2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第29课时 与圆有关的位置关系（课件）

第29课时与圆有关的位置关系

考点精讲1

重难点分层练2

内蒙古中考真题及拓展3直线与圆的位置关系相交相切相离点与圆的位置关系点在圆外点在圆内点在圆上切线的性质与判定性质与判定切线长和切线长定理三角形的内切圆概念内心性质角度关系与圆有关的位置关系考点精讲【对接教材】北师：九下第三章P66、P89～P96；

人教：九上第二十四章P92～P104.1考点点与圆的位置关系点在圆外d________r(如点A)

设圆的半径为r，点到圆心的距离为d点在圆上d________r(如点B)点在圆内d________r(如点C)＞＝＜2考点

直线与圆的位置关系(设圆的半径为r，圆心到直线的

距离为d)位置关系图示d与r的关系公共点个数相交d______r有两个公共点相切d______r有且只有1个公共点相离d______r没有公共点＜＝＞3考点

切线的性质与判定1.性质与判定性质圆的切线_____于过切点的半径判定1.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线(定义)；2.圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；3.与圆只有一个公共点的直线是圆的切线【满分技法】(1)“切点已知，连半径，证垂直”：如果已知直线经过圆上一点，则连接这点和圆心得到半径，再证所作半径与这条直线垂直；(2)“切点未知，作垂直，证相等”：如果已知条件中不确定直线与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径的长垂直2.切线长和切线长定理(*选学)切线长经过圆外一点的圆的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线长定理*从圆外一点可以引圆的_____条切线，它们的切线长______，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，则有PA_____PB，∠APO＝∠BPO＝∠APB两相等＝4考点

三角形的内切圆概念与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆内心三角形的内切圆圆心或三角形三个内角的__________的交点性质三角形的内心到三角形的三条边的距离_______角度关系∠BOC＝90°＋∠A【知识拓展】(1)若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则S△ABC＝(a＋b＋c)r；(2)如图，在Rt△ABC中，a、b是直角边，c是斜边，则直角三角形内切圆半径r＝，外接圆半径为R＝角平分线相等重难点分层练设问突破1切线的判定类型一切点已知，连半径，证垂直方法一利用平行证垂直例1如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，求证：ED是⊙O的切线．例1题图证明：如解图，连接OD，例1题图∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AE.∵DE⊥AE，∴ED⊥DO.∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．方法二利用等角转化证垂直例2如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，⊙C经过点A，交BC于点D，点E是CD上一点，连接AE并延长交⊙C于点F，连接BF，且BF＝BE.求证：BF是⊙C的切线．例2题图例2题图证明：如解图，连接CF，∵BF＝BE，∴∠BFE＝∠BEF.∵∠BEF

＝∠AEC，∴∠BFE＝∠AEC.∵∠ACB＝90°，∴∠AEC＋∠EAC＝90°.∵CA＝CF，∴∠EAC＝∠CFE，∴∠BFE＋∠CFE＝90°，即∠BFC＝90°.∵CF是⊙C的半径，∴BF是⊙C的切线．方法三利用三角形全等证垂直例3如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC、BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点E，连接EC并延长交AB的延长线交于点P.求证：EC是⊙O的切线．例3题图证明：如解图，连接OC，∵OA＝OC，OD⊥AC，∴OD是AC的垂直平分线，∵点E在OD的延长线上，∴EA＝EC.在△EAO和△ECO中，∴△EAO≌△ECO(SSS)，∴∠EAO＝∠ECO.又∵EA是⊙O的切线，∴∠ECO＝∠EAO＝90°.∵OC为⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线．例3题图满分技法当切点已知时，常连接圆心与切点，证所连半径与直线垂直．(1)当图中有90°角时：①利用等角代换证得垂直；②利用平行线证得垂直；③利用三角形全等证得垂直；(2)当图中没有90°角时，需要构造：①若图中有已知直径，则利用直径所对的圆周角是90°，构造直角；②若图中有等腰三角形，则利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角．类型二切点未知，作垂直，证相等例4如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O与BC，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC，连接OA.求证：AB是⊙O的切线．例4题图证明：如解图，连接OE，过点O作OD⊥AB于点D，∵BO是∠ABC的平分线，∴OD＝OE.∵OE是⊙O的一条半径，∴OD是⊙O的一条半径，∴AB是⊙O的切线．∟D满分技法当切点未知时，通常利用角平分线的性质或者全等三角形的性质，来证明所作垂线等于半径．设问突破2求线段长方法一利用勾股定理例5如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上，若BC＝2，CD＝3，求⊙O的半径．例5题图解：如解图，连接OD，例5题图∵CD是⊙O的切线，∴∠ODC＝90°.设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r，OC＝OB＋BC＝r＋2，在Rt△ODC中，∵OC2＝OD2＋CD2，∴(2＋r)2＝r2＋32，解得r＝

.方法二利用三角函数例6如图，OA，OC都是⊙O的半径，点B在OC的延长线上，BA与⊙O相切于点A，连接AC，若AC＝4，tan∠BAC＝

，求⊙O的直径长．例6题图解：如解图，延长AO交⊙O于点D，连接CD，∵BA与⊙O相切，∴DA⊥AB，∴∠DAC＋∠BAC＝90°.∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，D例6题图D∴∠DAC＋∠D＝90°，∴∠D＝∠BAC.∵tan∠BAC＝

，∴tanD＝

，即

.∵AC＝4，∴CD＝12.在Rt△ACD中，由勾股定理，得

.方法三利用三角形相似例7如图，在△ABC中，∠A＝30°，点O是AB上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD，若BD平分∠ABC，AD＝2，求线段CD的长．解：如解图，连接OD，例7题图∵⊙O与AC相切于点D，∴∠ADO＝90°.∵∠A＝30°，∴OD＝AD·tanA＝2，OA＝

＝4.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∴

，即

，解得CD＝

.例7题图例8如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，过点B作BC⊥OP交⊙O于点C，垂足为点D，连接PC并延长与BA的延长线交于点M.若

，求

的值．例8题图解：如解图，连接OC、AC，∵OC＝OB，BC⊥OP，∴∠COP＝∠BOP.∵OP＝OP，∴△PCO≌△PBO(SAS)，∴∠OCP＝∠OBP.例8题图∵PB是⊙O的切线，∴∠OBP＝90°，∴∠OCP＝90°.∵∠OCP＝∠CDO＝90°，∴∠OCD＋∠COD＝∠CPO＋∠COD，∴∠OCD＝∠CPO，∴△OCD∽△OPC，∴，∴OC2＝OD·OP.∵，∴设OD＝x，DP＝9x，∴OP＝10x，∴OC＝

x，例8题图在Rt△ODC中，DC＝

＝3x，AB＝2，∴BC＝6x，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∴在Rt△ACB中，AC＝

＝2x.∵∠ACM＋∠ACO＝∠OCD＋∠ACO＝90°，∴∠ACM＝∠OCD，∴∠ACM＝∠CPO，∴AC∥OP，∴△ACM∽△OPM，∴，∴

.满分技法运用切线的性质进行计算或证明时，常作的辅助线有连接圆心、切点和构造直径所对的圆周角，然后利用垂直构造直角三角形解决问题；观察题干，若题干中含30°、45°、60°或“等腰直角三角形”、“等边三角形”等字眼，则常用锐角三角函数或者勾股定理；若不含，则常用相似三角形．设问突破3证明线段数量、位置关系例9如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E.求证：DE⊥AC.例9题图证明：∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC.∵DE是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴DE⊥OD，∴DE⊥AC.例10如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D，连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.例10题图证明：如解图，连接OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.∵OA＝OB，∴PO平分∠APC，即∠APO＝∠BPO，∵OA⊥AP，∠C＝30°，∴∠APC＝90°－∠C＝90°－30°＝60°，∴∠OPC＝

∠APC＝

×60°＝30°，∴∠POB＝90°－∠OPC＝90°－30°＝60°.又∵OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠OBD＝60°，∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°，∴∠DBP＝∠C，∴DB∥AC.例10题图例11如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，且AB＝AC，连接BC、CO，过点A作AD⊥CO于点D，延长AD，交⊙O于点F，连接BF.求证：AD＝BF.例11题图证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠F＝90°，∴∠FAB＋∠FBA＝90°.∵AC是⊙O的切线，∴∠CAB＝90°，∴∠FAB＋∠CAF＝90°，∴∠FBA＝∠CAF.∵AB＝AC，∠F＝∠CDA＝90°，∴△CAD≌△ABF(AAS)，∴AD＝BF.例12如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE.求证：2DE2＝CD·OE.例12题图证明：如解图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.∵OE∥AC，OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，∴AC＝2OE，BE＝CE，∴DE＝BE＝CE.例12题图∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB，∴

，∴BC2＝CD·AC，∴4DE2＝CD·AC.∵AC＝2OE，∴4DE2＝CD·2OE，∴2DE2＝CD·OE.例13如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F.若F是AB的中点，求证：AF＝BD＋CE.例13题图证明：如解图，连接OD，DE，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°.∵AO＝AO，AC＝AD，OC＝OD，∴△ACO≌△ADO(SSS)，∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD.例13题图又∵CO＝DO，OE＝OE，∴△COE≌△DOE(SAS)，∴∠OCE＝∠ODE，CE＝DE.∵OC＝OE＝OD，∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，∴∠DEF＝180°－∠OEC－∠OED＝180°－2∠OCE.∵点F是AB中点，∠ACB＝90°，∴CF＝BF＝AF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠DFE＝180°－∠FCB－∠FBC＝180°－2∠FCB＝180°－2∠OCE∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝CE，∴AF＝BF＝BD＋DF＝BD＋CE.满分技法1.证明切线垂直于非半径的线段的方法：易证连切点的半径垂直于切线，根据同位角相等、内错角相等或同旁内角互补先证得连切点的半径平行于非半径的线段，再根据平行线的性质证得切线与非半径的线段夹角为90°，从而得证．2.证明两线段相等的方法：(1)若所证两线段相连共线，则可以考虑等腰三角形“三线合一”或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明；满分技法(2)若所证两线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形中，利用等腰或等边三角形等角对等边来证明；(3)若所证两线段不共线但在有公共边的两个三角形中，则可以考虑利用全等三角形来证明；(4)若所证两线段平行，则可以考虑利用平行四边形对边相等来证明．设问突破4角度问题例14如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，⊙O的切线BD交OC的延长线于点D.求证：∠DBC＝∠OCA.例14题图证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠OCA＋∠OCB＝90°.∵BD为⊙O的切线，∴AB⊥BD，∴∠DBC＋∠OBC＝90°.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCA.例15如图，点O是△ABC的边AB上一点，以OB为半径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE＝EF.求证：∠C＝90°.例15题图证明：如解图，连接OE，BE，∵DE＝EF，∴＝

，∴∠OBE＝∠DBE.∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠OEB＝∠DBE，∴OE∥BC.∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AC，∴BC⊥AC，∴∠C＝90°.例16如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO

的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F，求∠C和∠E的度数．例16题图解：如解图，连接OB.∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°.∵四边形OABC是平行四边形，∴AO∥BC，AB∥OC，∴∠BOC＝∠OBA＝90°.∵OB＝OC，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠C＝∠OBC＝45°.∵AO∥BC，∴∠AOB＝45°.∴∠E＝

∠AOB＝

×45°＝22.5°.例16题图满分技法证明两角相等的方法：(1)在两个直角三角形中通过同角或等角的余角相等来证明；(2)利用半径相等，转化到等腰三角形中利用等边对等角来证明．内蒙古中考真题及拓展1命题点

与切线性质有关的证明与计算(包头5考，呼和浩特3考)1.(2023包头18题3分)如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为_____．第1题图2.(2021包头18题3分)如图，在▱ABCD中，AD＝12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC.若OC＝AB，则▱ABCD的周长为________．第2题图3.(2023呼和浩特16题3分)已知AB为⊙O的直径且长为2r，C为⊙O上异于A，B的点，若AD与过点C的⊙O的切线互相垂直，垂足为D.①若等腰三角形AOC的顶角为120°，则CD＝

r；②若△AOC为正三角形，则CD＝

r；③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，则CD＝r；④无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上，其中正确结论的序号为________．②③④4.(2022包头24题10分)如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，垂足为O，直线l为⊙O的切线，A是切点，D是OA上一点，CD的延长线交直线l于点E，F是OB上一点，CF的延长线交⊙O于点G，连接AC，AG，已知⊙O的半径为3，CE＝

，5BF－5AD＝4.第4题图第4题图(1)求AE的长；(1)解：如解图，过点C作CH⊥l于点H，则∠AHC＝90°.∵直线l为⊙O的切线，A是切点，OC⊥AB，∴∠AOC＝∠OAH＝90°，∴四边形AOCH是矩形．∵OA＝OC，∴四边形AOCH是正方形，∴AH＝CH＝OC＝3.在Rt△EHC中，EH＝

＝5，∴AE＝EH－AH＝2；∟H(2)求cos∠CAG的值及CG的长．第4题图∟H(2)解：∵OC⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠AGC＝∠CAB＝45°.∵∠GCA＝∠ACF，∴△GCA∽△ACF，∴∠CAG＝∠CFA.在Rt△EAD和Rt△EHC中，∵tan∠AED＝tan∠HEC，∴，即

，解得AD＝

.∵5BF－5AD＝4，∴BF＝2.∵OB＝3，∴OF＝1，∴在Rt△COF中，CF＝

，∴cos∠CAG＝cos∠CFA＝

.∵△GCA∽△ACF，∴.在Rt△AOC中，∵AC＝

＝3，∴

，解得CG＝

.第4题图∟H5.(2021呼和浩特23题10分)已知AB是⊙O的任意一条直径．(1)用图①，求证：⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；第5题图(1)证明：如解图，设P是⊙O上点A、B以外任意一点，过点P作PP′⊥AB，交⊙O于点P′，垂足为M，若M与圆心O不重合，连接OP，OP′，在△OPP′中，∵OP＝OP′，∴△OPP′是等腰三角形．又∵PP′⊥AB，∴PM＝MP′，则AB是PP′的垂直平分线．若M与圆心O重合，显然AB是PP′的垂直平分线，这就是说，对于圆上任意一点P，在圆上都有关于直线AB的对称点P′，因此⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；第5题图P′PM(2)已知⊙O的面积为4π，直线CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD，垂足为D，如图②.求证：①BC2＝2BD；第5题图(2)①如解图，连接AC，OC，则∠BCA＝90°，设⊙O半径为r，由πr2＝4π，可得r＝2，∴AB＝4.∵C是切点，∴OC⊥CD.∵BD⊥CD，∴OC∥BD，第5题图∴∠OCB＝∠DBC.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OBC.又∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∴△ACB∽△CDB，∴，∴BC2＝AB·BD＝4BD，∴BC2＝2BD；②改变图②中切点C的位置，使得线段OD⊥BC时，OD＝2.②由①可知∠CBD＝∠OBC与切点C的位置无关，∵OD⊥BC，∴BD＝OB.∵△OCB是等腰三角形，∴BC与OD互相垂直平分．又∵∠BDC＝90°，∴四边形BOCD是边长为2的正方形，∴OD＝2.第5题图2命题点

与切线判定有关的证明与计算6.(2020赤峰23题12分)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，点P是⊙O上一点，且PA＝PC，PD∥AC，与BA的延长线交于点D.第6题图第6题图(1)求证：PD是⊙O的切线；(1)证明：如解图，连接OP，∵PA＝PC，∴＝

，∴OP⊥AC.∵PD∥AC，∴OP⊥PD.∵OP是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；(2)若tan∠PAC＝

，AC＝12.求直径AB的长．第6题图(2)解：由(1)知∠AHO＝∠DPO＝90°.∵PA＝PC，∴AH＝HC＝

AC＝6.∵tan