2024陕西中考数学二轮重点专题研究 微专题 常考锐角三角函数测量问题（课件）

微专题常考锐角三角函数测量问题考向一解一个直角三角形满分技法第1题图1.(2022台州)图①是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图②是其示意图．支撑杆AB垂直于地面l,活动杆CD固定在支撑杆上的点E处，若∠AED＝48°，BE＝110cm,DE＝80cm,求活动杆端点D离地面的高度DF.(结果精确到1cm,参考数据：sin48°≈0.74,cos48°≈0.67,tan48°≈1.11)∵DF⊥l，AB⊥l，EG⊥DF，∴∠GFB＝∠EBF＝∠EGF＝90°，∴四边形BEGF是矩形，∴DF∥AB，GF＝EB＝110，∴∠D＝∠AED＝48°.在Rt△DEG中，DE＝80，∠D＝48°，∴DG＝DE·cos48°≈80×0.67＝53.6，∴DF＝DG＋GF＝53.6＋110＝163.6≈164，∴活动杆端点D离地面的高度DF约为164cm.解：如图，过点E作EG⊥DF于点G，G第1题图满分技法基本图形：

解题思路：作BP⊥AC，构造出Rt△ABP和矩形DCPB第2题图考向二背靠背型2.如图，A，B两地被一个小岛隔开，A地在B地的正东方向，从A地到B地需先到达C地，然后再前往B地，C地既位于A地的西北方向，又位于B地的北偏东65°方向，B，C之间的距离为15海里，求A，B两地之间的距离．(结果精确到1海里，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41)解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，由题意可知∠BCD＝65°，∠ACD＝45°，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝65°，∴＝sin65°，

＝cos65°，∴BD＝BC·sin65°，CD＝BC·cos65°，在Rt△ACD中，∵∠ACD＝45°，∴AD＝CD，∴AB＝AD＋BD＝15·cos65°＋15·sin65°≈20.答：A，B两地之间的距离约为20海里．D第2题图第3题图3.(2023陕师大附中模拟)如图，图②是图①秋千的侧面示意图，秋千的静止状态为OC.已知AB与地面平行，OD、OE是其在摆动过程中的两个位置，其中∠AOD＝65°，∠BOE＝40°，点E相对于点D秋千升高了30cm(即EN－DM＝30cm，其中DM⊥MN于点M，EN⊥MN于点N)，求该秋千摆绳OC的长度．(结果精确到0.1cm.参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77)由题意可得，HF＝30cm，∵∠AOD＝65°，∠BOE＝40°，∴∠FOD＝25°，∠HOE＝50°，∴OF＝OD·cos∠FOD，OH＝OE·cos∠HOE.∵HF＝OF－OH，∴30＝OD·cos∠FOD－OE·cos∠HOE，∵OD＝OE＝OC，∴30＝OC·cos25°－OC·cos50°，解得OC≈111.1cm，即该秋千摆绳OC的长度约为111.1cm.解：如图，过点D作DF⊥OC于点F，过点E作EH⊥OC于点H，HF第3题图满分技法基本图形：

解题思路：通过在三角形内部作高CP，构造出Rt△ACP和Rt△BCP，其中公共边CP为解题的关键，AP＋BP＝AB图形演变：

解题思路：通过在三角形内部作高CP，构造出Rt△ACP，Rt△BCP和矩形CPAD，其中公共边CP为解题的关键满分技法4.如图，某建筑物AB顶部有一信号塔BC，且点A、B、C在一条直线上，某同学为了测量建筑物的高度，在地面的D处测得信号塔下端B的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的E处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，已知AC⊥AD，信号塔BC的高度为6米，求建筑物AB的高度．(结果精确到1米，参考数据：≈1.73)第4题图考向三母子型解：根据题意得DE＝8，BC＝6，∠D＝30°，∠AEC＝45°，设AB＝x，则AC＝x＋6，在Rt△ABD中，AD＝

，在Rt△AEC中，AE＝AC＝x＋6，∵AD＝AE＋ED，∴x＝x＋6＋8，解得x≈19.答：建筑物AB的高度约为19米．第4题图第5题图5.(人教九下P84复习题28T8改编)如图，甲、乙两建筑物中间有一花园，小明和小亮想利用所学的知识测量两个建筑物之间的距离，小明先在甲建筑物底部B处测得乙建筑物顶部D的仰角为60°，然后回到家中，在家中的阳台E处测得乙建筑物顶部D的仰角为45°，已知点E与点B之间的距离约为36m，A、E、B三点共线，且AB，CD均垂直于BC，求两个建筑物之间的距离BC.(结果保留根号)

则四边形BEFC为矩形，∴CF＝BE＝36，EF＝BC.设BC＝x，则EF＝x.在Rt△BCD中，∵∠DBC＝60°，∴CD＝

BC＝

x，在Rt△DEF中，∵∠DEF＝45°，∴DF＝EF＝x，∴x－x＝36，解得x＝18＋18.∴两个建筑物之间的距离BC为(18＋18)m.解：如图，过点E作EF⊥CD于点F，第5题图F满分技法基本图形：

解题思路：通过在三角形外部作高BP，构造出Rt△ABP和Rt△BCP，其中公共边BP为解题的关键，AC＋CP＝AP图形演变1：解题思路：延长DC交AB的延长线于点P，构造出Rt△ACP和Rt△BDP图形演变2：解题思路：延长AE交CD于点P，构造出Rt△ACP，Rt△CEP和矩形APDB、矩形AEFB、矩形PEFD满分技法第6题图6.(2021内江)在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度i＝1∶4，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°.在E处测得树CD顶部D的仰角为60°，求树高CD.(结果保留根号)考向四拥抱型解：如图，过点B作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC为矩形，BF＝AC.∵斜坡BE的坡度为1∶4，AE＝8，∴AB＝2.设DF＝x，在Rt△DBF中，∵tan∠DBF＝

，∴BF＝

.第6题图F

在Rt△DCE中，∵DC＝x＋CF＝x＋2，tan∠DEC＝

，∴EC＝

.∵BF－CE