高考数学一轮复习考点探究与题型突破第14讲函数与方程(原卷版+解析)

第14讲函数与方程1．函数零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系(3)存在性定理2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点x1，x2x1无考点1判断函数零点所在的区间[名师点睛]确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理法：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断．[典例]1．(2023·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·高三专题练习）设，则在下列区间中函数不存在零点的区间是（

）A． B． C． D．[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的一个区间是（

）A． B． C． D．2．(2023·江苏·高三专题练习）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．3．(2023·浙江·高三专题练习）函数的零点所在的一个区间是（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高三专题练习）二次函数的部分对应值如下表：-3-2-1012346-4-6-6-46可以判断方程的两根所在的区间是（

）A．和 B．和C．和 D．和考点2判断函数零点的个数[名师点睛]判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)利用函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图像和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)拆分成两个函数，画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，原函数就有几个不同的零点．[典例]1.(2023·全国·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．72.(2023·湖南衡阳·二模）已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（

）A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个3．（2023·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：①若，恰有2个零点；②存在负数，使得恰有个1零点；③存在负数，使得恰有个3零点；④存在正数，使得恰有个3零点．其中所有正确结论的序号是_______．[举一反三]1．(2023·海南·模拟预测）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．32．(2023·重庆·模拟预测）若函数满足，且当时，，则函数与函数的图像的交点个数为（

）.A．18个 B．16个 C．14个 D．10个3．(2023·重庆·西南大学附中模拟预测）函数满足，，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．1013考点3函数零点的应用[名师点睛]1．已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(或不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值．2．已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图像的交点问题，需准确画出两个函数的图像，利用图像写出满足条件的参数范围．[典例]1．(2023·天津滨海新·高三阶段练习）已知函数若函数（）恰有个零点，分别为，，，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．(2023·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．(2023·福建龙岩·模拟预测）函数的两个不同的零点均大于的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．3．(2023·浙江·高三专题练习）已知函数，关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是（

）A． B．，C．， D．，，4．（多选）(2023·湖南岳阳·二模）已知函数（），，则下列说法正确的是（

）A．当时，函数有个零点B．当时，若函数有三个零点，则C．若函数恰有个零点，则D．若存在实数使得函数有个零点，则5．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有三个不同的实数根、、，且，则（

）A． B．C． D．的取值范围是6．（多选）(2023·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知函数若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（

）A． B． C． D．7．(2023·福建南平·三模）已知函数有零点，则实数___________.8．(2023·浙江金华·三模）设．函数，若，则_________，若只有一个零点，则a取值范围是___________．9．(2023·河北石家庄·二模）已知函数，若存在实数.满足，且，则___________，的取值范围是___________.10．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是多少？第14讲函数与方程1．函数零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系(3)存在性定理2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点x1，x2x1无考点1判断函数零点所在的区间[名师点睛]确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理法：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断．[典例]1．(2023·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】函数是上的连续增函数,,可得,所以函数的零点所在的区间是.故选：C2．(2023·全国·高三专题练习）设，则在下列区间中函数不存在零点的区间是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】为连续函数，，，根据零点存在性定理可知，内存在零点；，，，同理可知：区间，区间上都存在零点，区间上没有零点故选：D[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）函数的零点所在的一个区间是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】函数是连续函数，∵，，∴，由零点判定定理可知函数的零点在．故选：B．2．(2023·江苏·高三专题练习）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】在上是增函数，又，，，，，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在的大致区间是故选：C3．(2023·浙江·高三专题练习）函数的零点所在的一个区间是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由题意，函数在R上单调递增，且，，，所以函数的零点所在的一个区间是.故选：B.4．(2023·全国·高三专题练习）二次函数的部分对应值如下表：-3-2-1012346-4-6-6-46可以判断方程的两根所在的区间是（

）A．和 B．和C．和 D．和答案：A【解析】由表格可知：，所以，结合零点存在性定理可知：二次函数的零点所在区间为和，所以方程的两根所在的区间是和，故选：A.考点2判断函数零点的个数[名师点睛]判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)利用函数零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图像和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)拆分成两个函数，画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，原函数就有几个不同的零点．[典例]1.(2023·全国·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7答案：D【解析】当时，，则；以此类推，当时，；…；在平面直角坐标系中作出函数与的部分图象如图所示.由图可知，与的图象有7个不同的交点故选：D2.(2023·湖南衡阳·二模）已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（

）A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个答案：D【解析】因为，所以的周期为2，又因为为奇函数，，令，得，又，所以，当时，，由单调递减得函数在上单调递增，所以，得，作出函数图象如图所示，由图象可知当过点时，，此时在上只有3个零点.当经过点时，，此时有5个零点.当时，有4个零点.当经过点时，，此时有5个零点.当时，有4个零点.当经过点时，，此时在上只有3个零点.当时，有4个零点.所以当时，函数在上有4个或5个零点.故选：D3．（2023·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：①若，恰有2个零点；②存在负数，使得恰有个1零点；③存在负数，使得恰有个3零点；④存在正数，使得恰有个3零点．其中所有正确结论的序号是_______．答案：①②④【解析】对于①，当时，由，可得或，①正确；对于②，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，②正确；对于③，当直线过点时，，解得，所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；对于④，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，④正确.故答案为：①②④.[举一反三]1．(2023·海南·模拟预测）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C【解析】解:函数的零点个数即函数与的图象交点的个数，作图如图所示，由图可知，两图象有两个交点，故原函数有2个零点故选：C2．(2023·重庆·模拟预测）若函数满足，且当时，，则函数与函数的图像的交点个数为（

）.A．18个 B．16个 C．14个 D．10个答案：A【解析】因，于是得函数是以2为周期的周期函数，又当时，，则有函数与函数都是偶函数，在同一坐标系内作出函数与函数的图像，如图，观察图象得，函数与函数的图像有9个交点，由偶函数的性质知，两函数图象在时有9个交点，所以函数与函数的图像的交点个数为18.故选：A3．(2023·重庆·西南大学附中模拟预测）函数满足，，当时，，则关于x的方程在上的解的个数是（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．1013答案：B【解析】解：因为函数满足，所以函数关于点对称，因为，即，所以函数关于直线对称，因为当时，，所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：

由图可知，函数为周期函数，周期为，由于函数一个周期内，与有2个交点，在上，与有1个交点，所以根据函数周期性可知，当时，与有个交点.所以关于x的方程在上的解的个数是个.故选：B考点3函数零点的应用[名师点睛]1．已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方程(或不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值．2．已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图像的交点问题，需准确画出两个函数的图像，利用图像写出满足条件的参数范围．[典例]1．(2023·天津滨海新·高三阶段练习）已知函数若函数（）恰有个零点，分别为，，，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】的零点即为函数的图象与直线的交点的横坐标，作出的图象和直线，如图，，区间正好是的一个周期，和时取得最大值，因此是它在上的对称轴，，由得，，所以，它在时是增函数，，，所以的取值范围是．故选：D．2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】设，可得，因为最多有两个实根，若恰有个不同实数根，则恰有三个实根，作出的图象，如图由或可得：或或，且，由即，，由可得，由即，，由可得，由即，，由恒成立，综上所述：，实数的取值范围为，故选：A.3．(2023·重庆·模拟预测）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】二次函数，对称轴为，开口向上，在上单调递减，在上单调递增，要使二次函数的两个零点都在区间内，需，解得故实数a的取值范围是故选：C[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】∵和在上是增函数，∴在上是增函数，∴只需即可，即，解得.故选：D.2．(2023·福建龙岩·模拟预测）函数的两个不同的零点均大于的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】解：因为函数的两个不同的零点均大于，所以，解得.所以选项A是函数的两个不同的零点均大于的既不充分也不必要条件；选项B是函数的两个不同的零点均大于的充分不必要条件；选项C是函数的两个不同的零点均大于的充要条件；选项D是函数的两个不同的零点均大于的必要不充分条件.故选：B.3．(2023·浙江·高三专题练习）已知函数，关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是（

）A． B．，C．， D．，，答案：D【解析】解：函数的图象如图：方程有四个相异的实数根，必须有两个解，①一个，一个，，或者②，，另一个，令，则可令，故①，即,解得，故②，即,解得，综上，故选：D4．（多选）(2023·湖南岳阳·二模）已知函数（），，则下列说法正确的是（

）A．当时，函数有个零点B．当时，若函数有三个零点，则C．若函数恰有个零点，则D．若存在实数使得函数有个零点，则答案：ABD【解析】A：时，令，由可得，由可得或，满足题设，正确；B：时，若有三个零点，即与有三个交点，如下图示：∴，当趋向于0时恒有，当趋向于1时恒有，故B正确；C：同B项中分析的图象，在垂直于x轴的虚线移动过程中，当时恰有个零点，错误；D：同C项分析，要使有个零点，必有，正确；故选：ABD.5．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有三个不同的实数根、、，且，则（

）A． B．C． D．的取值范围是答案：ABD【解析】作出函数与函数的图象如下图所示：对于A选项，由图可知，当当时，方程有三个不同的实数根，A正确；对于B选项，由图可知，，，解得，此时，B正确；对于C选项，当时，；当时，.由图可知，，由可得，即，所以，，C错误；对于D选项，因为，所以，且，记，，则，令，得（舍去），所以当时，，当时，，所以的极小值也是最小值，，，，所以的取值