新教材2024年秋高中数学第4章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算第1课时对数的运算教师用书含答案新人教A版必修第一册

4.3.2对数的运算第1课时对数的运算1．驾驭积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件．(逻辑推理)2．会运用运算性质进行一些简洁的化简与证明．(数学运算)(1)计算log24，log28及log232的值，你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗？(2)计算lg10，lg100，lg1000及lg104的值，你能发觉什么规律？学问点对数的运算性质假如a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaMN＝logaM－logaN(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．三条运算性质成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)log2x2＝2log2x． ()(2)loga[(－2)×(－3)]＝loga(－2)＋loga(－3)． ()(3)logaM·logaN＝loga(M＋N)． ()[答案](1)×(2)×(3)×类型1对数的运算性质【例1】(源自人教B版教材)用logax，logay，logaz表示下列各式：(1)logaxyz(2)loga(x3y5)；(3)logax2[解](1)logaxyz＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz(2)loga(x3y5)＝logax3＋logay5＝3logax＋5logay．(3)logax2y3z＝loga(＝logax2＋logay＝2logax＋12logay－13loga求解此类问题的步骤第一步：看对数式的真数部分的组成形式：积、商还是幂；其次步：用对数的运算性质拆解，即把对数式分解成对数式的和、差形式；第三步：逆用运算性质，检验算式是否正确．[跟进训练]1．求下列各式的值：(1)log3(27×92)；(2)lg5＋lg2；(3)ln3＋ln13；(4)log35－log315[解](1)法一：log3(27×92)＝log327＋log392＝log333＋log334＝3log33＋4log33＝3＋4＝7．法二：log3(27×92)＝log3(33×34)＝log337＝7log33＝7．(2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1．(3)ln3＋ln13＝ln3×13＝(4)log35－log315＝log3515＝log313＝log33-1＝－类型2带有附加条件的对数式求值【例2】(源自苏教版教材)已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，求下列各式的值(结果保留4位小数)：(1)lg12；(2)lg2716[解](1)lg12＝lg(22×3)＝lg22＋lg3＝2lg2＋lg3≈2×0.3010＋0.4771＝1.0791．(2)lg2716＝lg33－lg24＝3lg3－4lg2≈3×0.4771－4×0.3010＝0.2273对数式表示的两种方式(1)(2)[跟进训练]2．已知log32＝a，3b＝5，用a，b表示log330．[解]由3b＝5，得log35＝b．∴log330＝log33012＝＝12log35＋12log36＝12b＋12log32＝12b＋12a类型3利用对数的运算性质化简、求值【例3】计算下列各式的值：(1)12lg3249－43lg8＋(2)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2(3)lg2[解](1)原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋1＝12lg2＋1＝12(lg2＋＝12＝12(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3．(3)原式＝12lg2+lg9-1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于困难的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法：(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；(2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．[跟进训练]3．求下列各式的值：(1)lg25＋lg2·lg50；(2)23lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25[解](1)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1．(2)23lg8＋lg25＋lg2·lg50＋＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3．1．(2024·江苏淮安中学期中)下列等式成立的是()A．log223＝3log22B．log2(8＋4)＝log28＋log24C．log2(8－4)＝log28－log24D．log28log2A[对于A，log223＝3log22，故A正确；对于B，log2(8＋4)＝log212，故B错误；对于C，log2(8－4)＝log24＝log222＝2log22＝2，故C错误；对于D，log28log故选A．]2．已知lg3＝a，lg7＝b，则lg349的值为(A．a－b2B．a－2bC．b2aDB[∵lg3＝a，lg7＝b，∴lg349＝lg3－lg49＝lg3－2lg7＝a－2b．3．2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4C[2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2．故选C．]4．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，下列各式：(1)(logax)n＝nlogax；(2)(logax)n＝logaxn；(3)logax＝－loga1x(4)nlogax＝1nlogax；其中正确的有________．(填序号)(3)(5)[依据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确．]回顾本节学问，自主完成以下问题：1．对数有哪些运算性质？[提示](1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaMN＝logaM－logaN3logabm＝mlogab．(其