2025届高考数学一轮总复习课时作业47直线平面垂直的判定及其性质含解析苏教版

PAGEPAGE1课时作业47直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.2．设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是(B)A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥α，a∥b，则b⊥αC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若a∥α，a⊥b，则b⊥α解析：若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α或b与α相交，故D错误．3．(2024·武汉调研)已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的随意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的多数条直线；③一个平面内随意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内随意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题个数是(C)A．3 B．2C．1 D．0解析：构造正方体ABCD­A1B1C1D1，如图，①在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，BD⊂平面ABCD，但A1D与BD不垂直，故①错；②在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，l是平面ADD1A1内的随意一条直线，l与平面ABCD内同AB平行的全部直线垂直，故②正确；③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故③错；④在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩4．(2024·成都检测)已知a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，则下列说法正确的是(C)A．若c⊂平面α，则a⊥αB．若c⊥平面α，则a∥α，b∥αC．存在平面α，使得c⊥α，a⊂α，b∥αD．存在平面α，使得c∥α，a⊥α，b⊥α解析：对于A，直线a可以在平面α内，也可以与平面α相交；对于B，直线a可以在平面α内，或者b在平面α内；对于D，假如a⊥α，b⊥α，则有a∥b，与条件中两直线异面冲突．5．(2024·贵州适应性考试)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下面四个命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；③若m∥α，n⊂α，则m∥n；④若α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n，则m∥n.其中正确命题的序号是(D)A．①④ B．①②C．②③④ D．④解析：对于①，同垂直于一个平面的两个平面可能相交，命题①错误；对于②，在两个相互垂直的平面内的两条直线可能相互平行，可能相交，也可能异面，命题②错误；对于③，直线m与n可能异面，命题③错误；对于④，由面面平行的性质定理知命题④正确．故正确命题的序号是④，选D.6．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为eq\f(9,4)，底面是边长为eq\r(3)的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(B)A.eq\f(5π,12) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)解析：如图，取正三角形ABC的中心O，连接OP，则∠PAO是PA与平面ABC所成的角．因为底面边长为eq\r(3)，所以AD＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，AO＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(2,3)×eq\f(3,2)＝1.三棱柱的体积为eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2AA1＝eq\f(9,4)，解得AA1＝eq\r(3)，即OP＝AA1＝eq\r(3).所以tan∠PAO＝eq\f(OP,OA)＝eq\r(3)，因为直线与平面所成角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以∠PAO＝eq\f(π,3).7．如图，在四面体D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是(C)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.8．(2024·湖北黄冈模拟)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列不正确的是(B)A．平面ANS⊥平面PBCB．平面ANS⊥平面PABC．平面PAB⊥平面PBCD．平面ABC⊥平面PAC解析：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又AN⊂平面ABP，∴BC⊥AN，又∵AN⊥PB，BC∩PB＝B，∴AN⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，∴AN⊥PC，又∵PC⊥AS，AS∩AN＝A，∴PC⊥平面ANS，又PC⊂平面PBC，∴平面ANS⊥平面PBC，∴A正确，C，D明显正确，故选B.二、填空题9.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为4.解析：∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形，由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．10.如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线AB解析：∵AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上．11．(2024·南昌模拟)侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为eq\f(\r(3),3).解析：记该正三棱锥为P­ABC，P为顶点，△ABC为底面，由题意知，正三棱锥的侧棱两两垂直，PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形．如图，在平面ABC上，过点A作BC的垂线AD交BC于点D，过点P作PO⊥AD交AD于点O，连接PD，因为△ABC是正三角形，所以D是BC的中点，又PB＝PC，所以PD⊥BC.因为AD∩PD＝D，所以BC⊥平面PAD，因为PO⊂平面PAD，所以BC⊥PO，又AD∩BC＝D，所以PO⊥平面ABC，所以∠PAO是PA与底面ABC所成的角，设侧棱长是1，在等腰直角三角形PBC中，BC＝eq\r(2)，PD＝eq\f(\r(2),2)，AD＝eq\f(\r(6),2)，PA与底面ABC所成角的正弦值为eq\f(PD,AD)＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(\r(6),2))＝eq\f(\r(3),3).12.如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上．点P到直线CC1的距离的最小值为eq\f(2\r(5),5).解析：点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，明显点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值．当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝eq\f(2×1,\r(22＋12))＝eq\f(2\r(5),5).三、解答题13．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD.因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又AE∩AB＝A，所以PD⊥平面ABE.14．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证：AB∥EF；(2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD.证明：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD.又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC，又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF.(2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD.因为AF⊥EF，(1)中已证AB∥EF，所以AB⊥AF.又AB⊥AD，由点E在棱PC上(异于点C)，所以点F异于点D，所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.15．(2024·四川绵阳质检)如图，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是半圆弧上不同于A，B的随意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是(D)A．MN∥ABB．MN与BC所成的角为45°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC解析：∵M，N分别为VA，VC的中点，∴MN∥AC，故A错误；∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵MN∥AC，∴MN与BC所成的角是90°，故B错误；∵∠ACO<∠ACB＝90°，∴OC与平面VAC不垂直，故C错误；∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵VA垂直于半圆O所在的平面，∴VA⊥BC，又VA∩AC＝A，∴BC⊥平面VAC，又BC⊂平面VBC，∴平面VAC⊥平面VBC，故D正确．16．(2024·河南郑州测试)如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，△PAD是等边三角形，F为AD的中点，PD⊥BF.(1)求证：AD⊥PB.(2)若E在线段BC上，且EC＝eq\f(1,4)BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥D­CEG的体积；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：连接PF，∵△PAD是等边三角形，F为AD的中点，∴PF⊥AD.∵底面ABCD是菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，∴BF⊥AD.又PF∩BF＝F，∴AD⊥平面BFP，又PB⊂平面BFP，∴AD⊥PB.(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD.由(1)知AD⊥BF，∵PD⊥BF，AD∩PD＝D，∴BF⊥平面PAD.又BF⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，∴PF⊥平面ABCD.连接CF，交DE于点H，过H作HG∥PF交PC于点