2023-2024学年江西省重点中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江西省重点中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合M={x∈N|0<x<3}的子集的个数是(

)A.16 B.8 C.7 D.42.命题“∃x0>0，x0A.∃x0≤0，x02−2x0−7≤0 B.∃x0>03.若f(x+1)=x，且f(x)=5，则x=(

)A.6 B.7 C.8 D.94.设a=(0.8)0.5，b=(0.5)0.8，c=(0.5)0.5，则a，bA.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.b>c>a5.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s(m)与时间t(s)之间的函数关系式为s=sin2t+t，则t=2时，此木块在水平方向的瞬时速度为(

)A.(1+2cos4)m/s B.2cos4m/s C.(2+cos4)m/s D.cos4m/s6.已知等差数列{an}，则“k=9”是“a7+A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要7.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温25℃下，某种绿茶用85℃的水泡制，经过xmin后茶水的温度为y℃，且y=k⋅0.9227x+25(x≥0,k∈R).当茶水温度降至60℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为(

)

(参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，A.6min B.7min C.8min D.9min8.已知函数f(x)=x+1ex.若过点P(−1,m)可以作曲线y=f(x)三条切线，则mA.(0,4e) B.(0,8e)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知−1<a<6，3<b<8，则下列结果正确的有(

)A.−13<ab<2 B.2<a+b<1410.已知函数f(x)=lg(x2A.当a=0时，函数f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)

B.函数f(x)有最小值

C.当a=0时，函数f(x)的值域为R

D.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(−∞,−3]11.函数f(x)=[x]称为取整函数，也称高斯函数，其中[x]表示不大于实数x的最大整数，例如：[−3.5]=−4，[2.1]=2，则下列命题正确的是(

)A.函数f(x)=[x]为偶函数

B.函数y=x−[x](x∈R)的值域为[0,1)

C.若[x]=2，则x+12(x−1)的最小值为52

D.不等式三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=log2x,x>0(113.已知数列{an}的前n项和为Sn,an14.设函数f(x)是定义域为R的奇函数，且∀x∈R，都有f(x)−f(2−x)=0.当x∈(0,1]时，f(x)=lnx+2x−1，则函数f(x)在区间[12,四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知集合A={x|x2−x−6>0}，B={x|lgx<1}．

(1)求(∁RA)∪B；

(2)设集合C={x|a−1<x<2a−3}16.(本小题15分)

已知关于x的函数f(x)=(λ−λ2)4x+2x，其中λ∈R．

(1)当λ=12时，求f(x)的值域；

(2)若当x∈(−∞,2]17.(本小题15分)

某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季(其中B，C区域的形状、大小完全相同).设矩形花园的一条边长为xm，鲜花种植的总面积为Sm2．

(1)用含有x的代数式表示a，并写出x的取值范围；

(2)18.(本小题17分)

已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an−n+1.记bn=an−n．

(1)证明：数列{bn}为等比数列；

(2)求数列{a19.(本小题17分)

已知函数f(x)=2lnx+ax,a∈R．

(1)当a=0时，求函数f(x)极值；

(2)讨论f(x)在区间[1,e]上单调性；

(3)若f(x)≤xex+参考答案1.D

2.D

3.A

4.A

5.A

6.A

7.B

8.A

9.AB

10.AC

11.BCD

12.8

13.6

14.6

15.解：因为A={x|x2−x−6>0}={x|x>3或x<−2}，B={x|lgx<1}={x|0<x<10}．

(1)所以∁RA={x|−2≤x≤3}，

故(∁RA)∪B={x|−2≤x<10}；

(2)集合C={x|a−1<x<2a−3}，

若A∪C=A，则C⊆A，

当C=⌀时，a−1≤2a−3，即a≥2，

当C≠⌀时，a<22a−3≤−2或a−1≥3，解得16.解：(1)当λ=12时，f(x)=14⋅4x+2x，

∵2x>0，14⋅4x>0，

∴f(x)>0，f(x)的值域为(0,+∞)；

(2)当x∈(−∞,2]时，函数f(x)的图象总在直线y=−2的上方，⇔f(x)>−2在x∈(−∞,2]上恒成立，

即λ−λ2>−[2⋅(14)x+(12)x]在x∈(−∞,2]17.解：(1)设矩形花园的长为ym，

因为矩形花园的总面积为750m2，所以xy=750，解得y=750x，

又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得2a+3=750x，解得a=375x−32，

即a关于x的关系式为a=375x−32,3<x<250；

(2)由(1)知，a=375x−32，

则S=(x−2)a+(x−3)a

=(2x−5)(37518.证明：(1)由an+1=2an−n+1，得an+1−(n+1)=2(an−n)，而a1=2，则a1−1=1，

又bn=an−n，因此bn+1=2bn，b1=1，

所以数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列．

解：(2)由(1)得，bn=2n−1，则anbn=bn+nbn=1+19.解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，

当a=0时，f(x)=2lnxx，

求导得f′(x)=2(1−lnx)x2，由f′(x)=0，得x=e，

由f′(x)>0，得0<x<e，由f′(x)<0，得x>e，

因此f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，

∴f(x)在x=e处取得极大值f(e)=2e，无极小值．

(2)由f(x)=2lnx+ax⇒f′(x)=2−a−2lnxx2，

在x∈[1,e]时，2lnx∈[0,2]，

若a≤0⇒2−a−2lnx≥0，f′(x)≥0，即f(x)在区间[1,e]上单调递增；

若a≥2⇒2−a−2lnx≤0，f′(x)≤0，即f(x)在区间[1,e]上单调递减；

若0<a<2，令f′(x)>0⇒x<e1−a2，令f′(x)<0⇒x>e1−a2，

可知f(x)在(1,e1−a2)上单调递增，在