初中数学(中考)关于使用配方法求二次函数的解析式和顶点坐标、对称轴的专题问题_第1页
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初中数学(中考)关于使用配方法求二次函数的解析式和顶点坐标、对称轴的专题问题:关于使用配方法求二次函数的解析式和顶点坐标、对称轴的专题问题:1.(2013•安徽模拟)已知:二次函数y=2x2+bx+c过点(1,1)和点(2,10),求二次函数的解析式,并用配方法求二次函数图象的顶点坐标.2.(2011•普陀区一模)已知一个二次函数的图象经过A(0,1)、B(1,3)、C(﹣1,1)三点,求这个函数的解析式,并用配方法求出图象的顶点坐标.3.(2011•黄浦区一模)已知二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点(1,1)与(﹣1,9).(1)求此函数的解析式;(2)用配方法求此函数图象的顶点坐标.4.(2010•嘉定区一模)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0)、B(2,﹣3)、C(0,5).(1)求这个二次函数的解析式;(2)用配方法求出这个二次函数的顶点坐标.5.(1999•福州)已知:二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(﹣1,12)、B(2,﹣3).(1)求该二次函数的解析式;(2)用配方法把由(1)所得的解析式化为y=(x﹣h)2+k的形式,并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)求抛物线与x轴的两个交点C、D的坐标及△ACD的面积.12.(2005•广州)已知二次函数y=ax2+bx+c.(1)当a=1,b=﹣2,c=1时,请在图上的直角坐标系中画出此时二次函数的图象;(2)用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标.13.(2006•遂宁)已知二次函数y=x2+4x.(1)用配方法把该函数化为y=a(x﹣h)2+k(其中a、h、k都是常数且a≠0)的形式,并指出函数图象的对称轴和顶点坐标;(2)函数图象与x轴的交点坐标.14.(2005•乌兰察布)已知抛物线y=x2﹣2x﹣3,将y=x2﹣2x﹣3用配方法化为y=a(x﹣h)2+k的形式,并指出对称轴、顶点坐标及图象与x轴、y轴的交点坐标.15.(1997•上海)用配方法把函数y=1﹣4x﹣2x2化成y=a(x+m)2+k的形式,并指出它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.16.(1997•安徽)通过配方,确定抛物线y=﹣2x2﹣5x+7的开口方向、对称轴和顶点坐标.17.(2014•虹口区一模)已知二次函数y=﹣﹣x+.(1)用配方法把该二次函数的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式;(2)指出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.18.(2009•门头沟区二模)已知二次函数y=2x2﹣4x+5,(1)将二次函数的解析式化为y=a(x﹣h)2+k的形式;(2)将二次函数的图象先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度后,所得二次函数图象的顶点为A,请你直接写出点A的坐标;(3)若反比例函数y=的图象过点A,求反比例函数的解析式.答案:1.(2013•安徽模拟)已知:二次函数y=2x2+bx+c过点(1,1)和点(2,10),求二次函数的解析式,并用配方法求二次函数图象的顶点坐标.解:把(1,1)和(2,10)代入y=2x2+bx+c有:,解有:,∴二次函数的解析式为:y=2x2+3x﹣4,y=2x2+3x﹣4,=2(x2+x+)﹣﹣4,=2(x2+x+)﹣,=2(x+)2﹣,∴二次函数的顶点坐标为(﹣,﹣).2.(2011•普陀区一模)已知一个二次函数的图象经过A(0,1)、B(1,3)、C(﹣1,1)三点,求这个函数的解析式,并用配方法求出图象的顶点坐标.解:(1)设所求的二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).由这个函数的图象过A(0,1),可知c=1.(1分)再由这个函数的图象过点B(1,3)、C(﹣1,1),有∴(2分)∴(2分)∴这个二次函数的解析式为:y=x2+x+1.(1分)(2)y=x2+x+1.(2分)∴这个二次函数的顶点坐标为.(2分)3.(2011•黄浦区一模)已知二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点(1,1)与(﹣1,9).(1)求此函数的解析式;(2)用配方法求此函数图象的顶点坐标.解:(1)由条件有,解有,∴解析式为y=2x2﹣4x+3;(2)y=2x2﹣4x+3,=2(x2﹣2x+1)+3﹣2,=2(x﹣1)2+1,∴顶点坐标为(1,1).4.(2010•嘉定区一模)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0)、B(2,﹣3)、C(0,5).(1)求这个二次函数的解析式;(2)用配方法求出这个二次函数的顶点坐标.解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0)、B(2,﹣3)、C(0,5),∴(1分)∴(3分)∴这个二次函数的解析式为:y=x2﹣6x+5.(1分)(2)y=x2﹣6x+5y=(x2﹣6x+9﹣9)+5(2分)y=(x﹣3)2﹣4.(1分)∴这个二次函数的顶点坐标为(3,﹣4).(2分)5.(1999•福州)已知:二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(﹣1,12)、B(2,﹣3).(1)求该二次函数的解析式;(2)用配方法把由(1)所得的解析式化为y=(x﹣h)2+k的形式,并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)求抛物线与x轴的两个交点C、D的坐标及△ACD的面积.解:根据题意,有(1分)解有;(3分)∴该二次函数的解析式y=x2﹣6x+5;(4分)(2)∵y=x2﹣6x+5=(x﹣3)2﹣4,(6分)∴抛物线的顶点坐标为(3,﹣4),(7分)对称轴为直线x=3;(8分)(3)由x2﹣6x+5=0,解有x1=1,x2=5;(9分)∴C、D两点坐标分别为(1,0),(5,0);(10分)S△ACD=×4×12=24.(12分)6.(2010•虹口区一模)已知二次函数y=x2+2x﹣3,解答下列问题:(1)用配方法将该函数解析式化为y=a(x+m)2+k的形式;(2)指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴,以及它的变化情况.解:(1)y=x2+2x+1﹣4=(x+1)2﹣4;(2)∵a=1>0,m=1,k=﹣4,∴该函数图象的开口向上;顶点坐标是(﹣1,﹣4);对称轴是直线x=﹣1;图象在直线x=﹣1左侧部分是下降的,右侧的部分是上升的.7.(2012•闸北区一模)已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,0)、(2,10)、(﹣2,﹣6).(1)求这个抛物线的解析式;(2)运用配方法,把这个抛物线的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式,并指出它的顶点坐标;(3)把这个抛物线先向右平移4个单位,再向上平移6个单位,求平移后得到的抛物线与y轴交点的坐标.解:(1)根据题意有:,解有∴这个抛物线的解析式是y=2x2+4x﹣6;(2)y=2x2+4x﹣6=2(x2+2x)﹣6,y=2(x2+2x+1)﹣2﹣6,∴y=2(x+1)2﹣8∴顶点坐标是(﹣1,﹣8);(3)将顶点(﹣1,﹣8)先向右平移4个单位,再向上平移6个单位,有顶点坐标为(3,﹣2),∴平移后到的抛物线的解析式是y=2(x﹣3)2﹣2,令x=0,则y=16,∴它与y轴的交点的坐标是(0,16).9.(2005•静安区二模)如图,二次函数y=x2﹣(m+1)x+m(其中m>1)与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C.(1)求点A、B的坐标(可用m的代数式表示);(2)当△ABC的面积为6时,求这个二次函数的解析式,并用配方法求它的图象的顶点坐标.解:(1)抛物线y=x2﹣(m+1)x+m(其中m>1)中,令y=0,有:x2﹣(m+1)x+m=0,即(x﹣m)(x﹣1)=0,解有:x1=m,x2=1;∴A(1,0),B(m,0);(2)易知C(0,m);∵S△ABC=AB•OC=(m﹣1)•m=6;∴m2﹣m﹣12=0,解有m=4,m=﹣3(不合题意,舍去);∴y=x2﹣5x+4=(x﹣)2﹣;∴抛物线的顶点坐标为(,﹣).8.(2009•通州区二模)已知二次函数y=x2﹣3x﹣4.(1)用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴;(2)画出这个函数的大致图象,指出函数值不小于0时x的取值范围.解:(1)∵y=x2﹣3x﹣4=x2﹣3x+()2﹣()2﹣4=(x﹣)2﹣;∴二次函数图象的顶点坐标是(,﹣),对称轴方程是x=.(2)∵y=x2﹣3x﹣4=(x+1)(x﹣4),图象与x轴两交点坐标为(﹣1,0),(4,0),∴函数值不小于0时,x的取值范围是x≤﹣1或x≥4.图象如图.10.(2011•虹口区一模)已知二次函数y=2x2+bx+c的图象经过A(0,1)、B(﹣2,1)两点.(1)求该函数的解析式;(2)用配方法将该函数解析式化为y=a(x+m)2+k.解:(1)根据题意,有,解得,,∴该二次函数的解析式是y=2x2+4x+1;(2)由(1)中的二次函数的解析式知,y=2(x2+2x)+1=2(x2+2x+1)+1﹣2=2(x+1)2﹣1.11.(2009•黄浦区一模)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,0),B(﹣1,0),C(0,3).(1)求此函数的解析式;(2)用配方法(写出配方过程)将此函数化为y=a(x+m)2+k的形式,并写出其顶点坐标;(3)在线段AC上是否存在点P(不含A、C两点),使△ABP与△ABC相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)由题意有:,(2分)解有:;(1分)∴此函数解析式为y=﹣x2+2x+3;(1分)(2)y=﹣x2+2x+3=﹣(x2﹣2x+1)+3+1(2分)=﹣(x﹣1)2+4;(1分)∴顶点为(1,4);(1分)(3)假设存在点P,使△ABP与△ABC相似,则/;当时,AP=AC;(不合题意,舍去)(1分)当时,;(1分)由题意易有直线AC的解析式为:y=﹣x+3,设P(x,﹣x+3),其中0<x<3,则,解有:(舍去);(1分)∴.(1分)12.(2005•广州)已知二次函数y=ax2+bx+c.(1)当a=1,b=﹣2,c=1时,请在图上的直角坐标系中画出此时二次函数的图象;(2)用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标.解:(1)当a=1,b=﹣2,c=1时,y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2,∴该二次函数的顶点坐标为(1,0),对称轴为直线x=1,利用函数对称性列表如下:x…﹣10123…y…41014…在给定的坐标中描点,画出图象如下.(2)由y=ax2+bx+c是二次函数,知a≠0y=a(x2+x)+c=a[x2+x+()2]+c﹣a×()2=a(x+)2+∴该二次函数图象的顶点坐标为.13.(2006•遂宁)已知二次函数y=x2+4x.(1)用配方法把该函数化为y=a(x﹣h)2+k(其中a、h、k都是常数且a≠0)的形式,并指出函数图象的对称轴和顶点坐标;(2)函数图象与x轴的交点坐标.解:(1)∵y=x2+4x=(x2+4x+4)﹣4=(x+2)2﹣4,∴对称轴为:x=﹣2,顶点坐标:(﹣2,﹣4);(2)y=0时,有x2+4x=0,x(x+4)=0,∴x1=0,x2=﹣4.∴图象与x轴的交点坐标为:(0,0)与(﹣4,0).14.(2005•乌兰察布)已知抛物线y=x2﹣2x﹣3,将y=x2﹣2x﹣3用配方法化为y=a(x﹣h)2+k的形式,并指出对称轴、顶点坐标及图象与x轴、y轴的交点坐标.解:y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣1﹣3=(x﹣1)2﹣4,对称轴是x=1,顶点坐标是(1,﹣4),当x=0时,y=﹣3,∴y轴的交点坐标为(0,﹣3),当y=0时,x=3或x=﹣1即与x轴的交点坐标为(3,0),(﹣1,0).15.(1997•上海)用配方法把函数y=1﹣4x﹣2x2化成y=a(x+m)2+k的形式,并指出它的图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.解:y=1﹣4x﹣2x2,=﹣2(x2+2x+1)+2+1,=﹣2(x+1)2+3,∴,∵a=﹣2<0,∴它的图象的开口方向向下,顶点坐标为(﹣1,3),对称轴为直线x=﹣1.16.(1997•安徽)通过配方,确定抛物线y=﹣2x2﹣5x+7的开口方向、对称轴和顶点坐标.解:y=﹣2x2﹣5x+7=﹣2(x2+x)+7=﹣2(x+)2+,∵a=﹣2<0,∴抛物线开口向下,对称轴是直线x=﹣,顶点坐标为(﹣,).17.(2014•虹口区一模)已知二次函数y=﹣﹣x+.(1)用配方法把该二次函数的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式;(2)指出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.解:(1)y=﹣x2﹣x+,=﹣(x2+2x+1)++,=﹣(x+1)2+4;(2)∵a=﹣<0,∴二次函数图象的开口向下,顶点坐标为(﹣1,4),

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