2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第13课时 反比例函数（课件）

第13课时

反比例函数

内蒙古中考真题及拓展3

考点精讲1

重难点分层练2解析式k增减性图象特征图象定义所在象限反比例函数的图象与性质反比例函数解析式的确定待定系数法利用k的几何意义反比例函数比例系数k的几何意义k的几何意义基本图形面积反比例函数考点精讲【对接教材】北师：九上第六章P148～P162；

人教：九下第二十六章P1～P22.1考点反比例函数的图象与性质定义一般地，形如y＝(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数解析式y＝(k为常数，k≠0)kk______0k______0图象(草图)所在象限第________象限(x，y同号)第________象限(x，y异号)><一、三二、四增减性在每一个象限内，y随x的增大而_______在每一个象限内，y随x的增大而_______图象特征1.图象无限接近于坐标轴，但不与坐标轴相交；2.关于直线y＝x，y＝－x成轴对称；关于原点成中心对称．注：因为正比例函数和反比例函数图象都关于原点对称，故在同一直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象若有交点，则两个交点关于原点对称

【满分技法】反比例函数图象上点的横纵坐标的乘积为常数，即xy＝k，用来判断某个点是否在已知函数图象上或判断两个点是否在同一个函数图象上减小增大2考点反比例函数比例系数k的几何意义k的几何意义如图，过双曲线y＝(k为常数，k≠0)上任一点P(x，y)作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得矩形PMON的面积S＝|xy|＝________基本图形面积一点一垂直(及变形)：S阴影＝________|k|基本图形面积一点两垂直(及变形)：S阴影＝________两点一垂直(及变形)：S阴影＝________|k||k|基本图形面积S阴影＝________S阴影＝________

两点两垂线：S阴影＝________2|k|【满分技法】遇到与反比例函数有关的面积问题时，尽可能构造与坐标轴平行(垂直)的边，将不易求的面积转化为与k有关的面积进行计算3考点反比例函数解析式的确定待定系数法1.设所求反比例函数的解析式为y＝(k≠0)；2.找出图象上的一点P(a，b)；3.将P(a，b)代入解析式得k＝ab；4.确定反比例函数的解析式为y＝利用k的几何意义题中已知图象面积时，考虑用k的几何意义，由面积得|k|，再结合图象所在象限判断k的正负，从而确定k的值，即可得到解析式y＝重难点分层练例1已知反比例函数y＝(k是常数)．(1)若反比例函数的图象经过一、三象限，则k的取值范围是________；(2)若点P(a，b)在反比例函数的图象上，则点Q(－a，b)________(填“在”或“不在”)该反比例函数图象上；(3)当x>0时，y随x的增大而增大，写出符合要求的一个反比例函数的解

析式___________________________________；一题多设问k＞0不在(答案不唯一，k＜0即可)回顾必备知识(4)已知点M(1，－3)关于x轴的对称点M′在反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为____________；(5)当k<0时，若点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为_______________________；(6)若点A(－2，1)，B(3，2)，C(－6，n)分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则n的值为________；(7)若该反比例函数图象上有一点E，过点E作EF⊥x轴于点F，已知S△OEF＝4，则k＝________．y1＞y3＞y2－18或－8

例2如图，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝(m为常数且m≠0)的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6.(1)一次函数的解析式为_______________，反比例函数的解析式为_____________；一题多设问例2题图y＝－2x＋6提升关键能力(2)点E的坐标为___________，观察图象，不等式kx＋b≤的解集为_____________________；(3)连接DE，则△CDE的面积为________；(5，－4)例2题图－2≤x＜0或x≥535(4)若点P是x轴上的点，且S△CPE＝7S△AOB，求点P的坐标；(4)设点P的坐标为(p，0)，∵S△CPE＝7S△AOB，∴×|3－p|×[10－(－4)]＝7××3×6，解得p＝－6或p＝12，∴点P的坐标为(－6，0)或(12，0)；例2题图(5)作直线BD，将直线BD向上平移n(n＞0)个单位后，与反比例函数y＝

有唯一交点，求n的值；(5)设直线BD的解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0)，将B(0，6)，D(－2，0)代入，

得

解得

∴直线BD的解析式为y＝3x＋6，设直线BD向上平移后的解析式为y＝3x＋6＋n，例2题图∵平移后与反比例函数y＝－

有唯一交点，∴方程3x＋6＋n＝－

有唯一解，即关于x的方程3x2＋(n＋6)x＋20＝0有两个相等的实数根，∴(n＋6)2－4×3×20＝0，解得n＝－6＋4，n＝－6－4(舍去)，∴n＝－6＋4；例2题图(6)设M是线段CE上一点，过点M作直线MN∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点N，若MN＝OA，求点M的坐标．(6)设点M(－

＋3，a)，则点N(－

，a)，∵点M在线段CE上，∴－4≤a≤10.∵OA＝3，∴MN＝OA＝3.当点M在点N左侧时，－

－(－

＋3)＝3，解得a＝6＋2或a＝6－2.∵a＝6＋2＞10，不符合题意，舍去，例2题图∴当a＝6－2时，－

＋3＝

，此时点M的坐标为(，6－2)；当点M在点N右侧时，－

＋3－(－)＝3，解得a＝2或a＝－2.∵a＝－2＜－4，不符合题意，舍去，∴当a＝2时，－

＋3＝－

＋3，此时点M的坐标为(－

＋3，2)．综上所述，点M的坐标为(，6－2)或(－

＋3，2)．例2题图满分技法反比例函数与一次函数结合中的常见设问：1.求解析式：利用待定系数法求解；2.求交点坐标：将一次函数与反比例函数解析式联立，解方程组；3.求自变量的取值范围：如图，当y1＞y2时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，x的取值范围为x＞xA或xB＜x＜0；同理，当y1＜y2时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方，x的取值范围为0＜x＜xA或x＜xB.4.求面积：(1)通常将坐标轴上的边或与坐标轴平行的边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，然后利用面积公式求解；(2)当三边均不在坐标轴上时，过其中一个顶点作平行于坐标轴的直线，将所求三角形分成两个一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)的三角形来求解．满分技法内蒙古中考真题及拓展1命题点反比例函数的图象与性质1.如图，点P是反比例函数y＝

(k≠0)的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，若△POM的面积等于2，则k的值等于(

)A.－4B.4C.－2D.2第1题图A

第2题图2.如图，点B在反比例函数y＝

(x>0)的图象上，点C在反比例函数y＝－

(x＞0)的图象上，且BC∥y轴，AC⊥BC，垂足为点C，交y轴于点A，则△ABC的面积为(

)A.3B.4C.5D.6B

拓展训练3.对于反比例函数y＝－

，下列说法错误的是(

)A.图象经过点(1，－5)B.图象位于第二、第四象限C.当x＜0时，y随x的增大而减小D.当x＞0时，y随x的增大而增大C

4.在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝

(k≠0)的图象经过点A(1，2)和点B(－1，m)，则m的值为________．5.已知点A(a，y1)，B(a＋1，y2)在反比例函数y＝(m是常数)的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是____________．－2

－1＜a＜02命题点反比例函数与几何图形结合6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为(4，2)，反比例函数y＝

(x＞0)的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF.下列结论：①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD∶DF＝2∶3其中正确的结论有(

)A.4个

B.3个

C.2个

D.1个第6题图A

第7题图7.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝

经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为(

)A.－8B.－2C.－8D.－6拓展训练A

3命题点反比例函数与一次函数结合8.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－

x＋3与x轴、y轴分别交于点A和点B，C是线段AB上一点，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，CE⊥y轴，垂足为E，S△BEC∶S△CDA＝4∶1.若双曲线y＝(x>0)经过点C，则k的值为(

)

A.B.

C.D.第8题图A

9.正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝

的图象交于A、B两点，若A点坐标为(，－2)，则k1＋k2＝________．10.如图，在平面直角坐标系中，已知A(－1，0)，B(0，2)，将△ABO沿直线AB翻折后得到△ABC，若反比例函数y＝(x<0)的图象经过点C，则k＝________．第10题图－811.如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB(OC＞OB)的对角线长为5，周长为14，若反比例函数y＝

的图象经过矩形顶点A.(1)求反比例函数解析式；若点(－a，y1)和(a＋1，y2)在反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小；第11题图解：(1)设A点坐标为(x，y)，∵矩形OCAB的对角线长为5，∴x2＋y2＝52，∴(x＋y)2－2xy＝25.又∵矩形OCAB的周长为14，∴x＋y＝7，∴xy＝12，∴m＝12，∴反比例函数的解析式为y＝.∵点(－a，y1)和(a＋1，y2)在反比例函数的图象上，∴－a≠0且a＋1≠0，∴a≠－1且a≠0，∴当a＜－1时，－a＞0，a＋1＜0，则点(－a，y1)和(a＋1，y2)分别在第一象限和第三象限的反比例函数的图象上，此时y1＞y2；第11题图当－1＜a＜0时，－a＞0，a＋1＞0，若－a＞a＋1，即－1＜a＜－

时，y1＜y2，若－a＝a＋1，即a＝－

时，y1＝y2，若－a＜a＋1，即－

＜a＜0时，y1＞y2；当a＞0时，－a＜0，a＋1＞0，则点(－a，y1)和(a＋1，y2)分别在第三象限和第一象限的反比例函数的图象上，此时y1＜y2.综上所述，当a<－1时，y1>y2；当－1<a≤－

时，y1≤y2；第11题图当－<a<0时，y1>y2；当a>0时，y1<y2；第11题图(2)若一次函数y＝kx＋b的图象过点A并与x轴交于点(－1，0)，求出一次函数解析式，并直接写出kx＋b－

＜0成立时，对应x的取值范围．(2)由题意可知点A的坐标为(3，4)，∵一次函数y＝kx＋b的图象过点A和点(－1，0)，将点A(3，4)和点(－1，0)代入，

得

解得

∴一次函数的解析式为y＝x＋1.当kx＋b－

＜0成立时，对应x的取值范围为x＜－4或0＜x＜3.第11题图12.