高考绿色通道 变化率导数

第二模块函数、导数及其应用第二模块函数、导数及其应用1数卞—考总芰习人牧A啮■1理＞1.导数的概念(1)函数＞=/U)在处的异数一般地,函数y二/00在x二aO处的瞬吋变化率足V/IA'+Av)-/'(A.,)Iiiii-7^=li|ni'fC力I相数、=/(.V)(£Al丄…Ar^r=A'o处的导放,!l!作f(Ao).第二模块函数、导数及其应用(2)导函数当变化时,/(_r)称为/W的导函数,则=、-口p「,-*";H考总S习人數ARfi■I理)(di41Al第二模块函数、导数及其应用特别提示d注意f（x、反J^Xq）的区别,/V）是一个函数,/V。）是常数,/（xQ）是函欹/V）在点介处的函数值.导数研究在X=处及其附近函数的改变量4v与自变量的改变量Ji之比的极限,它是一个局部性的概念,若存在,则函数在.y=x9处就有导数,否则就没有导数.1数卞—考总芰习人牧A啮■1理＞、『IJTIP第二模块函数、导数及其应用1数卞—考总芰习人牧A啮■1理＞r-............2.导数的几何意义函数在处的导数的儿何意义，就是曲线y=/tr）在点P（Jt0,&）处的切线的i本过点P的切线方程为:.厂凡=/（又0）0飞）■第二模块函数、导数及其应用1数卞—考总芰习人牧A啮■1理＞r3.基本初等函数的导数公式（IV-0（c为常数）：(2)(^)-(3)(siiu)'=co&x-(4)(cosr)'=—siru:(5)(^y=；ev(6)(0'=/Plnr；1(7)_'=x_;1(8)(logZ)^=1Xlllc/r1J第二模块函数、导数及其应用4.导数运算法则（聯）士相卜_八曲V）;⑵咖.伽］'=,⑴抑）场W(3O0).f(.v)g(A,)-/Lv)《'(T)=k(川2第二模块函数、导数及其应用数T考总芰习人牧A啮■1理>特别提示d一、*.»*•**.<e****•tAi**-.关于导数的加减法则，可推广到有限多个的情况，如+g(x)+h(x)]1=ff⑺+g'(x)+/i'(X)等.第二模块函数、导数及其应用1数卞—考总芰习人牧A啮■1理＞Grcc-EHn.5.复合函数的导数设函数it=(p(x)在点i处冇导数uf—(p\x),函数y〒/(w)在点的对;、'、/点W处有导数y'=/(w),则合函数在点■r处也有导数,且艺二_或呼使fv(pW)=______________*沪V)第二模块函数、导数及其应用数T考总芰习人牧A啮■1理＞1.下列求导运算止确的是（）B.(logy’C.(3v)7=3'log3e2D.(xcosx)!=—Zvsinr第二模块函数、导数及其应用答案:BGreerEDUj*1p,r'、解析:根椐求导公式(x+^)'=1-p,(3v)f=3Mn3,2.,2画___________jTcosx)'二Zreosjr-jTsinr，(logg)'=vf9，只有B正确.第二模块函数、导数及其应用1,2,曲线y=一x_+5在.d处的切线的倾斜角为（3tt~4)_7tD3C4解析:=x1-2x,Ayiv.}L.•，切线的倾斜角为,宇答案:B3数卞―考总芰习人牧A啮■1理＞Green•A艚耀P■""<4Zk6A第二模块函数、导数及其应用3.设是二次函数，方有两个相等实根H/(x)-2r+2,^]y=Ax)的表达式是_._____解析:根椐题意，知方程J(x)=0有两个相等实根，可设/(jv)=a(x+b)2，•••/(x)=2a(x十b).人2a(x十6)=2x十2.2a=2,2ab=2，人a=1，6=1.•••/(x)=(x+1)2.答案:Ax)=(x+1)21数卞—考总芰习人牧A啮■1理＞CrcT.™第二模块函数、导数及其应用第二模块函数、导数及其应用第二模块函数、导数及其应用考总芰习人牧A啮■1理＞-cosx+(I+cosx)+(1-sin.v)sinx解:（1）/S111A+(2)y=x33+X"了=3x2(1+cosx)22~+x~2(*os^-2x

_3

sin_v-sinr~cosx-I(I十cosx)2G『IrTTIJ3--x2'第二模块函数、导数及其应用(1-x)2.,(1+x)'(1-X)-(1+x)(l-X)f=2,0且x^l).-承多4®^J&5XIA«CARfi■I理)(1~Vx)(l+Vx)2(1+X)」;-(x>0且#1),1-X、【wripw第二模块函数、导数及其应用(sinjc)’cosx-sinjcCcosjc)'cos\r（4口論）’1.cos\rh考总s习人數ARfi■I理）/JQX'taiu+*ir)'=tanr+G『IrTTIJ第二模块函数、导数及其应用1数卞—考总芰习人牧A啮■1理>G『IrTTI1提窍想自卵BflU史诚离考和热点一导数的定义【例1】一物体在某一受力状态下的位移J⑺(单位:m)与运动时间r(单位:s)的关系为:s(/)=f3(^>0).(1)利用导数的定义求八0;⑵求该物体在r=2秒时的瞬吋速度u(2).第二模块函数、导数及其应用1数卞—考总芰习人牧A啮■1理＞解:(1)\.上、二小+山)-5⑴-it+Si)'-〆-At(3r+3/3/+dr),人=3r+3iAi+_lr，□k//.■、'(I)=Iiin4-=liin(3/2+3-1/•i+Jr)=3r._V4)□/-1/*0(2)该物体在2秒时的瞬时速度就是s(t＞在/=2处的导教，r(2):=x'(2)=3x2'—12(ni/s).第二模块函数、导数及其应用数T考总芰习人牧A啮■1理＞o名师点睛o(1)会根据定义求导数.(2)注意导数的意义的应用,如导数的几何意义是切线的斜率；位移关于时间/的导数为瞬时速度；速度u(/)关于时间r的导数为加速度.第二模块函数、导数及其应用1数卞—考总芰习人牧A啮■1理＞变式迁移1用异数的定义求函数y=x2+ax+b(a.b为常数)的导数.解:」1=:(%+Ar)2+a(,v+Av)+bI-(x2+ov+6)=2a*丄+(丄V)2+f•Ja,Av_(2a+a)_l.v+()2=(2x+f'>+Ar,第二模块函数、导数及其应用考总芰习人牧A啮■1理＞热点二求已知函数的导数【例2】求下列函数的迂数:X+COSJt⑴y=；'JC十S1IU(2)y=(2x~3)5；⑶尸々一义:_____(4)尸ln(x+^/1+久2).第二模块函数、导数及其应用考总芰习人牧A啮■1理＞思路分析:先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时,可设出中间变量,注意要逐层求导不能遗漏,每一步对谁求导,不能混淆.解:（l）y'=(x

+cosx)'(x

+sirir)一(x+cos.r)(x+sin_¥)'(x+sinv)2(I-sinx)(jc+situ)-(jc+cosjc)(

I+cosx)(x

+sirir)2-xcosx-xsirtr+siar-cosx-1(x+sin_v)2第二模块函数、导数及其应用=10w4=10(2r-3)4.(2)i殳w=-3,则｝=(2x-3)5由y=h5与a=2x-3复合而成,,•■/=/(«)*u\x)=("5)'(2jc-3)'=5«4•21V3-j2x/3^_2x_6I'r"2(3)设w二3-x,则y-73-x.由y=a了与h=3—x复合而成.丄i丄T':/(«)•w’(x)(«了)'(3-xYa~(-1)G『IrTTIJH考总S习人數ARfi■I理）第二模块函数、导数及其应用(4)Vy=\n(x+小+j2)人/=+yll+P)f1Tt(1+々,x+\!\+x22\/l+x21ri2xn=x^l+Z11+27lTp]1、J1+x2+xX+\/1+J?+x2I数T考总芰习人牧A啮■1理＞第二模块函数、导数及其应用考总芰习人牧A啮■1理＞变式迁移2求下列函数的导数:(1)尸(3?—4x)(2x+1);(2)y=3V-2x+e；…Inx⑶尸?TT(4)尸sin2jt:第二模块函数、导数及其应用1数卞—考总芰习人牧A啮■1理＞r-............解:(l)Vy=(3^-4x)(2r+1)=6a4+3x3-8x2-4x,•••/=24a3+9X2—16x-4.或/=(3x3-4x),(2x+1)+(3^-4%)(2^+I)'=(9JC2-4)(2jc十1)+(3x3-4x)•2=24X3+9x2-16x-4.(2y=(3V)'-(27+(e)'=(3v)V+3允)'-(2丁=3Aln3•el+3vev-2vln2L-(ln3+l)(3e)r-2Aln2.;第二模块函数、导数及其应用数T考总芰习人牧A啮■1理＞⑶/(lav)'(jc2

+I)-lav(x2

+1)!(?+I)21)-lnx-Zrx2

+1-2jrlarx(x2

+l)2(4)y'=(sin2x)'=(cos2x).(2x)'2cos2r.第二模块函数、导数及其应用1数卞—考总芰习人牧A啮■1理＞热点三导数的几何意义----------【例3】已知函戣/U)=P+_r-16.(1)求曲线y=/U)在点(2,—6)处的切线的方程；(2)直线/为曲线的切线,且经过原点,求直线/的方程及切点坐标；(3)如果曲线^=凡¥)的某一切线与直线尸X+3垂直,求切点卑标与切线的方程,第二模块函数、导数及其应用1数卞—考总芰习人牧A啮■1理＞r-............解:⑴可判定点(2，-6)在曲线y=Ar)上.?/(x)吻3+*-16)'=3jt2+1,/./(x)在点(2，-6)处的切线的斜率为k=f(2)=13.■•■切线的方程为y=13(x-2)+(-6)，即y-13x-32.第二模块函数、导数及其应用考总芰习人牧A啮■1理＞(2)解法一:设切点为(Xo，yo),则直线/的斜率为/'(x0)=3j+L.•.直线/的方程为^=(3x5+l)(x-xo)+4+^o"16,又•.•直线/过点(0,0),0-(3x6+I)(-x0)+Xq+x0-16,整理得，Xo-8，-'-xo=-2，人凡=(-2)3+(-2)-16=-26’fc-3X(-2)2+1=13..•.直线/的方程为y-13x,切点坐标为(-2，-26)，第二模块函数、导数及其应用考总芰习人牧A啮■1理＞解法二:设直线/的方程为y=kx,则=yo一0

=4+义。-

16x0

-0又••’卜/'(_r0卜34+1,切点为（x0,y0）,解之得jc。=-2,Ayo-(-2)3+(-2)-16=-26,卜3X(-2)2+1叫3..•.直线/的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).第二模块函数、导数及其应用f-Vo=_I,JVo=一18,戶=1’七*參1A*"A|LVo="14,切线方程为y=4(x~1)-14或夕=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.G『IrTTIJP"*^Sr(3)'/切线与直线y=-+3垂直,A切线的斜率人■4.设切点的坐标为(x(),yo),则f'(^o)=3xq+1=4,•*Xq一士1,第二模块函数、导数及其应用1数卞—考总芰习人牧A啮■1理＞o名师点睛o根据条件列方程或方程组是解决该问题的主要方法,灵活运用x=x0处的导数就是该点处的切线的斜率是解决有关切线问题的关键.由导数的几何意义可知,点（&,y（x0））处的切线方程为｝=/（x0）（x-x0）+/U。）.第二模块函数、导数及其应用1数卞—考总芰习人牧A啮■1理＞变式迁移3（2009•江苏卷）在平面直角蜥标系jcQV中,点P在曲线C:10x+3上,且在第二象限内,己知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为第二模块函数、导数及其应用rG『IrTTIJ解析:由曲线C:y=x3-lO.r+3,得y'=3a*2-10.又根据导数的几何意义，得3x2-10=2,所以x=±2.又点P在第二象限内，所以_r=-2，即点P的横坐标为-2.将_r=-2代入曲线方程,得y=15,所以点P的坐标为(_2,15).故<(-2,15).答案:(-2,15)第二模块函数、导数及其应用热点四导数运算的应用)则实数a的取值范网足（B.（0,1）D.[1,+叫-承多4®^J&5XIA«CARfi■I理){x\f'f⑴>0},M穿P,A.(一加,1)C.(1,+叫G『IrTTI1pn**^1]【例4】设函数集合M={xl/(x)<0},P—X1第二模块函数、导数及其应用函数y在（1,+⑵）上为增函数,1-a1+—x-r由图象可知,时,此时/（x）>0,同时/U）<0的解集为（］,+oo）的真子集.故选c*答案:C\_xax~1+1~角午tff:y=r=--1—=yJx-Ix-1当a<l时,图象如下图1所示.当a>l时,图象如下图2所示.、【wrIpw第二模块函数、导数及其应用1数卞—考总芰习人牧A啮■1理＞G「rwriI变式迁移4如阁,函数7(x)的图象是折线段ASC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则./[<(())]=_______;r/'(1+Av)-/'(1)lim-7——:--丄oAc____.(用数字作答)第二模块函数、导数及其应用数T考总芰习人牧A啮■1理>解析:/(()>=4/(4)=2;由导數的几何意义知答案:2-2第二模块函数、导数及其应用考总芰习人牧A啮■1理＞1.根据导数的定义,求函数在点&处导数的方法(!)求函数的增景办+zlx)-^o)；⑵求平均变化率n,°);数/’(％)=lim=^.丄a-第二模块函数、导数及其应