2024-2025学年高一数学(人教A版2019必修第一册)2.2基本不等式(第1课时)(分层作业)(原卷版+解析)

2.2基本不等式（第1课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2023·广东·江门市广雅中学高一期中）函数的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）已知正数满足，则的最大值（

）A． B． C． D．3．（2023·吉林·延边二中高一阶段练习）若，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．4．（2023·全国·高一专题练习）若实数，满足，且.则下列四个数中最大的是（

）A． B． C． D．5．（2023·江苏·星海实验中学高一阶段练习）若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）.则不正确的不等式的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．36．（2023·湖北黄石·高一期中）若，则函数的最小值为（

）A．4 B．5 C．7 D．97．(2023·青海青海·高一期末）已知x，y都是正数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．1二、多选题8．（2023·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一期中）已知，且.则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．9．(2023·江西·高一期末）已知，，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．10．(2023·全国·高一课时练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则三、填空题11．(2023·广西柳州·高一期末）若，则的最小值为___________.12．(2023·四川·成都七中高一期末）已知点在直线上，当时，的最小值为______．13．(2023·福建省龙岩第一中学高一阶段练习）若函数在区间上的最小值为3，则的最大值为________．14．（2023·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）已知，，且满足，则的最大值为__________.15．(2023·全国·高一）已知，，，则在下列不等式①；②；③；④；⑤其中恒成立的是___________.（写出所有正确命题的序号）16．（2023·江苏·高一单元测试）若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是________（填序号）.①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.四、解答题17．（2023·全国·高一专题练习）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：18．(2023·全国·高一）已知，求证.19．（2023·江苏·高一课时练习）证明：（1）；（2）.20．(2023·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）请解决下列两个问题：(1)求函数的最小值；(2)已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式0的解集.21．(2023·江苏省如皋中学高一期末）已知集合．(1)设，求的取值范围；(2)对任意，证明：．22．(2023·全国·高一课时练习）（1）设，求的最大值；（2）已知，，若，求的最小值．23．(2023·全国·高一课时练习）（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值．24．(2023·全国·高一单元测试）若，，求证：．25．（2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）（1）证明：若，，则．（2）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：【能力提升】一、单选题1．(2023·全国·高一课时练习）若，则有（

）A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值2．（2023·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习）在商丘一高新校区某办公室有一台质量有问题的坏天平，某物理老师欲修好此天平，经仔细检查发现天平两臂长不等，其余均精确，有老师要用它称物体的质量，他将物体放在左、右托盘各称一次，取两次称重结果分别为，，设物体的真实质量为，则(

)A． B． C． D．3．（2023·辽宁·沈阳二中高一阶段练习）若a，b，c均为正实数，则三个数，，（

）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于24．(2023·广东·华南师大附中高一期末）若正实数满足，则（

）A．有最大值 B．有最大值4C．有最小值 D．有最小值25．(2023·湖北恩施·高一期末）若，，则的最小值是（

）A．16 B．18 C．20 D．22二、多选题6．(2023·全国·高一课时练习）2022年1月，在世界田联公布的2022赛季首期各项世界排名中，我国一运动员以1325分排名男子100米世界第八名，极大地激励了学生对百米赛跑的热爱．甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为，，．甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑．其中，．则下列结论中一定成立的是（

）A． B．C． D．7．（2023·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）设a＞0，b＞0，则（

）A． B．C． D．8．（2023·辽宁·高一期中）下列说法中，正确的有（

）A．的最小值是2B．的最小值是2C．若，，，则D．若，，，则9．（2023·新疆·沙湾县第一中学高一期中）下列命题正确的是（

）A．，B．若，则的最小值为4C．若，则的最小值为3D．若，则的最大值为2三、填空题10．(2023·全国·高一课时练习）当时，求函数的值域为________．11．(2023·全国·高一课时练习）若，，，则当______时，取得最小值．12．(2023·吉林·长春市第二中学高一期末）已知，，且，则的最小值为________.13．(2023·广东广州·高一期末）在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______四、解答题14．(2023·全国·高一课时练习）已知均为正实数．(1)求证：．(2)若，证明：．15．(2023·全国·高一课时练习）已知a，b，c均为正实数，求证：(1)；(2)．16．（2023·河南·高一期中）已知、、都是正数．(1)求证：；(2)若恒成立，求实数的取值范围．17．(2023·全国·高一课时练习）某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目，年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来万元的收入．假设到第年年底，该项目的纯利润为万元．（纯利润累计收入总维修保养费用投资成本）(1)写出纯利润的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．(2)若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：①年平均利润最大时，以万元转让该项目；②纯利润最大时，以万元转让该项目．你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．18．（2023·全国·高一专题练习）（1），比较与的大小；（2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值.19．（2023·全国·高一专题练习）已知,且.证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）.2.2基本不等式（第1课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2023·广东·江门市广雅中学高一期中）函数的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：D分析：利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为，所以，当且仅当，即时取等号；故选：D2．(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）已知正数满足，则的最大值（

）A． B． C． D．答案：B分析：直接使用基本不等式进行求解即可.【详解】因为正数满足，所以有，当且仅当时取等号，故选：B3．（2023·吉林·延边二中高一阶段练习）若，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．答案：B分析：利用不等式的性质及基本不等式比较.【详解】因为，则，又，所以.故选：B.【点睛】本题考查不等关系及基本不等式的运用．属于简单题．4．（2023·全国·高一专题练习）若实数，满足，且.则下列四个数中最大的是（

）A． B． C． D．答案：B分析：利用基本不等式的性质比较大小即可.【详解】由题知：，且，所以，，故排除D.因为，故排除A.因为，故排除C.故选：B5．（2023·江苏·星海实验中学高一阶段练习）若，有下面四个不等式：（1）；（2），（3），（4）.则不正确的不等式的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C分析：由已知结合不等式的性质可以推理得到（1）不正确，（4）不正确，（3）正确；由基本不等式可判断（2）正确．【详解】因为，所以，成立，所以（1）不正确，（4）不正确；因为，所以（3）正确；都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正确．故选：C6．（2023·湖北黄石·高一期中）若，则函数的最小值为（

）A．4 B．5 C．7 D．9答案：C分析：利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为；故选：C7．(2023·青海青海·高一期末）已知x，y都是正数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．1答案：B分析：利用基本不等式求解.【详解】因为，所以．因为x，y都是正数，由基本不等式有：，所以，当且仅当即时取“＝”．故A，C，D错误.故选：B．二、多选题8．（2023·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一期中）已知，且.则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．答案：AC分析：结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】当时，，所以BD选项错误.A，，当且仅当时，等号成立，A正确.C，，，当且仅当时，等号成立，C正确.故选：AC9．(2023·江西·高一期末）已知，，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．答案：ACD分析：根据不等式的性质判断A，B，根据比较法判断C，根据基本不等式判断D.【详解】对于A，因为，，所以，所以A正确；对于B，由，当时，，所以B不正确；对于C，因为，，所以，故，所以C正确；对于D，因为，所以均值不等式得，所以D正确；故选：ACD.10．(2023·全国·高一课时练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则答案：ABC分析：根据不等式的性质，或者做差法，即可判断选项.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，若，，则，即，故C正确；对于D，当，时，满足，但，故D不正确．故选：ABC．三、填空题11．(2023·广西柳州·高一期末）若，则的最小值为___________.答案：0分析：构造，利用基本不等式计算即可得出结果.【详解】由，得，所以，当且仅当即时等号成立.故答案为：012．(2023·四川·成都七中高一期末）已知点在直线上，当时，的最小值为______．答案：分析：利用均值不等式求解即可.【详解】因为点在上，所以.所以，当且仅当时等号成立.故答案为：13．(2023·福建省龙岩第一中学高一阶段练习）若函数在区间上的最小值为3，则的最大值为________．答案：分析：先根据一次函数单调性及最小值求出，再利用基本不等式“和定积最大”，求解最大值.【详解】单调递增，所以在区间[1，2]上，所以，因为，所以当且仅当时，等号成立.故答案为：14．（2023·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）已知，，且满足，则的最大值为__________.答案：分析：根据基本不等式求解即可【详解】因为，，且满足，则当且仅当时取等号，所以的最大值为3.故答案为：15．(2023·全国·高一）已知，，，则在下列不等式①；②；③；④；⑤其中恒成立的是___________.（写出所有正确命题的序号）答案：①②④分析：对①，可以利于基本不等式证明；对于②③④⑤可以分析判断得解.【详解】①，（当且仅当时等号成立），所以正确；②，要证，只需证只需证，显然成立，所以正确；③，只需证只需证只需证，与已知不符，所以错误；④，要证，只需证只需证，显然成立，所以正确；⑤，要证，只需证只需证只需证只需证，与①不符，所以错误.故答案为：①②④16．（2023·江苏·高一单元测试）若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是________（填序号）.①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.答案：④分析：结合基本不等式进行逐个判定，①③直接利用基本不等式可判定正误，②④通过变形可得正误.【详解】因为（当且仅当a＝b时，等号成立），即≤2，ab≤4，，故①③不成立；，故②不成立；故④成立.故答案为：④.四、解答题17．（2023·全国·高一专题练习）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：分析：对不等式左侧每个因式应用基本不等式即可得到结论.【详解】都是正数，（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号），即.18．(2023·全国·高一）已知，求证.分析：直接写出三个重要不等式相加即得证.【详解】∵，①，②，③①+②+③得；.∴(当且仅当等号成立).19．（2023·江苏·高一课时练习）证明：（1）；（2）.分析：（1），利用基本不等式即可证明.（2），利用基本不等式即可证明.【详解】（1），当且仅当时，即时，等号成立.（2），当且仅当时取等号，此时，显然的值不存在，所以等号不成立，所以.20．(2023·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）请解决下列两个问题：(1)求函数的最小值；(2)已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式0的解集.答案：(1)8；(2)分析：利用基本不等式求函数的最小值易知，是方程的解，求出就可求出下一个不等式的解.（1），当且仅当时，等号成立.故的最小值为8.（2）因为关于的不等式的解集为，所以方程的实数根为和3，所以，代入不等式，得，解得.故不等式的解集为.21．(2023·江苏省如皋中学高一期末）已知集合．(1)设，求的取值范围；(2)对任意，证明：．答案：(1)(2)证明见解析分析：（1）依题意可得，，再根据二次函数的性质计算可得；（2）依题意，再结合（1）即可证明.（1）解：若，又，则，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，

故的取值范围为．（2）证明：，当且仅当时取等号．22．(2023·全国·高一课时练习）（1）设，求的最大值；（2）已知，，若，求的最小值．答案：（1）；（2）．分析：（1）将转化为，用基本不等式求最大值即可；（2）将变形为，整理后用基本不等式求最值.【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为；（2）因为，，所以，．又，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．23．(2023·全国·高一课时练习）（1）已知，求的最小值；（2）已知，求的最大值．答案：（1）9；（2）．分析：（1）由于，则，然后利用基本不等式求解即可，（2）由于，变形得，然后利用基本不等式求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为9．（2）因为，所以，当且仅当，即时取等号，故的最大值为．24．(2023·全国·高一单元测试）若，，求证：．分析：连续使用两次基本不等式即可求证【详解】因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立．又，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当，即时取等号．25．（2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）（1）证明：若，，则．（2）利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：分析：（1）利用不等式的性质证明即可，（2）根据题意利用基本不等式可得，，，再利用不等式的性质可证得结论【详解】（1）证明：因为，，所以，，所以，即，所以，得证；（2）因为都是正数，所以（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；（当且仅当时取等号）；所以（当且仅当时取等号），即．【能力提升】一、单选题1．(2023·全国·高一课时练习）若，则有（

）A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值答案：D分析：根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故有最大值．故选：D.2．（2023·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习）在商丘一高新校区某办公室有一台质量有问题的坏天平，某物理老师欲修好此天平，经仔细检查发现天平两臂长不等，其余均精确，有老师要用它称物体的质量，他将物体放在左、右托盘各称一次，取两次称重结果分别为，，设物体的真实质量为，则(

)A． B． C． D．答案：C分析：利用杠杆原理和基本不等式即可求解.【详解】设天平的左、右臂长分别为，，物体放在左、右托盘称得的质量分别为，，真实质量为，由杠杆平衡原理知：，，由上式得，即，由于，故，由基本不等式，得.故选：C.3．（2023·辽宁·沈阳二中高一阶段练习）若a，b，c均为正实数，则三个数，，（

）A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2答案：D分析：对于选项ABC可以举反例判断，对于选项D,可以利用反证法思想结合基本不等式，可以确定，，至少有一个不小于2，从而可以得结论．【详解】解：A.都不大于2，结论不一定成立，如时，三个数，，都大于2，所以选项A错误；B.都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如则，所以选项B错误；C.至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都大于2，如时，三个数，，都大于2，所以选项C错误.由题意，∵a，b，c均为正实数，∴．当且仅当时，取“=”号，若，，，则结论不成立，∴，，至少有一个不小于2，所以选项D正确；故选：D．4．(2023·广东·华南师大附中高一期末）若正实数满足，则（

）A．有最大值 B．有最大值4C．有最小值 D．有最小值2答案：A分析：结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项的结论是否成立即可.【详解】因为正实数满足所以，当且仅当，，即取等号，故A正确、C错误．，当且仅当，，即取等号，故B、D错误．故选：A5．(2023·湖北恩施·高一期末）若，，则的最小值是（

）A．16 B．18 C．20 D．22答案：C分析：化简，再根据基本不等式求最小值即可【详解】因为，，所以(当且仅当时，等号成立)，所以的最小值是20.故选：C二、多选题6．(2023·全国·高一课时练习）2022年1月，在世界田联公布的2022赛季首期各项世界排名中，我国一运动员以1325分排名男子100米世界第八名，极大地激励了学生对百米赛跑的热爱．甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为，，．甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑．其中，．则下列结论中一定成立的是（

）A． B．C． D．答案：AC分析：首先利用时间和速度的关系表示三人的时间，再利用不等式的关系，结合选项，比较大小，即可判断选项.【详解】由题意，所以，，，根据基本不等式可知，故，当且仅当时等号全部成立，故A选项正确，B选项错误；，故C选项正确；，故D选项错误．故选：AC．7．（2023·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）设a＞0，b＞0，则（

）A． B．C． D．答案：ACD分析：A.利用基本不等式判断；B.利用作差法判断；C.利用基本不等式判断；D.利用作差法判断.【详解】A.，当且仅当时，等号成立，故正确；B.因为，正负不定，故错误；C.，当且仅当，时，等号成立，故正确；D.，故正确；故选：ACD8．（2023·辽宁·高一期中）下列说法中，正确的有（

）A．的最小值是2B．的最小值是2C．若，，，则D．若，，，则答案：CD分析：利用不等式的性质及基本不等式逐项分析即得.【详解】对于A，当时，，故A错误；对于B，，当且仅当，即时取等号，显然不可能，故B错误；对于C，由，可得，即，故C正确；对于D，由，，，可知，所以，故D正确.故选：CD.9．（2023·新疆·沙湾县第一中学高一期中）下列命题正确的是（

）A．，B．若，则的最小值为4C．若，则的最小值为3D．若，则的最大值为2答案：AD分析：由配方法和基本不等式依次判断4个选项即可.【详解】对于A，，A正确；对于B，若，则，当且仅当即时取等，B错误；对于C，，当且仅当时取等，由于无解，则的最小值取不到3，C错误；对于D，，整理得，当且仅当即时取等，D正确.故选：AD.三、填空题10．(2023·全国·高一课时练习）当时，求函数的值域为________．答案：分析：首先根据判断的正负，再将函数式转化为，根据均值不等式求解.【详解】因为，所以，即，所以，又因为，当且仅当，即时等号成立，所以，则函数的值域为.故答案为：.11．(2023·全国·高一课时练习）若，，，则当______时，取得最小值．答案：分析：由题知，进而分和两种情况，结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为，，所以，即．当时，，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值；当时，，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值．综上所述，当时，取得最小值．故答案为：12．(2023·吉林·长春市第二中学高一期末）已知，，且，则的最小值为________.答案：12分析：，展开后利用基本不等式可求．【详解】∵，，且，∴，当且仅当，即，时取等号，故的最小值为12．故答案为：12．13．(2023·广东广州·高一期末）在中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则的最大值为______答案：分析：利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值.【详解】（当且仅当时取等号）.令，故，因为，且，故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，由数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，故可得，又，故可得，当且仅当，即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求范围问题，涉及线性规划以及均值不等式，属综合困难题.四、解答题14．(2023·全国·高一课时练习）已知均为正实数．(1)求证：．(2)若，证明：．分析：（1）将、、三式相加可证明；（2）由条件可得，然后可证明.（1）因为均为正实数，所以（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），以上三式相加，得（当且仅当时等号成立），所以（当且仅当时等号成立），即（当且仅当时等号成立）．（2）由题可得，则左边，当且仅当，，，，即时取“＝”．故成立．15．(2023·全国·高一课时练习）已知a，b，c均为正实数，求证：(1)；(2)．分析：（1）将左边变形为，然后利用基本不等式可证得结论，（2）利用可证得，同理可得，，3个式相加可证得结论.（1）证明：左边，当且仅当时取“＝”．故．（2）证明：因为，当且仅当时取“＝”，所以，所以，所以，①同理，当且仅当时取取“＝”，②，当且仅当时取“＝”．③①+②+③，得，当且仅当时等号成立．16．（2023·河南·高一期中）已知、、都是正数．(1)求证：；(2)若恒成立，求实数的取值范围．答案：(1)证明见解析(2)分析：（1）将所证不等式等价转化为证明，利用基本不等式结合不等式的基本性质可证得结论成立；（2）化简得出，利用基本不等式可得出关于的二次不等式，解之即可.(1)证明：要证，左右两边同乘以可知即证，即证．因为、、都是正数，由基本不等式可知，，，当且