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文档简介
8.1计数原理及排列组合(精练)(提升版)题组一题组一排队1.(2023·柳州模拟)今年中国空间站将进入到另一个全新的正式建造阶段,首批参加中国空间站建造的6名航天员,将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船,接连去往中国空间站,并且在上面“会师”中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲,乙,丙,丁等6名航天员开展实验,其中天和核心舱安排3人,问天实验舱安排2人,梦天实验的安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验,则不同的安排方案共有()A.44种 B.48种 C.60种 D.50种2.(2023·焦作模拟)小张接到4项工作,要在下周一、周二、周三这3天中完成,每天至少完成1项,且周一只能完成其中1项工作,则不同的安排方式有()A.12种 B.18种 C.24种 D.36种3.(2023·汕头模拟)2022年北京冬季奥运会期间,从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作,其中冰壶项目需要一男一女两名,花样滑冰和短道速滑各需要一名,男女不限.则不同的支援方法的种数是()A.36 B.24 C.18 D.424.(2023·内江模拟)安排6名医生去甲、乙、丙3个单位做核酸检测,每个单位去2名医生,其中医生A去甲单位,医生B不去乙单位,则不同的选派方式共有()A.18种 B.12种 C.9种 D.6种5.(2023·益阳模拟)为迎接新年到来,某中学2022作“唱响时代强音,放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举行.校文娱组委员会要在原定排好的8个学生节目中增加2个教师节目,若保持原来的8个节目的出场顺序不变,则不同排法的种数为()A.36 B.45 C.72 D.906.(2023·佛山模拟)“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化,某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座,每经排1节,连排5节,则《诗经》、《春秋》分开排的情况有种.7.(2023·临沂模拟)志愿服务是全员核酸检测工作的重要基础和保障,某核酸检测站点需要连续六天有志愿者参加服务,每天只需要一名志愿者,现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者,计划依次安排到该站点参加服务,要求甲不安排第一天,乙和丙在相邻两天参加服务,则不同的安排方案共有()A.72种 B.81种 C.144种 D.192种8.(2023·全国·高三专题练习)现有8个人男3女)站成一排.(1)女生必须排在一起,共有多少种不同的排法?(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法?(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法?(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法?(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法?(6)其中甲乙丙不能彼此相邻,有多少种不同排法?(7)男生在一起,女生也在一起,有多少种不同排法?(8)第3和第6个排男生,有多少种不同排法?(9)甲乙不能排在前3位,有多少种不同排法?(10)女生两旁必须有男生,有多少种不同排法?题组二题组二排数1.(2023·河南模拟)由数字1,2,3组成六位数(数字可以不完全使用),若每个数字最多出现三次,则这样的六位数的个数是()A.420 B.450 C.510 D.5202.(2023·石家庄模拟)小小的火柴棒可以拼成几何图形,也可以拼成数字.如下图所示,我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如:“1”需要2根火柴棒,“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中(没有放入火柴棒的空位表示数字“0”),那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为().A.8 B.12 C.16 D.203.(2023·济南模拟)由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有()A.60个 B.48个 C.36个 D.24个4.(2023·浙江模拟)将1,2,3,4,5,6,7,8八个数字排成一排,满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2,则这样的排列方式共有种.(用数字作答)5.(2023张家港期中)用1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的自然数.(1)在组成的三位数中,求所有偶数的个数;(2)在组成的四位数中,求大于2000的自然数个数;(3)在组成的五位数中,求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.题组三题组三分组分配1.(2023·晋中模拟)北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相,好评不断,这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.某商场决定派小王和小高等7名志愿者将两个吉祥物安装在大广场上,每人参与且只参与一个吉祥物的安装,每个吉祥物都至少由三名志愿者安装,若小王和小高必须安装不同的吉祥物,则不同的分配方案种数为()A.40 B.30 C.20 D.802.(2023·江西模拟)2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”,有着可爱的外表和丰富的寓意,深受各国人民的喜爱.为了表彰、两个志愿者小组,组委会决定将3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型“雪容融”吉祥物,平均分配给、两个小组,要求每个小组至少有一个“冰墩墩”,则这6个吉祥物的分配方法种数为()A.9 B.18 C.19 D.203(2023·广东三模)将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温、信息登记、维持秩序、现场指引4个岗位,每名志愿者只分配1个岗位,每个岗位至少分配1名志愿者,则不同分配方案共有()A.120种 B.240种 C.360种 D.480种4.(2023·晋城二模)第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕.带着“一起向未来”的希冀,给疫情下的世界带来了信心.为了运动会的顺利举行,组织了一些志愿者协助运动会的工作.有来自某大学的2名男老师,2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作,每人服务1天,如果2名男老师不能安排在相邻的两天,2名女老师也不能安排在相邻的两天,那么符合条件的不同安排方案共有()A.120种 B.96种 C.48种 D.24种5.(2023·合肥模拟)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲,乙,丙,丁,戊5名航天员开展实验,其中天和核心舱安排3人,问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验,则不同的安排方案共有()A.8种 B.14种 C.20种 D.116种(2023宾县月考)将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中.(1)若每盒至多一球,则有多少种放法?(2)若恰好有一个空盒,则有多少种放法?(3)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则有多少种放法?7.(2023黄豆)将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求:(1)每个盒至少一个球,有多少种不同的放法?(2)恰好有一个空盒,有多少种不同的放法?(3)每盒放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,有多少种不同的放法?(4)把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球(无编号),其余条件不变,恰有一个空盒,有多少种不同的放法?题组四题组四涂色1.(2023·重庆九龙坡)随机给如图所示的四块三角形区域涂色,有红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色供选择,则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为(
)A. B. C. D.2.(2023·福建三明)汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色,要求相邻的区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方案有(
)A.180 B.192 C.300 D.4203.(2023·广西·钦州市大寺中学)如图所示是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的图形,现有红、蓝两种颜色随意为其涂色,每个图形只能涂一种颜色,则相邻两个图形颜色不相同的概率为(
)A. B. C. D.4.(2023·江西·景德镇一中)如图所示,积木拼盘由,,,,五块积木组成,若每块积木都要涂一种颜色,且为了体现拼盘的特色,相邻的区域需涂不同的颜色(如:与为相邻区域,与为不相邻区域),现有五种不同的颜色可供挑选,则不同的涂色方法的种数是(
)A.780 B.840 C.900 D.9605.(2023·江西·横峰中学)如图所示的几何体由三棱锥与三棱柱组合而成,现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有(
)A.种 B.种C.种 D.种\6.(2023·重庆市璧山中学校)在一个正六边形的六个区域涂色(如图),要求同一区域同一种颜色,相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色,现有种不同的颜色可供选择,则不同涂色方案有()A.种 B.种 C.种 D.种7.(2023·广东·揭阳市榕城区仙桥中学)现有6种不同的颜色,给图中的6个区域涂色,要求相邻区域不同色,则不同的涂色方法共有(
)A.720种 B.1440种 C.2880种 D.4320种8.(2023·全国·高三课时练习)用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域、、、、涂色,要求同一区域用同一种颜色,有共公边的区域使用不同颜色,则共有涂色方法(
)A.120种 B.720种 C.840种 D.960种9.(2023·黑龙江齐齐哈尔)学习涂色能锻炼手眼协调能力,更能提高审美能力.现有四种不同的颜色:湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿,欲给小房子中的四个区域涂色,要求相邻区域不涂同一颜色,且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内,则共有______种不同的涂色方法.10.(2023·湘赣皖模拟)用四种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色,要求每个顶点涂一种颜色,且每条棱的两个顶点涂不同颜色,则不同的涂法有()A.72种 B.36种 C.12种 D.60种11.(2023·浙江模拟)如图,用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色,每种颜色至少使用一次,每个区域仅涂一种颜色,且相邻区域所涂颜色互不相同,则区域,,,和,,,分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有种;区域,,,和,,,分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有种.8.1计数原理及排列组合(精练)(提升版)题组一题组一排队1.(2023·柳州模拟)今年中国空间站将进入到另一个全新的正式建造阶段,首批参加中国空间站建造的6名航天员,将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船,接连去往中国空间站,并且在上面“会师”中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲,乙,丙,丁等6名航天员开展实验,其中天和核心舱安排3人,问天实验舱安排2人,梦天实验的安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验,则不同的安排方案共有()A.44种 B.48种 C.60种 D.50种答案:C【解析】由题意,要安排甲,乙,丙,丁等6名航天员开展实验,其中天和核心舱安排3人,问天实验舱安排2人,梦天实验舱安排1人,共有种方案;若甲、乙两人同时在天和核心舱做实验,则有种方案;若甲、乙两人同时在问天实验舱做实验,则有种方案所以甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验,则共有60-12-4=44不同的安排方案.故选:C2.(2023·焦作模拟)小张接到4项工作,要在下周一、周二、周三这3天中完成,每天至少完成1项,且周一只能完成其中1项工作,则不同的安排方式有()A.12种 B.18种 C.24种 D.36种答案:C【解析】先从4项工作中选1项安排在周一完成,再从剩下的工作中选2项安排在周二或周三,所以不同的安排方式有种。故答案为:C3.(2023·汕头模拟)2022年北京冬季奥运会期间,从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作,其中冰壶项目需要一男一女两名,花样滑冰和短道速滑各需要一名,男女不限.则不同的支援方法的种数是()A.36 B.24 C.18 D.42答案:A【解析】第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目,选法共有种;第二步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰,选法共有种;第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑,选法共有种;依据分步乘法计数原理可知,不同的支援方法的种数是,故答案为:A.4.(2023·内江模拟)安排6名医生去甲、乙、丙3个单位做核酸检测,每个单位去2名医生,其中医生A去甲单位,医生B不去乙单位,则不同的选派方式共有()A.18种 B.12种 C.9种 D.6种答案:A【解析】根据题意分2种情况讨论:(1)B去甲单位,则A,B在一起,都去甲单位,将剩下4人分为2组,安排在乙、丙两个单位即可,有种安排方法;(2)B不去甲单位,则B必去丙单位,在剩下4人中选出2人安排在乙单位,再将剩下2人分别安排到甲、丙,有种安排方法,则有种安排方法,故答案为:A5.(2023·益阳模拟)为迎接新年到来,某中学2022作“唱响时代强音,放飞青春梦想”元旦文艺晚会如期举行.校文娱组委员会要在原定排好的8个学生节目中增加2个教师节目,若保持原来的8个节目的出场顺序不变,则不同排法的种数为()A.36 B.45 C.72 D.90答案:D【解析】采用插空法即可:第1步:原来排好的8个学生节目产生9个空隙,插入1个教师节目有9种排法;第2步:排好的8个学生节目和1个教师节目产生10个空隙,插入1个教师节目共有10种排法,故共有9×10=90种排法.故答案为:D.6.(2023·佛山模拟)“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称.为弘扬中国传统文化,某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座,每经排1节,连排5节,则《诗经》、《春秋》分开排的情况有种.答案:72【解析】先将《周易》、《尚书》、《礼记》进行排列,共有种排法再从产生的4个空位中选2个安排《诗经》、《春秋》,共有种排法所以满足条件的情形共有种.故答案为:727.(2023·临沂模拟)志愿服务是全员核酸检测工作的重要基础和保障,某核酸检测站点需要连续六天有志愿者参加服务,每天只需要一名志愿者,现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者,计划依次安排到该站点参加服务,要求甲不安排第一天,乙和丙在相邻两天参加服务,则不同的安排方案共有()A.72种 B.81种 C.144种 D.192种答案:D【解析】若乙和丙在相邻两天参加服务,不同的排法种数为,若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务,不同的排法种数为,由间接法可知,满足条件的排法种数为种.故答案为:D.8.(2023·全国·高三专题练习)现有8个人男3女)站成一排.(1)女生必须排在一起,共有多少种不同的排法?(2)其中甲必须站在排头有多少种不同排法?(3)其中甲、乙两人不能排在两端有多少种不同的排法?(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法?(5)其中甲在乙的左边有多少种不同的排法?(6)其中甲乙丙不能彼此相邻,有多少种不同排法?(7)男生在一起,女生也在一起,有多少种不同排法?(8)第3和第6个排男生,有多少种不同排法?(9)甲乙不能排在前3位,有多少种不同排法?(10)女生两旁必须有男生,有多少种不同排法?答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)【解析】(1)根据题意,先将3名女生看成一个整体,考虑三人之间的顺序,有种情况,将这个整体与5名男生全排列,有种情况,则女生必须排在一起的排法有种;(2)根据题意,甲必须站在排头,有1种情况,将剩下的7人全排列,有种情况,则甲必须站在排头有种排法;(3)根据题意,将甲乙两人安排在中间6个位置,有种情况,将剩下的6人全排列,有种情况,则甲、乙两人不能排在两端有种排法;(4)根据题意,先将出甲乙之外的6人全排列,有种情况,排好后有7个空位,则7个空位中,任选2个,安排甲乙二人,有种情况,则甲、乙两人不相邻有种排法;(5)根据题意,将8人全排列,有种情况,其中甲在乙的左边与甲在乙的右边的情况数目相同,则甲在乙的左边有种不同的排法;(6)根据题意,先将出甲乙丙之外的5人全排列,有种情况,排好后有6个空位,则6个空位中,任选3个,安排甲乙丙三人,有种情况,其中甲乙丙不能彼此相邻有种不同排法;(7)根据题意,先将3名女生看成一个整体,考虑三人之间的顺序,有种情况,再将5名男生看成一个整体,考虑5人之间的顺序,有种情况,将男生、女生整体全排列,有种情况,则男生在一起,女生也在一起,有种不同排法;(8)根据题意,在5个男生中任选2个,安排在第3和第6个位置,有种情况,将剩下的6人全排列,有种情况,则第3和第6个排男生,有种不同排法;(9)根据题意,将甲乙两人安排在后面的5个位置,有种情况,将剩下的6人全排列,有种情况,甲乙不能排在前3位,有种不同排法;(10)根据题意,将5名男生全排列,有种情况,排好后除去2端有4个空位可选,在4个空位中任选3个,安排3名女生,有种情况,则女生两旁必须有男生,有种不同排法.题组二题组二排数1.(2023·河南模拟)由数字1,2,3组成六位数(数字可以不完全使用),若每个数字最多出现三次,则这样的六位数的个数是()A.420 B.450 C.510 D.520答案:C【解析】所求的六位数分三类,第一类:一个数字出现0次,另外两个数字各出现3次,有个;第二类:一个数字出现1次,一个数字出现2次,一个数字出现3次,有个;第三类;每个数字出现2次,有个.所以共有个满足题意的六位数.故答案为:C.2.(2023·石家庄模拟)小小的火柴棒可以拼成几何图形,也可以拼成数字.如下图所示,我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如:“1”需要2根火柴棒,“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中(没有放入火柴棒的空位表示数字“0”),那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为().A.8 B.12 C.16 D.20答案:D【解析】由题意用2根火柴棒表示数字1,3根火柴棒表示数字7,4根火柴棒表示数字4,5根火柴棒表示数字2,3或者5,6根火柴棒表示数字6或9,7根火柴棒表示数字8,数字不重复,因此8根火柴棒只能分成两级:2和6,3和5,组成两个数字,还有数字只能为0,这样组成的无重复数字的三位数个数为:.故答案为:D.3.(2023·济南模拟)由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有()A.60个 B.48个 C.36个 D.24个答案:C【解析】先排个位,然后排万位,再排其它位置,所以由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有个.故答案为:C4.(2023·浙江模拟)将1,2,3,4,5,6,7,8八个数字排成一排,满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2,则这样的排列方式共有种.(用数字作答)答案:16【解析】根据题意可将该排列问题看成一个圆环上有1,2,3,4,5,6,7,8八个数字使其满足题意要求进行摆放,有两种情形,如下图所示:然后再将此圆环分别从某一个数字处剪开排成一列,一个作为头一个作为尾,则每一个圆环有8种剪开方式情况,故满足题意的有种.故答案为:16.5.(2023张家港期中)用1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的自然数.(1)在组成的三位数中,求所有偶数的个数;(2)在组成的四位数中,求大于2000的自然数个数;(3)在组成的五位数中,求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.答案:(1)24(2)96(3)48【解析】(1)根据题意,分2步进行分析:①三位偶数的个位必须是2或4,有2种情况,②在剩下的4个数字中任选2个,作为三位数的百位、十位,有种情况,则有个三位偶数,(2)根据题意,分2步进行分析:①要求四位数大于2000,其千位数字必须为2、3、4、5,有4种情况,②在剩下的4个数字中任选3个,作为三位数的百位、十位、个位,有种情况,则有个符合题意的四位数;(3)根据题意,分2步进行分析:①选出1个偶数,夹在两个奇数之间,有种情况,②将这个整体与其他2个数字全排列,有种情况,其中有2个偶数夹在奇数之间的情况有2种,则有种恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的情况,故有个符合题意的五位数.题组三题组三分组分配1.(2023·晋中模拟)北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相,好评不断,这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合.某商场决定派小王和小高等7名志愿者将两个吉祥物安装在大广场上,每人参与且只参与一个吉祥物的安装,每个吉祥物都至少由三名志愿者安装,若小王和小高必须安装不同的吉祥物,则不同的分配方案种数为()A.40 B.30 C.20 D.80答案:A【解析】小王和小高必须安装不同的吉祥物,则有(种)分配方案,剩下5人分两组,一组2人,一组3人,有(种)分配方案,然后分配到参与两个吉祥物的安装,有(种)分配方案,则共有40种分配方案.故答案为:A.2.(2023·江西模拟)2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”,有着可爱的外表和丰富的寓意,深受各国人民的喜爱.为了表彰、两个志愿者小组,组委会决定将3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型“雪容融”吉祥物,平均分配给、两个小组,要求每个小组至少有一个“冰墩墩”,则这6个吉祥物的分配方法种数为()A.9 B.18 C.19 D.20答案:B【解析】依题意小组“冰墩墩”可能有1个或2个,①小组有1个“冰墩墩”,则有种分配方法;②小组有2个“冰墩墩”,则有种分配方法;综上可得一共有种分配方法;故答案为:B3(2023·广东三模)将5名核酸检测工作志愿者分配到防疫测温、信息登记、维持秩序、现场指引4个岗位,每名志愿者只分配1个岗位,每个岗位至少分配1名志愿者,则不同分配方案共有()A.120种 B.240种 C.360种 D.480种答案:B【解析】首先从5人中选出2人作为一组,再与其余3人一同分配到4个不同的岗位,故有种不同的分配方案;故答案为:B4.(2023·晋城二模)第13届冬残奥会于3月4日在北京开幕.带着“一起向未来”的希冀,给疫情下的世界带来了信心.为了运动会的顺利举行,组织了一些志愿者协助运动会的工作.有来自某大学的2名男老师,2名女老师和1名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续5天的协助工作,每人服务1天,如果2名男老师不能安排在相邻的两天,2名女老师也不能安排在相邻的两天,那么符合条件的不同安排方案共有()A.120种 B.96种 C.48种 D.24种答案:C【解析】若将2名男老师安排在相邻两天,由捆绑法知有种安排方案,同理将2名女老师安排在相邻两天,有种安排方案,2名男老师安排在相邻两天且2名女老师也安排在相邻两天,有种安排方案,所以符合条件的安排方案共有.故答案为:C.5.(2023·合肥模拟)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲,乙,丙,丁,戊5名航天员开展实验,其中天和核心舱安排3人,问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验,则不同的安排方案共有()A.8种 B.14种 C.20种 D.116种答案:B【解析】按照甲是否在天和核心舱划分,①若甲在天和核心舱,天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人,剩下两人去剩下两个舱位,则有种可能;②若甲不在天和核心舱,需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个,剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可,则有种可能;根据分类加法计数原理,共有6+8=14种可能.故答案为:B.(2023宾县月考)将四个编号为1,2,3,4的小球放入四个编号为1,2,3,4的盒子中.(1)若每盒至多一球,则有多少种放法?(2)若恰好有一个空盒,则有多少种放法?(3)若每个盒内放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,则有多少种放法?【解析】(1)24(2)144(3)8答案:(1)每盒至多一球,这是4个元素全排列问题,共有种.答:共有24种放法.(2)先取四个球中的两个“捆”在一起,有种选法,把它与其他两个球共三个元素分别放入四个盒子中的三个盒子,有种投放方法,所以共有(种)放法.答:共有144种放法.(3)一个球的编号与盒子编号相同的选法有种,当一个球与一个盒子的编号相同时,用局部列举法可知其余三个球的投入方法有2种,故共有(种)放法.答:共有8种放法.7.(2023黄豆)将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求:(1)每个盒至少一个球,有多少种不同的放法?(2)恰好有一个空盒,有多少种不同的放法?(3)每盒放一个球,并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同,有多少种不同的放法?(4)把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球(无编号),其余条件不变,恰有一个空盒,有多少种不同的放法?答案:(1)24(2)144(3)8(4)12【解析】(1)解:根据题意知,每个盒子里有且只有一个小球,所求放法种数为(种);(2)解:先将4个小球分为3组,各组的球数分别为2、1、1,然后分配给4个盒子中的3个盒子,由分步乘法计数原理可知,所求的放法种数为(种);(3)解:考查编号为1的盒子中放入编号为1的小球,则其它3个球均未放入相应编号的盒子,那么编号为2、3、4的盒子中放入的小球编号可以依次为3、4、2或4、2、3,因此,所求放法种数为(种);(4)解:按两步进行,空盒编号有4种情况,然后将4个完全相同的小球放入其它3个盒子,没有空盒,则只需在4个完全相同的小球所形成的3个空(不包括两端)中插入2块板,由分步乘法计数原理可知,所求的放法种数为(种).题组四题组四涂色1.(2023·重庆九龙坡)随机给如图所示的四块三角形区域涂色,有红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色供选择,则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为(
)A. B. C. D.答案:A【解析】解:随机给如图所示的四块三角形区域涂色,有红,黄,蓝,绿,黑这5种颜色供选择,每个三角形均有种涂法,故基本事件总数,有公共边的三角形为不同色,先考虑中间一块涂色有5种方法,其他的三个三角形在剩下的4中颜色中任意涂色均可有种涂法,这一共有种涂法,所求概率为.故选:A.2.(2023·福建三明)汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色,要求相邻的区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方案有(
)A.180 B.192 C.300 D.420答案:D【解析】如图,将五个区域表示为①②③④⑤,对于区域①②③,三个区域两两相邻,有种;对于区域④⑤,若①与⑤颜色相同,则④有3种情况,若①与⑤颜色不同,则⑤有2种情况,④有2种情况,此时区域④⑤的情况有种情况;则一共有种情况故选:D.3.(2023·广西·钦州市大寺中学)如图所示是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的图形,现有红、蓝两种颜色随意为其涂色,每个图形只能涂一种颜色,则相邻两个图形颜色不相同的概率为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】用两种颜色为图形涂色基本事件有:(红,蓝,蓝),(红,蓝,红),(红,红,蓝),(红,红,红),(蓝,蓝,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,红,蓝),(蓝,红,红),共个基本事件.相邻两个图形颜色不相同的情形为:(红,蓝,红),(蓝,红,蓝),共2个基本事件,所以所求的概率为,故选:C.4.(2023·江西·景德镇一中)如图所示,积木拼盘由,,,,五块积木组成,若每块积木都要涂一种颜色,且为了体现拼盘的特色,相邻的区域需涂不同的颜色(如:与为相邻区域,与为不相邻区域),现有五种不同的颜色可供挑选,则不同的涂色方法的种数是(
)A.780 B.840 C.900 D.960答案:D【解析】先涂,则有种涂法,再涂,因为与相邻,所以的颜色只要与不同即可,有种涂法,同理有种涂法,有种涂法,有种涂法,由分步乘法计数原理,可知不同的涂色方法种数为.故选:D.5.(2023·江西·横峰中学)如图所示的几何体由三棱锥与三棱柱组合而成,现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有(
)A.种 B.种C.种 D.种\答案:C【解析】第一步:涂三棱锥P-ABC的三个侧面,因为要求相邻的面均不同色,所以共有种不同的涂法,第二步:涂三棱柱ABC-的三个侧面,先涂侧面有种涂法,再涂和只有1种涂法,所以涂三棱柱的三个侧面共有种涂法,所以对几何体的表面不同的涂色方案共有种涂法,故选:C6.(2023·重庆市璧山中学校)在一个正六边形的六个区域涂色(如图),要求同一区域同一种颜色,相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色,现有种不同的颜色可供选择,则不同涂色方案有()A.种 B.种 C.种 D.种答案:C【解析】考虑、、三个区域用同一种颜色,共有方法数为种;考虑、、三个区域用种颜色,共有方法数为种;考虑、、三个区域用种颜色,共有方法数为种.所以共有方法数为种.故选:C.7.(2023·广东·揭阳市榕城区仙桥中学)现有6种不同的颜
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