《线性代数》教案教案整本书全书电子教案

《线性代数》 教案课时安排：2 学时

编号教学课型：理论课√实验课□ 习题课□其它□题目：第一章行列式§1.1二阶、三阶行列式§1.2n阶行列式教学目的要求：使学生掌握二、三阶行列式的定义及计算方法；理解逆序数的定义及计算方法教学重点、难点：二、三阶行列式的定义及计算方法；逆序数的计算方法教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等导入（10分钟）本章主要内容和知识点新授课内容（75分钟）二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。a xa x b设二元线性方程组11

12 2 1a x a x b212

22 2

a ba

a b a b用消元法,当a a11 22a a

a a12

0 时,解得x 221 a a11 22

122 ,xa a 12 21

11aaa11 22

211a a12 21令a1121

12a aa 11 22

a a12

,称为二阶行列式,则如果将D中第一列的元素a ,a11 21

换成常数项bb1 2

,则可得到另一个行列式,用字D表示,于是有1b aD 1 121 b a2 22按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：ba1 22

ba2

,这就是公式（2）中

x的表达1式的分子。同理将D中第二列的元素a 1

b

,可得到另一个行列式,2用字母D 表示,于是有2

12 22 1 2a baD 11 1a2 b21 2按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：a b

b,这就是公式（2）x2的表达式的分子。于是二元方程组的解的公式又可写为

112

2111x D11 D

其中D02x D22 D3x 2x 121 2例1. 解线性方程组 .2x x 1 1 2a xa x a x b111 12 2

13 3 1同样,在解三元一次方程组a x211

a x22

a x23

b 2a xa x a x b可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义

311

32 2 33 3 3a xa x a x b111 12 2 13 3 1设三元线性方程组a x211

a x22

a x b23 3 2a xa x a x b用消元法解得

311

32 2 33 3 3933a a a11 12 13a a a21 22 23a a a31 32 33a a记11 12记Da a

a13a aa

aaa

aaa

aa

aa

aa

,称为三阶行21 22

112233

122331

132132

132231

112332

122133a a a31 32 33列式,则6元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即12124221.(-14)3422xyz2例3.解线性方程组xy4z0 .3x7y5z5解 先计算系数行列式D 13

1 11 41012735656907 5再计算DDD1 2 32 1 1

2 2

2 1 2D 01

1 451,

D 2

0 431,D1 3

055 7 5 3 5 5 3 7 5D 17 D 31 D 5得x 1 ,y 2 ,z 3D 23

D 69

D 69全排列及其逆序数1、2、3一、全排列把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列（简称排列）.可将n个不同元素按1~n进行编号,则n个不同元素的全排列可看成这n个自然数的全排列.n个不同元素的全排列共有n!种.二、逆序及逆序数两个元素的次序相反时,则称有一个逆序.通常取从小到大的排列为标准排列,即1~n的全排列中取123(n逆序数的定义：一个排列中所有逆序数的总数称为这个排列的逆序数.逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列,标准排列规定为偶排列.例1:讨论1,2,3的全排列.全排列123231312132213321逆序数022113奇偶性偶奇逆序数的计算：设p1

pp2

为123(n的一个全排列,则其逆序数为ttt t1 2tni1t .i其中t为排在p 前,且比p大的数的个数.i i i定理1任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。2n（n>1）n！n总结（5）讨论、思考题、作业：教学总结：《线性代数》 教案课时安排：2 学时

编号教学课型：理论课√实验课□ 习题课□其它□题目：第一章行列式§1.2 n阶行列式的定义(续)教学目的要求：掌握n阶行列式的定义教学重点、难点：n阶行列式的定义，特殊行列式的计算公式教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等复习（5分钟）新授课内容（80分钟）回顾二阶,三阶行列式的共同特点.a二阶行列式 a21

aa 11 22

a a12 21aa11 12 aaaaa a 11

aa12

()ta a .1p 2p1 221 22其中：①pp1 2和.

是的全排列,②t是pp1 2

的逆序数,③是对所有1,2的全排列求三阶行列式a a11 12Da a

a13a a a

a a

a a

a a

aa

a a a21 22 a a a31 32

11 22

12 23

13 21

132231

112332

12 2133ppp1 2 3

是tppp1 2 3

的逆序数,③是对所有1,2,3的全排列求和.a a11 12a a21

a13a ()ta a1323 1p 2

a .3'pa a a31 32 33

1 2 n其中:①pp1 2

p是1,2,ntppn 1

p的逆序数,③是对所有n1,2,,n的全排列求和.板书给出n阶行列式语言定义和计算定义：a a11 a a21

a1na2n(1)N(pp

p)a a a .a a an1 n2

12 n

1p 2p np1 2 n举例进行练习n阶行列式的等价定义为：a a11 a a21

a1na2n(1)N(pp

p)a a a .a a an1 n2

12 n

p1 p2 pn1 2 nn阶行列式的等价定义为：a a11 a a21

a1na2n(1)N(ii

i)N(jj

j)a a a .a a an1 n2 nn

12 n

12

ij ij ij11 22 nn特殊公式1：112n

, 1 2 n n

12nn2

1 2 n特殊公式2：特殊公式2：下三角行列式Da11a21an10a22an2aa1122a.nnann总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结：《线性代数》 教案课时安排：2 学题目：第一章行列§1.3

编号教学课型：理论课√实验课□ 习题课□其它□教学目的要求：掌握n阶行列式的性质，会利用n阶行列式的性质计算n阶行列式的值；教学重点、难点：行列式的性质教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等复习（5分钟）新授课内容（80分钟）转置行列式的定义a11记Da21

a a1na a

a11DT=a

a aa a

(D) a a an2

12 22 n2 a a a1n 2n nnDTD的转置行列式（依次将行换成列）一、n阶行列式的性质性质1： 行列式与它的转置行列式相等.由此知，行与列具有同等地位.关于行的性质，对列也同样成立，反之亦然.如:Da b DTa cc d b dri作cci j

icj.

j列.交换

j两行记为ri

ri,j两列记j性质2： 行列式互换两行（列），行列式变号.推论： 行列式有两行（列）相同，则此行列式为零.性质3：行列式的某一行（列）的所有元素乘以数k,等于用数k乘以该行列式推论1： 行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外.推论2： 行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.性质4： 若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个列式之和.a a

a

) a11a即若D

a12

1na a2i 2n a a

a an2a a a11 12 a a a

ni ni a a11 a a

nna a a12 1na a a则D 21 22 2i

2n+21 22

2i 2n. a a a an2 ni

a an

a ani nn性质5： 把行列式某一行（列）的元素乘以数k再加到另一行（列）上，则该列式不变.二、n阶行列式的计算：1.计算D

2 5 1 23 7 45 9 2 7.4 6 1 2解：D

3

r r25121251215223714cc173459272957461216421522021601130120r2rr3r1r2r

1 5

4111522012000300003rr2rr

0 0

3 6 3 3

9.3 40 1 2 0b ba b

bbrrrr

aaaab a b b例2.Db b

1 23 ba

b b a bb b b ar 1

1 1 1 1rbr

1 1 1 11a3b

a b

i

ab 0 0b b ab b b

bi2,3,4 0 0 ab 0a 0 0 0 ab(ab).(推广至n阶，总结一般方法)pq qr rp p q r例3.证明：pq1 1p q2

qr1 1r2

rp1 1p2

2p1p2

q r.1 1q r2 2p qr r

q q

rp证明： 左端第列p1性质4p2

qr1 1qr2

rp q1 1 rp q2 2

qr1 1r2

rp1 1p2 2pqrrqrrppqrqrppqrrqrrppqrqrp1 1 1 p q r r2 2 2

1 1 1 1q r rp2 2 2

1 1 q r2 2

1 1 1r p2 2 2p q r2p q r.1 1 1p q r2 2 2例4.计算2n阶行列式.a ba bab abD (adbc)nc d c dc d(利用递推法计算)a a a11 1k 0例5.Dak1c11cn1cakk，1k cb11b n1nkb1nbnnbDdet(a)ija11ak1a1k,akkD det(b)2ijb11b1n.1n1bnn则DDD.1 2总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结：《线性代数》 教案课时安排：2学时

编号教学课型：理论课√实验课□ 习题课□其它□题目：第一章行列式§1.4行列式按行（列）展开教学目的要求：了解余子式和代数余子式的概念；掌握行列式按行（列）展开；教学重点、难点：行列式按行（列）展开教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等复习（5分钟）新授课内容（80分钟）定义在n阶行列式中，把元素aij

所处的第ij构成的n1阶行列式，称为aij式.

的余子式，记为Mij

Aij

(1)ijMij

称为aij

的代数余子引理如果n阶行列式中的第i行除aij

外其余元素均为零，即：a a a11 1j 1n D

a ij

.则：DaA.0ij ij0a a an1 nj nn定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行： aA a A aA i1 j1 i2 j2 in jn

ij按列： aA1j

a A2i 2

a A ni nj

ij举例讲解并练习范德蒙行列式

1x1D x2n 1

1 x 2x2 2

1x2xn 2n

xi j

nij1xn11

xn12

xn1n其中，记号“ ”表示全体同类因子的乘积.定理的推论 行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即 aA a A aA i1 j1 i2 j2 in jn

ij按列：aA1j

a A2i 2

a A ni nj

ij结合定理及推论，得n n

1,(ij) ，其中 a A D , a AD , .ik jk ijk

ki kj ij

0(ij)总结（5）教学总结：《线性代数》 教案课时安排：2学时题§1.5

编号教学课型：理论课√实验课□ 习题课□其它□教学目的要求：了解克拉默法则的内容,了解克拉默法则的证明,会利用克拉默法则求解含有n个未知数n个方程的线性方程组的解；教学重点、难点：克拉默法则的应用教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等复习（5分钟）新授课内容（80分钟）研究对象：含有nxx1 2

,...,xn

的n个方程的线性方程组a xa x a x b111 12 2

1n n 1a xa x a x b211 22 2 2n 2 2 （1） a xn11

a xn2

a x bnn n n与二、三元线性方程组相类似,它的解可以用n阶行列式表示.定理1（Cramer法则）如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,即a a11 1n则方程组(1)有且仅有一组解：D

D 0 ,a annD Dx 11 D

,x 2 ,…,x2 D

n (2)D

jn是把系数行列式D 中的第j列的元素用方程组右端的常数列代j替 ,而其余列不变所得到的n阶行列式a11aD 21

a b1a b2

aj1a

an1na .2nj a a bn

a aj1 nn当b,b1 2

,...,bn

全为零时,即a xa x a x 0111 12 2

1n na xa x a x 0211 22 2 2n 2 a xn11

a xn2

a x 0nn nx1

x2

0,...,xn

0）.根据克拉默法则,有D0时,则它只有零解（没有非零解）D01．求解线性方程组x x 8 1 2 3 4x 91 2x2

4x 2x3

5解:系数行列式

x 4x1

7x3

6x 04212151130602122010D 7

270同样可以计算8 1 5 19 3 0 6

2 8 5 1, 1 9 0 6 ,521252122 0512047610761

D 1081406147014061470218121581032956227,D4103201951所以x D11 D

3,x2

24 ,xD 3

31 ,xD 4

41.DDDDD注意：DD克莱姆法则的条件：n个未知数 ,n个方程,且D0用克莱姆法则求解方程组运算量大一般不采用它求解方程组。克莱姆法则具有重要的理论意义。2.用克拉默法则解方程组3x3

5x242

2x

x 343 x 2 4234xxxx234

116,x1x1 2

3x3

2x4

56.3.(5)x

2y2z0 2x(6)y 0 2x (4)z0有非零解,问解系数行列式D(5)(2)(8)由：D0 ,得、、8.总结（5）教学总结：《线性代数》教案

编号：课时安排：2 学时 教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目：第二章矩阵§2.1§2.2§2.3n阶矩阵（方阵教学目的要求：了解矩阵的概念；掌握矩阵的运算教学重点、难点：矩阵的概念和矩阵的运算教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等导入（10）本章主要内容和知识点新授课内容（75一、矩阵的定义称m行、n列的数表a a a11 12 1na a a21 22 2n a a am2 mn为mn矩阵，或简称为矩阵；表示为a a a a

12 1na a A 21 22

2n a a am2 mnA(aij)mnA(aijAmn；其中aijA中第ij列的元素。a11其中行列式Da21a

a a12 1na a22 2n为按行列式的运算规则所得到的一个数；而 a am2 mnmn矩阵是mn个数的整体,不对这些数作运算。例如，公司的统计报表,学生成绩登记表等,都可写出相应的矩阵。A(aij

)mn

，Bij

)mn

都是mn 矩阵，当ABAB二、特殊形式n阶方阵：nn 矩阵行矩阵：1n矩阵（以后又可叫做行向量），记为A(a,a1 2,

,,a)n列矩阵：m1矩阵（以后又可叫做列向量），记为b 1bB 2b m零矩阵：所有元素为0的矩阵,记为矩阵的运算一、加法A(aij

)mn

，B(bij

)mn

,都是mn矩阵,则加法定义为a

a

a b 11

12

1n 1na bAB 21a b

a b22 a b

a b 2n 2n a b 显然,

m2 m2

mn mn①ABBA，②(AB)CA(B二、数乘设是数,A(a) 是mn矩阵,则数乘定义为ij mna a 11

12 1n a a a 21 22

2n am1

a m2 mn显然①，②，③AB三、乘法ABC

设A(aij

)ms

，B(bij

)sn

,则乘法定义为其中C(c )ij mn

i1,2,,mc ij

bi11

a b i2 2j

abis

k

a bik kj

j1,2,,n 注：两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；乘积矩阵的行数为前i 阵的第i行元素与后一个矩阵的第j行元素对应相乘再相加。4 2 1 0 2 例：设A1 0 3 1,2 1 0 2

03，则11 3 44 1 0 2 1 0 2AB1 0 3 12 1 0 2 0 114 3 141403211013010033142410221 21110023 20130124 9 119 9 11 2242412，B-3-6

ABBA。2 42 4 16 2 42 4 0 0解：AB1 23 68 16，BA3 61 20 0

1）ABBA（不满足交换律）（2）AOBOBAOAms

，Bsn

,,则Ams

Bsn

成立,当mn 时,

sn

A

不成立；Amn

，Bnm

,则Amn

Bnm

是m

nm

Amn

是n阶方阵；2 4 2 43.如果 A,B 都是n阶方阵,例如A1 2，B3 6，则 16 32 0 0AB

16

，而BA0 0 综上所述,一般ABBA（即矩阵乘法不满足交换率）。下列性质显然成立：ABCABC，②ABABAB，CABAC,CABACA几个运算结果：b1 b1.a,a,,a 2abab ab；1 2 n 11 22 nn b bnb a

ab ab 1 11 12 1n22.b2

,,

ab ab 21 2

ab；2n； 1

n

b ab ab abn n1 n 2 n n3A为mnI是mIAAI是nAIA；4．线性方程组的矩阵表示：a x a x a x b 11 1 12

1n n 1a x a x a x b21 1 22 2 2n n 2,a x

a xm2

a x bmn n ma

a

b 11

1n

1 1a

a x b A 21 22

2n,x

2,b 2a a

a am2 mn

x n mx则 AxbA2AA3AAAnAAn1.四、转置a

a

a a 11

1n 11 21

n1a a

a a a a 设A 21 22

2n，记AT 12 22

n2 a a n1

a an2 nn

an a a1 2n nn则称AT是A的转置矩阵。显然，ATTA，②AB

ATBT，③A

AT，④B

BTAT。五、方阵的行列式A为n阶方阵，其元素构成的nA或detA。结论结论ATA，②AT nA，③ABAB。总结（5）讨论、思考题、作业：教学总结：《线性代数》教案课时安排：2 学时

编号：教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目：第二章矩阵§2.4几种特殊的矩阵教学目的要求：掌握几个n阶特殊矩阵的定义和性质教学重点、难点：三角形矩阵和对称矩阵的相关定义和结论教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等复习（5）新授课内容（80分钟）对角阵：对角线元素为1 2

,...,n

D的方阵，记为结论：同阶对角阵的和、数乘、乘积仍是同阶对角矩阵a a 数量矩阵：A a a 结论：同阶数量阵的和、数乘、乘积仍是同阶数量矩阵单位阵：对角线元素为1，其余元素为0的方阵，记为1 1 I 1 1 三角形矩阵：a a a 11 1222A0a22

a1n2n00a 00a nna 0 0a11 a 0下三角形矩阵A 21 22aaaa n1 n2

aann同阶同型三角阵的和、数乘、乘积仍是同阶同型三角矩阵对称矩阵AATA（即aij

a ）,A是对称阵jiA是mnATA是nAAT是m阶对称阵.两个同阶对称矩阵，当且仅当二者可交换时，乘积才是对称矩阵。总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结：《线性代数》教案课时安排：2 学题目：第二章矩阵§2.5

编号：教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□教学目的要求：掌握矩阵分块的运算和相关性质教学重点、难点：教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等复习（5）新授课内容（80引例：设a aAa11 a12

a a 13 14a a a21 a2231

a23 a2433 34可按以下方式分块，每块均为小矩阵：a a

a

，

a )，

a ),A1121

a1222A

A 13a12 a23A

14aa24

21 31 32

22 33 34则A

12。A A21 22矩阵分块法是用若干条横线和若干条竖线将矩阵分割成几个小矩阵。矩阵分块法的运算及运算性质：加法：A

B 11

1r

1r设A ，A A B B s1 s1 s1 s1A B A B 11 11 1r r1则AB . .A B A B 数乘：

s1 s1

s1 s1A

A

11

1r

1r设A

，是数，则A .A A A A s1 s1乘法：

s1 s1A

B 11

1r设A ，B ，则A B Cml

A A

lm

B B

ml

ln

mn C C

st t1 tr 11其中

1，

A B ,i1,2,,s,j1,2,rC CC 转置：

C s

ijk1

ik kjA A

AT

AT 11

1r

11

sr设A ，则AT A A

AT

ATsrs1 sr对角分块的性质：A 12设A A2设

A,

A

A,,A 。1 1 A s

1 2 s几个矩阵分块的应用：1．矩阵按行分块：a a a a

12 1na a 设A 21

2n，记a

(a,

,,

),i, a a am2 mn

i

i2, inaT 1 aT则A 2 aTm矩阵按列分块：a 1ja 记 a 2j,j1,2,naj a则A(a,a1 2,

mj,a)。n线性方程组的表示：a xa x a x b 111 12

1n n 1设 a xa x a x 设 211 22 2 2n n 2a xm11

a xm2

a x bmn n ma

a

x

b 11

1n

1 1a

a

b若记A 21 22

2n，x

2，b2 a a

a

x m2 mn x 则线性方程组可表示为Axb。总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结：《线性代数》教案课时安排：2§2.6逆矩阵

编号：教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□教学目的要求：掌握逆矩阵、伴随矩阵的定义和性质；能够利用公式计算逆矩阵教学重点、难点：逆矩阵概念和计算教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等复习（5）新授课内容（80分钟）A为n阶方阵,若存在一个nB，使得ABBAI,ABAA1B若CAACI,则CA11A1A1必唯一. 1性质2若A可逆，则A1也可逆，且A1 A3A可逆,且1A14ABAB也可逆，且B二、逆阵存在的条件及逆阵的求法

B1A1Aij

的行列式a11aA a

a a12 1na a22 2n a an2 nn中元素aij

Aij

(i,jn)

n阶方阵,记作A* ,即A A A 11 21 A A A A的伴随矩阵.A* 12 22

n2 A A A1n 2n nn定理方阵

Aa

可逆 A

且A1A*ijA*A为n阶方阵,若存在nBABIBAIBA1。注：求A1时，只需要验算ABI，计算量减半。3 2 1

3 2 例.判断下列方阵A1 2 2,B1115 1是否可逆?若可逆，求其逆 3 4 3 3 阵。解： A0，B0，所以B不可逆，A可逆，并且2 2 2A* 1 A1

3 6 5A 22 6 4三、用逆矩阵法解线性方程组例：解线性方程组3x2x x 1 1 2 3x2x 2x 21 2 33x4x 3x 31 2 33 2 1

1 解：其矩阵式为 1 2 2

1 3 4 3x2 33 33 2 1因 1 23 4x

2 2 ,3 3 2 111 2 2 21 0x11 2 2 21

6 0所以

52 x2 3 4 3 3

22 6 43 13 31所以其解为x1

0,x2

0,x 13四、分块矩阵的逆矩阵A A1 1 A 1 结论：若

A

2 可逆，则

A12 2 AsA O

s A1 O结论：设X ，A,C为可逆方阵,则X 。B C C总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结：

C1《线性代数》教案课时安排：2学时

编号：教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□题目：第二章矩阵§2.7矩阵的初等变换教学目的要求：了解矩阵的三种初等变换，熟悉初等矩阵的定义，掌握矩阵初等变换与对应初等矩阵运算上的关系，能够将给定的矩阵利用初等变换化简成阶梯形，标准形；掌握利用初等变换求逆矩阵的方法教学重点、难点：矩阵的初等变换，利用初等变换求逆矩阵教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书在本章的§2.6节中给出了矩阵可逆的充分必要条件，并同时给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法．但是利用伴随矩阵法求逆矩阵，当矩阵的阶数较高时计算量是很大的．这一节将介绍求逆矩阵的另一种方法——初等变换法．为此我们先介绍初等矩阵的概念，并建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系．一、初等变换交换矩阵的某两行的位置；用一个非零的数去乘矩阵的某一行；用一个数乘某一行后加到另一行上．这三种变换称为矩阵的初等行变换．类似地，有1’交换矩阵的某两列的位置；2’)3’)1’)，2’)，3’)称为矩阵的初等列变换．矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换．定义1 由单位矩阵I经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．Iij行(列)的位置，得1 1 0 1

i行 1 1 0

j行

1 1 i列 j列111cIic1i行1i列1 1

i行 (3)IjkiI(i，j(k))=

1 j行 1 i列 j列Iikj列所得的初等矩阵．显然，上述三种初等矩阵就是全部的初等矩阵．初等矩阵具有下列性质：初等矩阵都是可逆的．这是因为|I(i，j)|=–1≠0|I(i(c))|=c≠0|I(i，j(k))|=1≠0初等矩阵的逆矩阵仍是同类型的初等矩阵，且有，)–1=(，)1())–1=((c))，())–1=(，(–))引入初等矩阵后，使得矩阵的初等变换可用初等矩阵与该矩阵的乘积来实现．1AAmAAn阶初等矩阵．AjkiA，其它两种初等行变换可类似证明．二、利用初等变换求矩阵的逆利用矩阵的初等变换，可以把任一矩阵化为最简单的形式．定理2 任意一个m×n矩阵A经过一系列初等变换，总可以化成形如1 I 0D 1 =r 0 000 0 0 的矩阵，DA行变换化简矩阵为行阶梯形1，A乘这个矩阵．因此，矩阵与它的标准形D…PPAQQ…Q

(1)s 21 12 tP，P，…，PQ，Q

是初等矩阵．1 2 s 1 2 t由于初等矩阵都是可逆的，所以(1)式又可写成：=P–1P–1…P–1DQ–1…Q–1Q–1 (2)1 2 s t 2 1推论nA可逆的充分必要条件是A定理3 n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示成一些初等矩阵的乘积．即Q…Q (3)12 mQ，Q，…Q为初等矩阵．1 2 m推论 若n阶方阵A可逆，则总可以经过一系列初等行变换将A化成单位矩阵．AnP，P，…P，使得1 2 mP…PP(5)m 21由(5)式右乘–1得 –1=P…PPI (6)m 21(5)(6A化成单位矩阵，那么同样I–1AI–1．简示为：(A)──────→(I–1)总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结：《线性代数》教案课时安排：2 学题目：第二章矩阵§2.8

编号：教学课型：理论课√实验课□习题课□其它□教学目的要求：掌握矩阵秩的定义,会求矩阵的秩.教学重点、难点：求矩阵的秩教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等复习（5）新授课内容（80分钟）1.在mnAk行k（kmkk2个元素,A中所处的位置次序而得到的kA的k阶子式.mnAkCkm

Ck个.n2A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有的r1阶子式都等于0则称DA的一个最高阶非零子式.数rAARA).零矩0.注解:1.规定零矩阵的秩规定为0.AijAij

nnnn

rnA为满秩矩阵.rnA为降秩矩阵.4..R(AT)R(A).问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？定理若A~B,则RARB.初等变换求矩阵秩的方法：矩阵的秩的性质(1).0R(Amn

)(2).R(AT)R(;若A~B,RARBQR(PAQ)R.(5).max{R(R(B)}R(B)R(R(B)(6).R(AB)R(R(B).(7).R(AB)min{R(R(B)};Amn

B

ORR(B)AA的秩=此行阶梯形矩阵的秩（1．行阶梯形矩阵的秩=其非零行的行数（满秩阵由Aij

1 2 3 1 0 0 2 2 1~0 1 0， 3 4 3 得到以下等价命题.若A满秩r(A)n必有A0；A1必存在；为非奇异阵；必能化为单位阵In总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结：《线性代数》 教案课时安排：2 学时 教学课型：理论课√实验课□习题课□编号：其它□题目：第三章线性方程组§3.1线性方程组的消元解法教学目的要求：组解的判别定理；教学重点、难点：利用初等变换求线性方程组的解教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等导入（10分钟）本章主要内容和知识点新授课内容（75分钟）消元法解二元、三元线性方程组时曾用过加减消元法，实际上这个方法比用行列式求解更具有普遍性，是解一般n元线性方程组的最有效的方法．通过例子介绍如何用消元法解一般的线性方程组．消元方法具有一般性，即无论方程组只有一个解或有无穷个解还是没有解，都可用消元法将其化为一个阶梯形方程组，从而判断出它是否有解．分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所作的变换，也只是由以下三种基本的变换所构成：交换方程组中某两个方程的位置；用一个非零数乘某一个方程；这三种变换称为线性方程组的初等变换．用消元法解线性方程组的过程就是对线性方程组反复地实行初等变换的过程．考虑线性方程组a xa x a x b11

12 2

1n n 1a xa x a x b211 22 2 2n n 2

(I) a xm11

a xm2

a x bmn n m方程组(I)的全部解称为(I)的解集合．如果两个方程组有相同的解集合，就称它们是同解的或等价的方程组．下面来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组．1121对于方程组(I)，首先检查x1的系数．如果的系数a ，a ，…，am1全为零，那1121么方程组(I)x1没有任何限制，x1(I)x2…xn的x1

≠不等于零，否则可利用初等变换，0 0 交换第一个方程与另一个方程的位置，使得第一个方程中x1的系数不为零．然后利用初等变换3，分别把第一个方程的(

ai1)a

倍加到第i个(i=2，3，…，m)方程，于是方程组(I)变成a

x

11x a x b11

12 a x22 2

1n n 1a x b2n n 2

(Ⅱ) a xm2 2

a x bmn n m其中 a'

, i2,,m, j2,,naij ija

a 1j11显然方程组(Ⅱ)与(Ⅰ)是同解的．对方程组(Ⅱ)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步一步做下去，必要时改变未知量的次序，最后就得到一个阶梯形方程组．为了讨论方便，不妨设所得到的阶梯形方程组为c x

x

x c x d111

12 c x22

1r rc x2r

1n n 1c x d2n n 2 c x rr

c x drn n r

(Ⅲ) 0d 00r 00其中cii≠0，i=1，2，…，r．方程组(Ⅲ)中“0=0”是一些恒等式，可以去掉，并不影响方程组的解．与(Ⅲ)(Ⅲ)r+1个方程0=dr+1(I)dr+1r=n时，阶梯形方程组为c xc x c x d11

12 c x22 2

1n n 1c x d2n n 2

(Ⅳ) c x dnn n n其中cii≠0，i=1，2，…，n．由克莱姆法则(Ⅳ)有唯一解，从而(I)有唯一解．c x

x

x c x d111222222

12 c x

1r r2rr2rr

1n n 12nn2c x 2nn2 c xc rr

c x drn n r

(Ⅲ) 0d 00r 00其中cii≠0，i=1，2，…，r．方程组(Ⅲ)中“0=0”是一些恒等式，可以去掉，并不影响方程组的解．r<n时，这时阶梯形方程组为c x

x

x

x c x d111

12 c x

1r rc x

1rc

rx

1n n 1c x d 22 2

2r

2r

r

2n n 2 c xrr r

crr

xr

c x drn n 2其中cii≠0，i=1，2，…，r，写成如下形式c x

x c

d

x c x111

12 c x

1rc

rnx

1 1rc

r

1nc x 22 2

2r

2 2r

r

2n n

(Ⅴ) c xrr r

d 2

rr

xr

c xrn n值，也就是定出方程组(Ⅴ)的一个解，一般地，由(Ⅴ)x1，x2…，xrxr+1，…，xn表示出来．这样表示出来的解称为方程组(I)的一般解，因xr+1，…，xn们为自由未知量．显然，(Ⅴ)有无穷多个解，即(I)有无穷多个解．定理：非齐次线性方程组，RA)RAb)RA)RAbn方程组有无穷多组解的充分必要条件是RA)RAbrn,且在任一解中含有nr个任意常数.0程是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有解．方程组有解时，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，则方程组有唯一解；如果阶梯形方程组中方程个数小于未知量的个数，则方程组有无穷多个解．当线性方程组(1)中的常数项b1=b2=…=bm=0时，即a xa x a x 011

12 2

1n na xa x a x 0211 22 2 2n n

(Ⅵ)a xm11

a xm2

a x 0mn nx1x2=…xn=0就是它的一个解．这个解称为齐次方程组的零解．我们所关心的是它除了零解之外，还有没有非零解？把上述对非齐次线性方程组讨论的结果应用到齐次线性方程组，就有如下定理．(Ⅵ)m<n总结（5）讨论、思考题、作业：教学总结：《线性代数》 教案课时安排：2 学时

编号教学课型：理论课√实验课□ 习题课□其它□题目：第三章线性方程组§3.2教学目的要求：了解n维向量的基本概念，理解线性组合、线性表示、向量组等价的定义；教学重点、难点：线性表示和向量组等价的定义、定理教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等复习（5分钟）新授课内容（80分钟）一、n维向量定义1nAaa1 2

,,am

所组成的数组称为n维向量这n个数称为该向量的n个分量第i个数a称为第i个分量in维向量可写成一行也可写成一列按第二章中的规定分别称为行向量和列向量也就是行矩阵和列矩阵并规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算aa1因此n维列向量a 2与n维行向量aT(a,

,,

)总看作是两个不同的向量 a a n

1 2 m本书中ab,等表示aTbT,TT等表示都当作列向量向量的运算类似于矩阵的运算，也有类似的运算性质二、向量组的概念若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组矩阵与向量组的对应一个mn矩阵的全体列向量是一个含nmm个n维行向量的向量组a

a

(a

)

a

a

)

a1n

2

,

2,,

2na

(a

)

a

a

mn

mn

m1

m2

mnm个nAaa1 2

,,am

构成一个nm矩阵A(a,a1 2

,,a );mn个mBTT,

构成一个mn矩阵T

1 2 m 1TB 2 m又如线性方程Ax0的全体解当R(A)n时是一个含无限多个n维列向量的向量组三、向量组的线性组合与线性表示定义2给定向量组A:a,a1 2

,,am

对于任何一组实数kk1 2

,,km

表达式ka ka1 1 2 2

k am m称为向量组A的一个线性组 k,k,,k 称为这线性组合的系数1 2 mAaa1 2

,,am

和向量b，如果存在一组数1 2

, 使mba a a11 2 2 m m则向量b是向量组A的线性组合这时称向量b能由向量组A线性表示向量b能由向量组A线性表示，也就是方程组xa xa1 1 2

x am m

b 有解定理1向量b能由向量组Aaa1 2

,,am

线性表示的充分必要条件是矩阵A(a,a1 2

,,am

B(aa1 2

,,am

,b即RA)R(B)四、向量组的等价性定义3 设有两个向量组A:a,a1 2

,,am

Bbb1

,,bl

若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示则称向量组B能由向量组A线性表示若向量组A与向量组B能相互表示相互表示则称这两个向量组等价总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结：《线性代数》 教案课时安排：2 学时 教学课型：理论课√实验课□习题课□编号：其它□题目：第三章线性方程组§3.3向量组的线性相关性教学目的要求：了 理解向量组的线性相关与线性无关的定义及对应的判定定理教学重点、难点：判断给定向量组的线性相关性。教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等复习（5分钟）新授课内容（80分钟）定义1 对于向量组

，如果存在一组不全为零的数k1，k2，…，k，使得k1 1

+

2+…+km

m mm=0 (2)则称向量组1，2

，…，m

是线性相关的．定义2 一个向量组如果不是线性相关就称为线性无关．也就是当且仅当 k1=k2=…=k=0kk+…k=0成立，则称，，…，

线性无关．m 1 1 2 2 m m 1 2 m

，2

，…，k 都有 k+k+…+k≠0．m 1 1 2 2 m mAaa1 2

, ,am

线性相关m2的情形m1的情形m1时向量组只含一个向量a的向量组当a0时是线性相关的当a0时是线性无关的对于含2aa1 2

的向量组它线性相关的充分aa1 2

的分量对应成比例其几何意义是两个向量共线 3个向量线性相关的几何意义是三向量共面结论：一个零向量必线性相关，而一个非零向量必线性无关；含有零向量的任意一个向量组必线性相关；1n维基本单位向量组1

， ，…，2

线性无关．定理1 m个n维向量组a a a a11 a12 a1m= 21，= 22，…，= 2m1

2

m a a a a n2 nm线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组a xa x a x 011

12 2

1m ma xa x a x 0211 22 2 2m m

(3)a xn11

a xn2

a x 0nm m有非零解．推论1向量组1，2，…，m线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组(3)只有零解．推论2 当m=n时，即n个n维向量a

a 11

12

1n=a ，

=a

=a 1 21

2 22

n 2n

n2 nna a11 122122线性无关的充分条件是行列式D=a a2122

an≠0 ≠0n a a an1 n2 nn推论3 m>n时，任意m个n维向量都线性相关．即当向量组中所含向量个数大于向量的维数时，此向量组线性相关．定理2 向量组线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可由其余m–1个向量线性表出．推论向量组，，…，(m≥2)线性无关的充分必要条件是其中每一个向量都不能1 2 mm–1个向量线性表出．定理3若向量组1，2，…，m线性无关，而向量组β，1，2，…，m线性相关，则可由

，，…，2

线性表出，且表达式唯一．4(称为部分组)例如，含有两个成比例的向量的向量组是线性相关的．因为两个成比例的向量是线性相关的，由定理5知该向量组线性相关．推论若向量组线性无关，则它的任意一个部分组线性无关．如，n维单位向量组ε，ε

线性无关，因此它的任意一个部分组线性无关．1 2 ns5n维向量组mn+m维向量组*也线性无关．s推论如果n维向量组1，2，…，s线性相关，则在每一个向量上都去掉m(m<n)n–m维向量组6设有两个向量组,,1 2及 ,,1 2

,（A）s,（B）t向量组（B）可由向量组（A）st，则向量组（B）线性相关推论向量组（A）与向量组B）等价，如果向量组（A（B）则s=t总结（5）教学总结：《线性代数》 教案课时安排：2学时 教学课型：理论课√实验课□习题课□编号：其它□题目：第三章线性方程组§3.4向量组的秩教学目的要求：掌握极大无关组与向量组的秩的概念，能求给定向量组的极大无关组及秩教学重点、难点：向量组的极大无关组及秩教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等复习（5分钟）新授课内容（80分钟）一、向量组的极大无关组定义1 设有向量组

i1 i2 iri1(1)i1

，，…，i2

m线性无关；1(2)向量组1

，2

中的任意一个向量都可由部分组i1

，i2

线性表出．则称部分组i1，i2大无关组．

，…，ir

是向量组，1 2

，…，m

的一个极大线性无关组，简称为极从定义可看出，一个线性无关的向量组的极大无关组就是这个向量组本身．显然，仅有零向量组成的向量组没有极大无关组．为了更深入地讨论向量组的极大无关组的性质，我们先来讨论两个向量组之间的关系极大线性无关组有下列性质：1向量组，

，…，m

与它的极大无关组，i1 i2

，…，ir

等价．推论向量组的任意两个极大无关组等价．性质2向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相同．定理1矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行量组的秩.定理2对一个矩阵进行初等行变换，不改变对应列向量组之间的线性关系。二、向量组的秩由于一个向量组的所有极大无关组含有相同个数的向量，这说明极大无关组所含向量的个数反映了向量组本身的性质．因此，我们引进如下概念：2m)．规定零向量组成的向量组的秩为零．1n维基本单位向量组1

，，…，2

是线性无关的，它的极大无关组就是它本身，因此，r(1，2，…，n)=n．定理3向量组线性无关的充分必要条件是：它的秩等于它所含向量的个数．定理4相互等价的向量组的秩相等．定理4的逆定理并不成立．即两个向量组的秩相等时，它们未必是等价的．例如向量组

=(1，0，0，0)，

=(0，1，0，0)

=(0，0，2120，1)r(，)=r(，212

)=2，而这两个向量组显然不是等价的．1 2 1 2定理5 如果两个向量组的秩相等且其中一个向量组可由另一个线性表出，则这两向量组等价．总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结：《线性代数》 教案课时安排：2学时 教学课型：理论课√实验课□习题课□编号：其它□题目：第三章线性方程组§3.5教学目的要求：掌握齐次线性方程组解的性质和基础解系的概念；会求齐次线性方程组的基础解系和通解；教学重点、难点：求解齐次线性方程组的基础解系及通解；教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等复习（5分钟）新授课内容（80分钟）一、齐次方程组的解的性质：设有n元齐次线性方程组 Ax0 c1若xc,x c, ,x

是⑴的解，记c21 1 2 2 n n

cnc性质1 若,1 2

为（1）的两个解（向量，则1

也是（1）的解.2性质2 若为（1）的解（向量，k为任意实数，则k也是（1）的解.如果⑴的全体解向量所组成的集合称为齐次方程组⑴的通解.定义：具体说，如果,1 2

, ,n

是⑴的一组解向量，且满足[1]向量,1 2

, ,n

组线性无关；[2]齐次方程组⑴的每个解都可由,1 2

,线性表示；n那么称,1 2

,为齐次方程组⑴的一个基础解系.n如果,1 2

,是齐次方程组⑴的一个基础解系，那么⑴的所有解都可表为nkk k11 22 nn其中k,k1 2

, ,kn

为任意实数,称上式为齐次方程组⑴的通解.定理1n元齐次线性方程组 Ax0的基础解系含nrRAr.

1RArA为行最简形矩阵,不妨令为

1,r2,r

1100bb010b1 b2n A0 0 1 b b 21 r,r

rn0 0 0 0 0 0 0 0 0 0于是得到与⑴同解的方程组：xb

x

x bx1 r

r

r2

r

1nnxb2 2,r

xr

b2,r2

xr

b x2nn

(3)xb x b x bxr r,rrr,r2r2 rnn对自由未知量xr1

,x r2

x分别取值nx 1 0 0xr 0 1 0r2 , , x 0 x 0 代入⑶的右端依次可得：

n

x b

b

b 1

1,r

1,r2

1nx b

b

b 2

2,r,

2,r2, , 2n x b b b r r,r r,r2 rn于是得到⑶的nr个解:x b

b b 1

1,r

1,r2

1nx b

b 2

2,r

2,r2

2n

x b

b b xr

r,r

r,r2

,

rn r1 1

0

0 x 0 1 0 r2

x 0 0 1 下面证明解向量组

n b

b 1,r 1,r2 1n b

b 2,r 2,r2 2n b b b r,r, 1 1

r,r2,, 0

nr

rn 0 0 1 0 0 0 0 0 是⑶的一个基础解系，从而它们也是⑴的一个基础解系首先，,,, 线性无关.1 2 nr其次证明⑶的任意解都可由,,, 线性表示.1 2 nr 1 设

r是⑶的一个解.根据齐次方程组解的性质可知，向量r1 n

r11

r2

nnr也是⑶的一个解，由于与的后面的nr个分量对应相等，因此 r11即可由,,, 线性表示.1 2 nr

r22

nnr,1 2

,,

nr

是方程组（3，从而也是齐次方程组（1）的一个基础解系，所以，⑴的基础解系含nr个解.例1. 求下列齐次线性方程组的基础解系与通解.2xx

2x3x 03x122 x32x40xx1 2 3 4xxx 01 2 3 4解:对系数矩阵A作初等行变换,将其变为行最简形矩阵,得2 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 4A3 2 1 2r0 1 4 5 r0 1 4 5 r0 1 4 5 1 1 1 1 0 1 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 x3x4x于是得同解方程组1 3 4x2x 10

4x3

5x4x

34令x30,1, 可得

1

,

,即得基础解系：42 42

x

453 44 5 , .1 1 2 00 0 x1并得方程组的通解x c2

c

, c,

R.x 11 2 2 1 2x34总结（5分钟）讨论、思考题、作业：教学总结：《线性代数》 教案课时安排：2学时 教学课型：理论课√实验课□习题课□编号：其它□题目：第三章线性方程组§3.5线性方程组解的结构（续教学目的要求：掌握非齐次线性方程组解的结构并会求解非齐次线性方程组；教学重点、难点：求解非齐次线性方程组的通解；教学方式、手段、媒介：讲授，多媒体、板书（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以及如何启发思维等复习（5分钟）新授课内容（80分钟）一、非齐次线性方程组的解的结构下面讨论当非齐次线性方程组有无穷多解时，解的结构问题．设非齐次线性方程组为a xa x a x b11

12 2

1n n 1a xa x a x b211 22 2 2n n 2

(2) a xm11

a xm2

a x bmn n m当它的常数项都等于零时，就得到前面介绍过的齐次线性方程组(1)，即a xa x a x 0111

12 2

1n na xa x a x 0211 22 2 2n n

(1) a xm11

a xm2

a x 0mn n方程组(1)称为方程组(2)的导出组．非齐次线性