．14.如图在平面四边形ABCD中，∠CBA=∠CAD=90∘,∠ACD=30∘,AB=BC，点E在线段BC上满足BE=12EC，若三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(12分)某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，小李答对每道题目的概率为0.6，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是相互独立的．(1)用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间；(2)求小李最后通过面试的概率．16.(12分)已知向量a=3,2(1)证明：a−(2)c与λa+b17.(12分)我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水标准x(单位：t)，月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：t)，将数据按照0,0.5,0.5,1,⋅⋅⋅,(1)求频率分布直方图中a的值；若该市有200万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3t的人数；(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准xt，估计x的值．18.(12分)如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=60∘,E,F分别是AB,BC的中点，将△BEF沿EF折起，使点B到P的位置，且(1)若平面PAC∩平面PEF=l，判断AC与l的位置关系并说明理由；(2)求直线PE与平面ABCD所成角的正弦值；(3)求二面角D−PE−F大小的余弦值．19.(12分)在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．(1)若c−b=2bcosA，求证：(2)在(1)条件下，若A,B,C均为锐角，求1tan(3)若A,B为锐角且S▵ABC=6,sin2A+si参考答案1.A

2.A

3.B

4.C

5.C

6.D

7.B

8.D

9.AC

10.B

11.BCD

12.2613.314.334

15.解：(1)用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，样本点依次为Y,NY,NNY,NNN，故样本空间Ω=

(2)由题意，李明未通过的概率为P(NNN)=0.4×0.4×0.4=0.064，所以李明通过面试的概率为P=1−P(NNN)=1−0.064=0.936．16.解：(1)根据题意，a−则−1×3+1×3=0，所以a−

(2)c与λa+则c⋅解得λ<1若向量c//λa+b所以λ<17且17.解：(1)由题意可知：每组的频率依次为0.02,0.08,0.5a,0.2,0.26,0.5a,0.06,0.04,0.02，则0.02+0.08+0.5a+0.2+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.32；因为全市居民中月均用水量不低于3t的频率为0.06+0.04+0.02=0.12，所以估计全市居民中月均用水量不低于3t的人数为200×0.12=24万.

(2)因为0.12<0.15，0.12+0.16=0.28>0.15，可知x∈2.5,3，则0.12+0.323−x=0.1518.解：(1)l//AC，理由如下：由E,F分别是AB,BC的中点，得EF//AC，而EF⊂平面PEF，AC⊄平面PEF，则AC//平面PEF，又平面PAC∩平面PEF=l，AC⊂平面PAC，所以l//AC．

(2)令EF∩BD=G，连接PG，由ABCD是菱形，∠ABC=60∘，得则AC⊥BD，EF⊥BD,EF⊥PG，而PG∩BD=G,PG,BD⊂平面PBD，于是EF⊥平面PBD，又EF⊂平面ABCD，则平面PBD⊥平面ABCD，在平面PBD内过P作PQ⊥BD于Q，由平面PBD∩平面ABCD=BD，因此PQ⊥平面ABCD，连接EQ，则∠PEQ是直线PE与平面ABCD所成的角，在正▵PEF中，PE=2,PG=3，cos∠PGD=(于是PQ=PGsin∠PGB=4所以直线PE与平面ABCD所成角的正弦值是2

(2)在▵ADE中，DE即DE=27，显然DE2+P取PE,PD的中点O,M，连接FO,MO,FM，则MO//DE，有MO⊥PE,FO⊥PE，因此∠FOM是二面角D−PE−F的平面角，而FM=1则cos∠FOM=所以二面角D−PE−F大小的余弦值是2119.解：(1)因为c−b=2bcosA，由正弦定理可得又因为sinC=代入可得sinAcosB−因为0<A,B<π，则sinB>0，故0<A−B<π可得A−B=B或A−B+B=π，即A=2B或A=π(舍去)，所以A=2B．(2)因为▵ABC为锐角三角形，A=2B，所以C=π−3B，由题意可得0<B<π20<2B<因为1tan因为B∈π6,π4令sinA=t∈32,1且f32所以1tanB−

(3)因为sin可得sinA因为A,B为锐角，则有：若A>π2−B，即B>且y=sinx在可得sinA,si