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文档简介
第14讲函数与方程1.函数零点(1)定义:对于函数y=f(x)(x∈D),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)三个等价关系(3)存在性定理2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点x1,x2x1无考点1判断函数零点所在的区间[名师点睛]确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理法:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图像,观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.[典例]1.(2023·天津红桥·一模)函数的零点所在的区间是(
)A. B. C. D.2.(2023·全国·高三专题练习)设,则在下列区间中函数不存在零点的区间是(
)A. B. C. D.[举一反三]1.(2023·全国·高三专题练习)函数的零点所在的一个区间是(
)A. B. C. D.2.(2023·江苏·高三专题练习)函数的零点所在区间为(
)A. B. C. D.3.(2023·浙江·高三专题练习)函数的零点所在的一个区间是(
)A. B. C. D.4.(2023·全国·高三专题练习)二次函数的部分对应值如下表:-3-2-1012346-4-6-6-46可以判断方程的两根所在的区间是(
)A.和 B.和C.和 D.和考点2判断函数零点的个数[名师点睛]判断函数零点个数的方法(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.(2)利用函数零点存在定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图像和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)拆分成两个函数,画出两个函数的图像,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,原函数就有几个不同的零点.[典例]1.(2023·全国·模拟预测)已知函数,则函数的零点个数为(
)A.4 B.5 C.6 D.72.(2023·湖南衡阳·二模)已知定义在上的奇函数恒有,当时,,已知,则函数在上的零点个数为(
)A.4个 B.5个 C.3个或4个 D.4个或5个3.(2023·北京·高考真题)已知函数,给出下列四个结论:①若,恰有2个零点;②存在负数,使得恰有个1零点;③存在负数,使得恰有个3零点;④存在正数,使得恰有个3零点.其中所有正确结论的序号是_______.[举一反三]1.(2023·海南·模拟预测)函数的零点个数为(
)A.0 B.1 C.2 D.32.(2023·重庆·模拟预测)若函数满足,且当时,,则函数与函数的图像的交点个数为(
).A.18个 B.16个 C.14个 D.10个3.(2023·重庆·西南大学附中模拟预测)函数满足,,当时,,则关于x的方程在上的解的个数是(
)A.1010 B.1011 C.1012 D.1013考点3函数零点的应用[名师点睛]1.已知函数的零点求参数,主要方法有:(1)直接求方程的根,构建方程(或不等式)求参数;(2)数形结合;(3)分离参数,转化为求函数的最值.2.已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图像的交点问题,需准确画出两个函数的图像,利用图像写出满足条件的参数范围.[典例]1.(2023·天津滨海新·高三阶段练习)已知函数若函数()恰有个零点,分别为,,,,且,则的取值范围是(
)A. B. C. D.2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,,若关于的方程恰有个不同实数根,则实数的取值范围为(
)A. B. C. D.3.(2023·重庆·模拟预测)已知二次函数的两个零点都在区间内,则a的取值范围是(
)A. B. C. D.[举一反三]1.(2023·全国·高三专题练习)函数的一个零点在区间内,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.2.(2023·福建龙岩·模拟预测)函数的两个不同的零点均大于的一个充分不必要条件是(
)A. B. C. D.3.(2023·浙江·高三专题练习)已知函数,关于的方程有四个相异的实数根,则的取值范围是(
)A. B.,C., D.,,4.(多选)(2023·湖南岳阳·二模)已知函数(),,则下列说法正确的是(
)A.当时,函数有个零点B.当时,若函数有三个零点,则C.若函数恰有个零点,则D.若存在实数使得函数有个零点,则5.(多选)(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若方程有三个不同的实数根、、,且,则(
)A. B.C. D.的取值范围是6.(多选)(2023·辽宁·鞍山一中模拟预测)已知函数若关于x的方程有5个不同的实根,则实数a的取值可以为(
)A. B. C. D.7.(2023·福建南平·三模)已知函数有零点,则实数___________.8.(2023·浙江金华·三模)设.函数,若,则_________,若只有一个零点,则a取值范围是___________.9.(2023·河北石家庄·二模)已知函数,若存在实数.满足,且,则___________,的取值范围是___________.10.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若关于的方程有四个不同的实数根,则实数的取值范围是多少?第14讲函数与方程1.函数零点(1)定义:对于函数y=f(x)(x∈D),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)三个等价关系(3)存在性定理2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点x1,x2x1无考点1判断函数零点所在的区间[名师点睛]确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理法:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图像,观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断.[典例]1.(2023·天津红桥·一模)函数的零点所在的区间是(
)A. B. C. D.答案:C【解析】函数是上的连续增函数,,可得,所以函数的零点所在的区间是.故选:C2.(2023·全国·高三专题练习)设,则在下列区间中函数不存在零点的区间是(
)A. B. C. D.答案:D【解析】为连续函数,,,根据零点存在性定理可知,内存在零点;,,,同理可知:区间,区间上都存在零点,区间上没有零点故选:D[举一反三]1.(2023·全国·高三专题练习)函数的零点所在的一个区间是(
)A. B. C. D.答案:B【解析】函数是连续函数,∵,,∴,由零点判定定理可知函数的零点在.故选:B.2.(2023·江苏·高三专题练习)函数的零点所在区间为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】在上是增函数,又,,,,,根据零点存在性定理可知,函数的零点所在的大致区间是故选:C3.(2023·浙江·高三专题练习)函数的零点所在的一个区间是(
)A. B. C. D.答案:B【解析】由题意,函数在R上单调递增,且,,,所以函数的零点所在的一个区间是.故选:B.4.(2023·全国·高三专题练习)二次函数的部分对应值如下表:-3-2-1012346-4-6-6-46可以判断方程的两根所在的区间是(
)A.和 B.和C.和 D.和答案:A【解析】由表格可知:,所以,结合零点存在性定理可知:二次函数的零点所在区间为和,所以方程的两根所在的区间是和,故选:A.考点2判断函数零点的个数[名师点睛]判断函数零点个数的方法(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.(2)利用函数零点存在定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图像和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)拆分成两个函数,画出两个函数的图像,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,原函数就有几个不同的零点.[典例]1.(2023·全国·模拟预测)已知函数,则函数的零点个数为(
)A.4 B.5 C.6 D.7答案:D【解析】当时,,则;以此类推,当时,;…;在平面直角坐标系中作出函数与的部分图象如图所示.由图可知,与的图象有7个不同的交点故选:D2.(2023·湖南衡阳·二模)已知定义在上的奇函数恒有,当时,,已知,则函数在上的零点个数为(
)A.4个 B.5个 C.3个或4个 D.4个或5个答案:D【解析】因为,所以的周期为2,又因为为奇函数,,令,得,又,所以,当时,,由单调递减得函数在上单调递增,所以,得,作出函数图象如图所示,由图象可知当过点时,,此时在上只有3个零点.当经过点时,,此时有5个零点.当时,有4个零点.当经过点时,,此时有5个零点.当时,有4个零点.当经过点时,,此时在上只有3个零点.当时,有4个零点.所以当时,函数在上有4个或5个零点.故选:D3.(2023·北京·高考真题)已知函数,给出下列四个结论:①若,恰有2个零点;②存在负数,使得恰有个1零点;③存在负数,使得恰有个3零点;④存在正数,使得恰有个3零点.其中所有正确结论的序号是_______.答案:①②④【解析】对于①,当时,由,可得或,①正确;对于②,考查直线与曲线相切于点,对函数求导得,由题意可得,解得,所以,存在,使得只有一个零点,②正确;对于③,当直线过点时,,解得,所以,当时,直线与曲线有两个交点,若函数有三个零点,则直线与曲线有两个交点,直线与曲线有一个交点,所以,,此不等式无解,因此,不存在,使得函数有三个零点,③错误;对于④,考查直线与曲线相切于点,对函数求导得,由题意可得,解得,所以,当时,函数有三个零点,④正确.故答案为:①②④.[举一反三]1.(2023·海南·模拟预测)函数的零点个数为(
)A.0 B.1 C.2 D.3答案:C【解析】解:函数的零点个数即函数与的图象交点的个数,作图如图所示,由图可知,两图象有两个交点,故原函数有2个零点故选:C2.(2023·重庆·模拟预测)若函数满足,且当时,,则函数与函数的图像的交点个数为(
).A.18个 B.16个 C.14个 D.10个答案:A【解析】因,于是得函数是以2为周期的周期函数,又当时,,则有函数与函数都是偶函数,在同一坐标系内作出函数与函数的图像,如图,观察图象得,函数与函数的图像有9个交点,由偶函数的性质知,两函数图象在时有9个交点,所以函数与函数的图像的交点个数为18.故选:A3.(2023·重庆·西南大学附中模拟预测)函数满足,,当时,,则关于x的方程在上的解的个数是(
)A.1010 B.1011 C.1012 D.1013答案:B【解析】解:因为函数满足,所以函数关于点对称,因为,即,所以函数关于直线对称,因为当时,,所以,结合函数性质,作出函数图像,如图所示:
由图可知,函数为周期函数,周期为,由于函数一个周期内,与有2个交点,在上,与有1个交点,所以根据函数周期性可知,当时,与有个交点.所以关于x的方程在上的解的个数是个.故选:B考点3函数零点的应用[名师点睛]1.已知函数的零点求参数,主要方法有:(1)直接求方程的根,构建方程(或不等式)求参数;(2)数形结合;(3)分离参数,转化为求函数的最值.2.已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数的图像的交点问题,需准确画出两个函数的图像,利用图像写出满足条件的参数范围.[典例]1.(2023·天津滨海新·高三阶段练习)已知函数若函数()恰有个零点,分别为,,,,且,则的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:D【解析】的零点即为函数的图象与直线的交点的横坐标,作出的图象和直线,如图,,区间正好是的一个周期,和时取得最大值,因此是它在上的对称轴,,由得,,所以,它在时是增函数,,,所以的取值范围是.故选:D.2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,,若关于的方程恰有个不同实数根,则实数的取值范围为(
)A. B. C. D.答案:A【解析】设,可得,因为最多有两个实根,若恰有个不同实数根,则恰有三个实根,作出的图象,如图由或可得:或或,且,由即,,由可得,由即,,由可得,由即,,由恒成立,综上所述:,实数的取值范围为,故选:A.3.(2023·重庆·模拟预测)已知二次函数的两个零点都在区间内,则a的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:C【解析】二次函数,对称轴为,开口向上,在上单调递减,在上单调递增,要使二次函数的两个零点都在区间内,需,解得故实数a的取值范围是故选:C[举一反三]1.(2023·全国·高三专题练习)函数的一个零点在区间内,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:D【解析】∵和在上是增函数,∴在上是增函数,∴只需即可,即,解得.故选:D.2.(2023·福建龙岩·模拟预测)函数的两个不同的零点均大于的一个充分不必要条件是(
)A. B. C. D.答案:B【解析】解:因为函数的两个不同的零点均大于,所以,解得.所以选项A是函数的两个不同的零点均大于的既不充分也不必要条件;选项B是函数的两个不同的零点均大于的充分不必要条件;选项C是函数的两个不同的零点均大于的充要条件;选项D是函数的两个不同的零点均大于的必要不充分条件.故选:B.3.(2023·浙江·高三专题练习)已知函数,关于的方程有四个相异的实数根,则的取值范围是(
)A. B.,C., D.,,答案:D【解析】解:函数的图象如图:方程有四个相异的实数根,必须有两个解,①一个,一个,,或者②,,另一个,令,则可令,故①,即,解得,故②,即,解得,综上,故选:D4.(多选)(2023·湖南岳阳·二模)已知函数(),,则下列说法正确的是(
)A.当时,函数有个零点B.当时,若函数有三个零点,则C.若函数恰有个零点,则D.若存在实数使得函数有个零点,则答案:ABD【解析】A:时,令,由可得,由可得或,满足题设,正确;B:时,若有三个零点,即与有三个交点,如下图示:∴,当趋向于0时恒有,当趋向于1时恒有,故B正确;C:同B项中分析的图象,在垂直于x轴的虚线移动过程中,当时恰有个零点,错误;D:同C项分析,要使有个零点,必有,正确;故选:ABD.5.(多选)(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若方程有三个不同的实数根、、,且,则(
)A. B.C. D.的取值范围是答案:ABD【解析】作出函数与函数的图象如下图所示:对于A选项,由图可知,当当时,方程有三个不同的实数根,A正确;对于B选项,由图可知,,,解得,此时,B正确;对于C选项,当时,;当时,.由图可知,,由可得,即,所以,,C错误;对于D选项,因为,所以,且,记,,则,令,得(舍去),所以当时,,当时,,所以的极小值也是最小值,,,,所以的取值
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