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文档简介
2.2基本不等式(第1课时)(分层作业)(夯实基础+能力提升)【夯实基础】一、单选题1.(2023·广东·江门市广雅中学高一期中)函数的最小值为(
)A.1 B.2 C.3 D.42.(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末)已知正数满足,则的最大值(
)A. B. C. D.3.(2023·吉林·延边二中高一阶段练习)若,则下列不等式成立的是(
)A. B.C. D.4.(2023·全国·高一专题练习)若实数,满足,且.则下列四个数中最大的是(
)A. B. C. D.5.(2023·江苏·星海实验中学高一阶段练习)若,有下面四个不等式:(1);(2),(3),(4).则不正确的不等式的个数是(
)A.0 B.1 C.2 D.36.(2023·湖北黄石·高一期中)若,则函数的最小值为(
)A.4 B.5 C.7 D.97.(2023·青海青海·高一期末)已知x,y都是正数,若,则的最小值为(
)A. B. C. D.1二、多选题8.(2023·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一期中)已知,且.则下列不等式恒成立的是(
)A. B.C. D.9.(2023·江西·高一期末)已知,,则下列不等式成立的是(
)A. B. C. D.10.(2023·全国·高一课时练习)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,,则下列命题正确的是(
)A.若,则 B.若,则C.若,,则 D.若,则三、填空题11.(2023·广西柳州·高一期末)若,则的最小值为___________.12.(2023·四川·成都七中高一期末)已知点在直线上,当时,的最小值为______.13.(2023·福建省龙岩第一中学高一阶段练习)若函数在区间上的最小值为3,则的最大值为________.14.(2023·江苏·无锡市市北高级中学高一期中)已知,,且满足,则的最大值为__________.15.(2023·全国·高一)已知,,,则在下列不等式①;②;③;④;⑤其中恒成立的是___________.(写出所有正确命题的序号)16.(2023·江苏·高一单元测试)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是________(填序号).①;②;③≥2;④a2+b2≥8.四、解答题17.(2023·全国·高一专题练习)利用基本不等式证明:已知都是正数,求证:18.(2023·全国·高一)已知,求证.19.(2023·江苏·高一课时练习)证明:(1);(2).20.(2023·内蒙古巴彦淖尔·高一期末)请解决下列两个问题:(1)求函数的最小值;(2)已知关于的不等式的解集为,求关于的不等式0的解集.21.(2023·江苏省如皋中学高一期末)已知集合.(1)设,求的取值范围;(2)对任意,证明:.22.(2023·全国·高一课时练习)(1)设,求的最大值;(2)已知,,若,求的最小值.23.(2023·全国·高一课时练习)(1)已知,求的最小值;(2)已知,求的最大值.24.(2023·全国·高一单元测试)若,,求证:.25.(2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习)(1)证明:若,,则.(2)利用基本不等式证明:已知都是正数,求证:【能力提升】一、单选题1.(2023·全国·高一课时练习)若,则有(
)A.最小值 B.最小值 C.最大值 D.最大值2.(2023·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习)在商丘一高新校区某办公室有一台质量有问题的坏天平,某物理老师欲修好此天平,经仔细检查发现天平两臂长不等,其余均精确,有老师要用它称物体的质量,他将物体放在左、右托盘各称一次,取两次称重结果分别为,,设物体的真实质量为,则(
)A. B. C. D.3.(2023·辽宁·沈阳二中高一阶段练习)若a,b,c均为正实数,则三个数,,(
)A.都不大于2 B.都不小于2C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于24.(2023·广东·华南师大附中高一期末)若正实数满足,则(
)A.有最大值 B.有最大值4C.有最小值 D.有最小值25.(2023·湖北恩施·高一期末)若,,则的最小值是(
)A.16 B.18 C.20 D.22二、多选题6.(2023·全国·高一课时练习)2022年1月,在世界田联公布的2022赛季首期各项世界排名中,我国一运动员以1325分排名男子100米世界第八名,极大地激励了学生对百米赛跑的热爱.甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑,所用时间(单位:秒)分别为,,.甲有一半的时间以速度(单位:米/秒)奔跑,另一半的时间以速度奔跑;乙全程以速度奔跑;丙有一半的路程以速度奔跑,另一半的路程以速度奔跑.其中,.则下列结论中一定成立的是(
)A. B.C. D.7.(2023·徐州市第三十六中学(江苏师范大学附属中学)高一期中)设a>0,b>0,则(
)A. B.C. D.8.(2023·辽宁·高一期中)下列说法中,正确的有(
)A.的最小值是2B.的最小值是2C.若,,,则D.若,,,则9.(2023·新疆·沙湾县第一中学高一期中)下列命题正确的是(
)A.,B.若,则的最小值为4C.若,则的最小值为3D.若,则的最大值为2三、填空题10.(2023·全国·高一课时练习)当时,求函数的值域为________.11.(2023·全国·高一课时练习)若,,,则当______时,取得最小值.12.(2023·吉林·长春市第二中学高一期末)已知,,且,则的最小值为________.13.(2023·广东广州·高一期末)在中,记角A,B,C所对的边分别是a,b,c,面积为S,则的最大值为______四、解答题14.(2023·全国·高一课时练习)已知均为正实数.(1)求证:.(2)若,证明:.15.(2023·全国·高一课时练习)已知a,b,c均为正实数,求证:(1);(2).16.(2023·河南·高一期中)已知、、都是正数.(1)求证:;(2)若恒成立,求实数的取值范围.17.(2023·全国·高一课时练习)某光伏企业投资万元用于太阳能发电项目,年内的总维修保养费用为万元,该项目每年可给公司带来万元的收入.假设到第年年底,该项目的纯利润为万元.(纯利润累计收入总维修保养费用投资成本)(1)写出纯利润的表达式,并求该项目从第几年起开始盈利.(2)若干年后,该公司为了投资新项目,决定转让该项目,现有以下两种处理方案:①年平均利润最大时,以万元转让该项目;②纯利润最大时,以万元转让该项目.你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展?请说明理由.18.(2023·全国·高一专题练习)(1),比较与的大小;(2)已知,求代数式的最小值及取最小值时的值.19.(2023·全国·高一专题练习)已知,且.证明:(Ⅰ);(Ⅱ).2.2基本不等式(第1课时)(分层作业)(夯实基础+能力提升)【夯实基础】一、单选题1.(2023·广东·江门市广雅中学高一期中)函数的最小值为(
)A.1 B.2 C.3 D.4答案:D分析:利用基本不等式计算可得;【详解】解:因为,所以,当且仅当,即时取等号;故选:D2.(2023·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末)已知正数满足,则的最大值(
)A. B. C. D.答案:B分析:直接使用基本不等式进行求解即可.【详解】因为正数满足,所以有,当且仅当时取等号,故选:B3.(2023·吉林·延边二中高一阶段练习)若,则下列不等式成立的是(
)A. B.C. D.答案:B分析:利用不等式的性质及基本不等式比较.【详解】因为,则,又,所以.故选:B.【点睛】本题考查不等关系及基本不等式的运用.属于简单题.4.(2023·全国·高一专题练习)若实数,满足,且.则下列四个数中最大的是(
)A. B. C. D.答案:B分析:利用基本不等式的性质比较大小即可.【详解】由题知:,且,所以,,故排除D.因为,故排除A.因为,故排除C.故选:B5.(2023·江苏·星海实验中学高一阶段练习)若,有下面四个不等式:(1);(2),(3),(4).则不正确的不等式的个数是(
)A.0 B.1 C.2 D.3答案:C分析:由已知结合不等式的性质可以推理得到(1)不正确,(4)不正确,(3)正确;由基本不等式可判断(2)正确.【详解】因为,所以,成立,所以(1)不正确,(4)不正确;因为,所以(3)正确;都大于0且不等于1,由基本不等式可知(2)正确.故选:C6.(2023·湖北黄石·高一期中)若,则函数的最小值为(
)A.4 B.5 C.7 D.9答案:C分析:利用基本不等式计算可得;【详解】解:因为,所以,所以,当且仅当,即时取等号,所以函数的最小值为;故选:C7.(2023·青海青海·高一期末)已知x,y都是正数,若,则的最小值为(
)A. B. C. D.1答案:B分析:利用基本不等式求解.【详解】因为,所以.因为x,y都是正数,由基本不等式有:,所以,当且仅当即时取“=”.故A,C,D错误.故选:B.二、多选题8.(2023·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一期中)已知,且.则下列不等式恒成立的是(
)A. B.C. D.答案:AC分析:结合基本不等式对选项进行分析,从而确定正确选项.【详解】当时,,所以BD选项错误.A,,当且仅当时,等号成立,A正确.C,,,当且仅当时,等号成立,C正确.故选:AC9.(2023·江西·高一期末)已知,,则下列不等式成立的是(
)A. B. C. D.答案:ACD分析:根据不等式的性质判断A,B,根据比较法判断C,根据基本不等式判断D.【详解】对于A,因为,,所以,所以A正确;对于B,由,当时,,所以B不正确;对于C,因为,,所以,故,所以C正确;对于D,因为,所以均值不等式得,所以D正确;故选:ACD.10.(2023·全国·高一课时练习)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a,b,,则下列命题正确的是(
)A.若,则 B.若,则C.若,,则 D.若,则答案:ABC分析:根据不等式的性质,或者做差法,即可判断选项.【详解】对于A,因为,所以,故A正确;对于B,,故B正确;对于C,若,,则,即,故C正确;对于D,当,时,满足,但,故D不正确.故选:ABC.三、填空题11.(2023·广西柳州·高一期末)若,则的最小值为___________.答案:0分析:构造,利用基本不等式计算即可得出结果.【详解】由,得,所以,当且仅当即时等号成立.故答案为:012.(2023·四川·成都七中高一期末)已知点在直线上,当时,的最小值为______.答案:分析:利用均值不等式求解即可.【详解】因为点在上,所以.所以,当且仅当时等号成立.故答案为:13.(2023·福建省龙岩第一中学高一阶段练习)若函数在区间上的最小值为3,则的最大值为________.答案:分析:先根据一次函数单调性及最小值求出,再利用基本不等式“和定积最大”,求解最大值.【详解】单调递增,所以在区间[1,2]上,所以,因为,所以当且仅当时,等号成立.故答案为:14.(2023·江苏·无锡市市北高级中学高一期中)已知,,且满足,则的最大值为__________.答案:分析:根据基本不等式求解即可【详解】因为,,且满足,则当且仅当时取等号,所以的最大值为3.故答案为:15.(2023·全国·高一)已知,,,则在下列不等式①;②;③;④;⑤其中恒成立的是___________.(写出所有正确命题的序号)答案:①②④分析:对①,可以利于基本不等式证明;对于②③④⑤可以分析判断得解.【详解】①,(当且仅当时等号成立),所以正确;②,要证,只需证只需证,显然成立,所以正确;③,只需证只需证只需证,与已知不符,所以错误;④,要证,只需证只需证,显然成立,所以正确;⑤,要证,只需证只需证只需证只需证,与①不符,所以错误.故答案为:①②④16.(2023·江苏·高一单元测试)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是________(填序号).①;②;③≥2;④a2+b2≥8.答案:④分析:结合基本不等式进行逐个判定,①③直接利用基本不等式可判定正误,②④通过变形可得正误.【详解】因为(当且仅当a=b时,等号成立),即≤2,ab≤4,,故①③不成立;,故②不成立;故④成立.故答案为:④.四、解答题17.(2023·全国·高一专题练习)利用基本不等式证明:已知都是正数,求证:分析:对不等式左侧每个因式应用基本不等式即可得到结论.【详解】都是正数,(当且仅当时取等号);(当且仅当时取等号);(当且仅当时取等号);(当且仅当时取等号),即.18.(2023·全国·高一)已知,求证.分析:直接写出三个重要不等式相加即得证.【详解】∵,①,②,③①+②+③得;.∴(当且仅当等号成立).19.(2023·江苏·高一课时练习)证明:(1);(2).分析:(1),利用基本不等式即可证明.(2),利用基本不等式即可证明.【详解】(1),当且仅当时,即时,等号成立.(2),当且仅当时取等号,此时,显然的值不存在,所以等号不成立,所以.20.(2023·内蒙古巴彦淖尔·高一期末)请解决下列两个问题:(1)求函数的最小值;(2)已知关于的不等式的解集为,求关于的不等式0的解集.答案:(1)8;(2)分析:利用基本不等式求函数的最小值易知,是方程的解,求出就可求出下一个不等式的解.(1),当且仅当时,等号成立.故的最小值为8.(2)因为关于的不等式的解集为,所以方程的实数根为和3,所以,代入不等式,得,解得.故不等式的解集为.21.(2023·江苏省如皋中学高一期末)已知集合.(1)设,求的取值范围;(2)对任意,证明:.答案:(1)(2)证明见解析分析:(1)依题意可得,,再根据二次函数的性质计算可得;(2)依题意,再结合(1)即可证明.(1)解:若,又,则,,所以在上单调递增,在上单调递减,所以当时,取得最大值,
故的取值范围为.(2)证明:,当且仅当时取等号.22.(2023·全国·高一课时练习)(1)设,求的最大值;(2)已知,,若,求的最小值.答案:(1);(2).分析:(1)将转化为,用基本不等式求最大值即可;(2)将变形为,整理后用基本不等式求最值.【详解】(1)因为,所以,所以,当且仅当,即时等号成立,所以的最大值为;(2)因为,,所以,.又,所以,当且仅当,即时取等号,所以的最小值为.23.(2023·全国·高一课时练习)(1)已知,求的最小值;(2)已知,求的最大值.答案:(1)9;(2).分析:(1)由于,则,然后利用基本不等式求解即可,(2)由于,变形得,然后利用基本不等式求解即可.【详解】(1)因为,所以,所以,当且仅当,即时取等号,所以的最小值为9.(2)因为,所以,当且仅当,即时取等号,故的最大值为.24.(2023·全国·高一单元测试)若,,求证:.分析:连续使用两次基本不等式即可求证【详解】因为,,所以,当且仅当,即时,等号成立.又,当且仅当时等号成立,所以,当且仅当,即时取等号.25.(2023·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习)(1)证明:若,,则.(2)利用基本不等式证明:已知都是正数,求证:分析:(1)利用不等式的性质证明即可,(2)根据题意利用基本不等式可得,,,再利用不等式的性质可证得结论【详解】(1)证明:因为,,所以,,所以,即,所以,得证;(2)因为都是正数,所以(当且仅当时取等号);(当且仅当时取等号);(当且仅当时取等号);所以(当且仅当时取等号),即.【能力提升】一、单选题1.(2023·全国·高一课时练习)若,则有(
)A.最小值 B.最小值 C.最大值 D.最大值答案:D分析:根据基本不等式,首先取相反数,再尝试取等号,可得答案.【详解】因为,所以,当且仅当,即时等号成立,故有最大值.故选:D.2.(2023·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习)在商丘一高新校区某办公室有一台质量有问题的坏天平,某物理老师欲修好此天平,经仔细检查发现天平两臂长不等,其余均精确,有老师要用它称物体的质量,他将物体放在左、右托盘各称一次,取两次称重结果分别为,,设物体的真实质量为,则(
)A. B. C. D.答案:C分析:利用杠杆原理和基本不等式即可求解.【详解】设天平的左、右臂长分别为,,物体放在左、右托盘称得的质量分别为,,真实质量为,由杠杆平衡原理知:,,由上式得,即,由于,故,由基本不等式,得.故选:C.3.(2023·辽宁·沈阳二中高一阶段练习)若a,b,c均为正实数,则三个数,,(
)A.都不大于2 B.都不小于2C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2答案:D分析:对于选项ABC可以举反例判断,对于选项D,可以利用反证法思想结合基本不等式,可以确定,,至少有一个不小于2,从而可以得结论.【详解】解:A.都不大于2,结论不一定成立,如时,三个数,,都大于2,所以选项A错误;B.都不小于2,即都大于等于2,不一定成立,如则,所以选项B错误;C.至少有一个不大于2,不一定成立,因为它们有可能都大于2,如时,三个数,,都大于2,所以选项C错误.由题意,∵a,b,c均为正实数,∴.当且仅当时,取“=”号,若,,,则结论不成立,∴,,至少有一个不小于2,所以选项D正确;故选:D.4.(2023·广东·华南师大附中高一期末)若正实数满足,则(
)A.有最大值 B.有最大值4C.有最小值 D.有最小值2答案:A分析:结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项的结论是否成立即可.【详解】因为正实数满足所以,当且仅当,,即取等号,故A正确、C错误.,当且仅当,,即取等号,故B、D错误.故选:A5.(2023·湖北恩施·高一期末)若,,则的最小值是(
)A.16 B.18 C.20 D.22答案:C分析:化简,再根据基本不等式求最小值即可【详解】因为,,所以(当且仅当时,等号成立),所以的最小值是20.故选:C二、多选题6.(2023·全国·高一课时练习)2022年1月,在世界田联公布的2022赛季首期各项世界排名中,我国一运动员以1325分排名男子100米世界第八名,极大地激励了学生对百米赛跑的热爱.甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑,所用时间(单位:秒)分别为,,.甲有一半的时间以速度(单位:米/秒)奔跑,另一半的时间以速度奔跑;乙全程以速度奔跑;丙有一半的路程以速度奔跑,另一半的路程以速度奔跑.其中,.则下列结论中一定成立的是(
)A. B.C. D.答案:AC分析:首先利用时间和速度的关系表示三人的时间,再利用不等式的关系,结合选项,比较大小,即可判断选项.【详解】由题意,所以,,,根据基本不等式可知,故,当且仅当时等号全部成立,故A选项正确,B选项错误;,故C选项正确;,故D选项错误.故选:AC.7.(2023·徐州市第三十六中学(江苏师范大学附属中学)高一期中)设a>0,b>0,则(
)A. B.C. D.答案:ACD分析:A.利用基本不等式判断;B.利用作差法判断;C.利用基本不等式判断;D.利用作差法判断.【详解】A.,当且仅当时,等号成立,故正确;B.因为,正负不定,故错误;C.,当且仅当,时,等号成立,故正确;D.,故正确;故选:ACD8.(2023·辽宁·高一期中)下列说法中,正确的有(
)A.的最小值是2B.的最小值是2C.若,,,则D.若,,,则答案:CD分析:利用不等式的性质及基本不等式逐项分析即得.【详解】对于A,当时,,故A错误;对于B,,当且仅当,即时取等号,显然不可能,故B错误;对于C,由,可得,即,故C正确;对于D,由,,,可知,所以,故D正确.故选:CD.9.(2023·新疆·沙湾县第一中学高一期中)下列命题正确的是(
)A.,B.若,则的最小值为4C.若,则的最小值为3D.若,则的最大值为2答案:AD分析:由配方法和基本不等式依次判断4个选项即可.【详解】对于A,,A正确;对于B,若,则,当且仅当即时取等,B错误;对于C,,当且仅当时取等,由于无解,则的最小值取不到3,C错误;对于D,,整理得,当且仅当即时取等,D正确.故选:AD.三、填空题10.(2023·全国·高一课时练习)当时,求函数的值域为________.答案:分析:首先根据判断的正负,再将函数式转化为,根据均值不等式求解.【详解】因为,所以,即,所以,又因为,当且仅当,即时等号成立,所以,则函数的值域为.故答案为:.11.(2023·全国·高一课时练习)若,,,则当______时,取得最小值.答案:分析:由题知,进而分和两种情况,结合基本不等式求解即可.【详解】解:因为,,所以,即.当时,,当且仅当时取等号,所以当时,取得最小值;当时,,当且仅当时取等号,所以当时,取得最小值.综上所述,当时,取得最小值.故答案为:12.(2023·吉林·长春市第二中学高一期末)已知,,且,则的最小值为________.答案:12分析:,展开后利用基本不等式可求.【详解】∵,,且,∴,当且仅当,即,时取等号,故的最小值为12.故答案为:12.13.(2023·广东广州·高一期末)在中,记角A,B,C所对的边分别是a,b,c,面积为S,则的最大值为______答案:分析:利用面积公式和余弦定理,结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值.【详解】(当且仅当时取等号).令,故,因为,且,故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点,如下图所示:目标函数上,表示圆弧上一点到点点的斜率,由数形结合可知,当且仅当目标函数过点,即时,取得最小值,故可得,又,故可得,当且仅当,即三角形为等边三角形时,取得最大值.故答案为:.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求范围问题,涉及线性规划以及均值不等式,属综合困难题.四、解答题14.(2023·全国·高一课时练习)已知均为正实数.(1)求证:.(2)若,证明:.分析:(1)将、、三式相加可证明;(2)由条件可得,然后可证明.(1)因为均为正实数,所以(当且仅当时等号成立),(当且仅当时等号成立),(当且仅当时等号成立),以上三式相加,得(当且仅当时等号成立),所以(当且仅当时等号成立),即(当且仅当时等号成立).(2)由题可得,则左边,当且仅当,,,,即时取“=”.故成立.15.(2023·全国·高一课时练习)已知a,b,c均为正实数,求证:(1);(2).分析:(1)将左边变形为,然后利用基本不等式可证得结论,(2)利用可证得,同理可得,,3个式相加可证得结论.(1)证明:左边,当且仅当时取“=”.故.(2)证明:因为,当且仅当时取“=”,所以,所以,所以,①同理,当且仅当时取取“=”,②,当且仅当时取“=”.③①+②+③,得,当且仅当时等号成立.16.(2023·河南·高一期中)已知、、都是正数.(1)求证:;(2)若恒成立,求实数的取值范围.答案:(1)证明见解析(2)分析:(1)将所证不等式等价转化为证明,利用基本不等式结合不等式的基本性质可证得结论成立;(2)化简得出,利用基本不等式可得出关于的二次不等式,解之即可.(1)证明:要证,左右两边同乘以可知即证,即证.因为、、都是正数,由基本不等式可知,,,当且
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