2024内蒙古中考数学二轮专项训练 题型七 反比例函数综合题（含答案）

2024内蒙古中考数学二轮专项训练题型七反比例函数综合题类型一反比例函数与一次函数结合1.如图，一次函数y＝x＋b的图象与反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，其中点A的坐标为(a，4)，点C的坐标为(－2，0)．(1)求这两个函数的解析式；(2)点D在y轴上，连接AD，BD，若△ABD的面积为12，求点D的坐标．第1题图2.如图，点P为函数y＝eq\f(1,2)x＋1与函数y＝eq\f(m,x)(x>0)图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B.(1)求m的值；(2)点M是函数y＝eq\f(m,x)(x>0)图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD＝eq\f(1,2)，求点M的坐标．第2题图3.如图所示，直线y＝k1x＋b与双曲线y＝eq\f(k2,x)交于A、B两点，已知点B的纵坐标为－3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D(0，－2)，OA＝eq\r(5)，tan∠AOC＝eq\f(1,2).(1)求直线AB的解析式；(2)若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，求点P的坐标；(3)直接写出不等式k1x＋b≤eq\f(k2,x)的解集．第3题图4.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝eq\f(m,x)的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点．(1)求一次函数的解析式；(2)将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于点M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求eq\f(PQ,MN)的值．

类型二反比例函数与几何图形结合1.如图，Rt△ABC的BC边在x轴上，点O为BC的中点，点A的坐标为(3，2eq\r(3))，反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)图象经过点A，将△ABC沿x轴水平向右平移得到△A′B′C′，A′C′与反比例函数图象交于点D.(1)求反比例函数的解析式；(2)在平移过程中，当△A′DB′∽△ABC，求点D的坐标．第1题图2.如图，▱ABCD的顶点B在反比例函数y＝eq\f(k,x)(x≠0)的图象上，AD∥x轴，BC＝7，点O为AC的中点，已知点C(3，－3)．(1)求反比例函数的解析式；(2)求证：点D在反比例函数的图象上；(3)点P、Q分别在反比例函数图象的两支上，当四边形AQCP是菱形时，请求出点P的坐标．第2题图创新题3.背景：点A在反比例函数y＝eq\f(k,x)(k>0)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图①，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3.探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．(1)求k的值；(2)设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图②，小李画出了x>0时“Z函数”的图象．①求这个“Z函数”的表达式；②补画x<0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质(两条即可)；③过点(3，2)作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．第3题图参考答案类型一反比例函数与一次函数结合1.解：(1)∵一次函数y＝x＋b的图象过点C(－2，0)，∴0＝－2＋b，解得b＝2，∴一次函数的解析式为y＝x＋2.∵点A(a，4)在一次函数y＝x＋2的图象上，∴a＋2＝4，解得a＝2，∴A(2，4)．∵点A(2，4)在反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象上，∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y＝eq\f(8,x)；(2)如解图，设一次函数y＝x＋2的图象与y轴交于点E，点D的坐标为(0，t)，当x＝0时，y＝0＋2＝2，∴E(0，2)．由题意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,y＝\f(8,x)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))∴B(－4，－2)，①当点D在点E上方时，即点D1，S△ABD1＝S△BD1E＋S△AD1E＝eq\f(1,2)×(t－2)×4＋eq\f(1,2)×(t－2)×2＝12，解得t＝6.此时点D1坐标为(0，6)；②当点D在点E下方时，即点D2，S△ABD2＝S△BD2E＋S△AD2E＝eq\f(1,2)×(2－t)×4＋eq\f(1,2)×(2－t)×2＝12，解得t＝－2.此时点D2坐标为(0，－2)；综上所述，点D的坐标为(0，6)或(0，－2)．第1题解图2.解：(1)∵点P的纵坐标为4，且点P在函数y＝eq\f(1,2)x＋1的图象上，∴4＝eq\f(1,2)x＋1，解得x＝6，∴P(6，4)．又∵点P在函数y＝eq\f(m,x)(x＞0)的图象上，∴4＝eq\f(m,6)，∴m＝24；(2)∵MD⊥BP，tan∠PMD＝eq\f(1,2)，∴eq\f(PD,DM)＝eq\f(1,2)，设PD＝t(t>0)，则DM＝2t，当点M在点P右侧时，∴点M的坐标为(6＋2t，4－t)，∴(6＋2t)(4－t)＝24，解得t1＝1，t2＝0(舍去)，当t＝1时，M(8，3)；当点M在点P左侧时，∴点M的坐标为(6－2t，4＋t)，∴(6－2t)(4＋t)＝24，解得t1＝0，t2＝－1，不符合题意均舍去．综上所述，点M的坐标为(8，3)．3.解：(1)如解图，过点A作AE⊥x轴于点E，∵tan∠AOC＝tan∠AOE＝eq\f(AE,OE)＝eq\f(1,2)，∴设AE＝m，则OE＝2m，在Rt△AOE中，AE2＋OE2＝OA2，∴m2＋(2m)2＝(eq\r(5))2，解得m＝1(负值已舍去)，∴AE＝1，OE＝2，∴点A的坐标为(－2，1)．∵直线AB过点A(－2，1)，D(0，－2)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2k1＋b＝1，,b＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－\f(3,2)，,b＝－2，))∴直线AB的解析式为y＝－eq\f(3,2)x－2；第3题解图(2)如解图，连接OB，将点B的纵坐标y＝－3代入y＝－eq\f(3,2)x－2中，得x＝eq\f(2,3)，∴点B的坐标为(eq\f(2,3)，－3)，∴S△ODB＝eq\f(1,2)×2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，∴S△OCP＝2S△ODB＝eq\f(4,3).∵直线AB过点C，且点C的纵坐标为0，∴把y＝0代入y＝－eq\f(3,2)x－2中，得x＝－eq\f(4,3)，∴点C的坐标为(－eq\f(4,3)，0)，∴OC＝eq\f(4,3).如解图，设点P的坐标为(xP，yP)，连接PC、PO，∵S△OCP＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×yP＝eq\f(4,3)，∴yP＝2.∵点A的坐标为(－2，1)，∴双曲线的解析式为y＝－eq\f(2,x).∵点P是第二象限内双曲线上一点，∴2＝－eq\f(2,xP)，解得xP＝－1，∴点P的坐标为(－1，2)；(3)－2≤x＜0或x≥eq\f(2,3).4.解：(1)∵反比例函数y＝eq\f(m,x)的图象过点A(2，3)，∴m＝2×3＝6，∴反比例函数的解析式为y＝eq\f(6,x).又∵反比例函数y＝eq\f(6,x)的图象过点B(6，n)，∴n＝eq\f(6,6)＝1，∴B(6，1)．又∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过点A(2，3)，B(6，1)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝3，,6k＋b＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2)，,b＝4，))∴一次函数的解析式为y＝－eq\f(1,2)x＋4；(2)∵将直线AB向下平移8个单位后得到直线l，∴直线l的解析式为y＝－eq\f(1,2)x＋4－8＝－eq\f(1,2)x－4，令x＝0，则y＝－4，令y＝0，则x＝－8，∴直线l与x轴的交点为M(－8，0)，与y轴的交点为N(0，－4)，∴OM＝8，ON＝4，∴由勾股定理，得MN＝eq\r(OM2＋ON2)＝4eq\r(5).∵直线l与反比例函数的图象交于点P，Q，∴联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x－4，,y＝\f(6,x)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－3，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－6，,y＝－1，))∴P(－6，－1)，Q(－2，－3)．如解图，过点P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，两平行线相交于点C，则∠C＝90°，点C(－2，－1)，∴PC＝4，QC＝2，∴由勾股定理，得PQ＝eq\r(PC2＋QC2)＝2eq\r(5)，∴eq\f(PQ,MN)＝eq\f(2\r(5),4\r(5))＝eq\f(1,2).第4题解图类型二反比例函数与几何图形结合1.解：(1)∵反比例函数图象经过点A，将A(3，2eq\r(3))代入y＝eq\f(k,x)(x＞0)得2eq\r(3)＝eq\f(k,3)，解得k＝6eq\r(3)，∴反比例函数的解析式为y＝eq\f(6\r(3),x)(x＞0)；(2)∵点A的坐标为(3，2eq\r(3))，点O为BC的中点，∴BC＝6，AB＝2eq\r(3)，∴在Rt△ABC中，tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(2\r(3),6)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠ACB＝30°，∠CAB＝60°.∵△A′DB′∽△ABC，∴△A′DB′为直角三角形，且∠DB′A′＝30°，∴A′D＝eq\f(1,2)A′B′＝eq\r(3).如解图，过点D作DF⊥A′B′于点F，作DE⊥x轴于点E，∴△A′DF为直角三角形．∵∠A′＝60°，∴∠A′DF＝30°，∴A′F＝eq\f(1,2)A′D＝eq\f(\r(3),2)，∴FB′＝DE＝A′B′－A′F＝2eq\r(3)－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2)，∵点D在反比例函数图象上，将y＝eq\f(3\r(3),2)代入y＝eq\f(6\r(3),x)，解得x＝4，∴点D的坐标为(4，eq\f(3\r(3),2))．第1题解图2.(1)解：∵在▱ABCD中，AD∥x轴，∵BC∥x轴，∴BC＝7，C(3，－3)，∴B(－4，－3)．∵点B在反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象上，∴k＝(－4)×(－3)＝12，∴反比例函数的解析式为y＝eq\f(12,x)；(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，且O是AC的中点，∴点B与点D关于原点对称．由(1)得B(－4，－3)，∴D(4，3)．∵当x＝4时，y＝eq\f(12,4)＝3，∴点D在反比例函数的图象上；(3)解：如解图，∵四边形AQCP是菱形，第2题解图∴AC⊥PQ，AC与PQ互相平分，∵C(3，－3)，∴直线AC为第二、四象限的角平分线，∴直线PQ为第一、三象限的角平分线，∴直线PQ的解析式为y＝x.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝\f(12,x)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(3)，,y＝2\r(3)，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2\r(3)，,y＝－2\r(3)，))∴点P的坐标为(2eq\r(3)，2eq\r(3))或(－2eq\r(3)，－2eq\r(3))．3.解：(1)∵四边形ABED为正方形，AC＝4，CD＝3，∴AD＝AC－CD＝1，∴AB＝AD＝1，∴点A的坐标是(4，1)．∵点A在反比例函数图象上，∴k＝4×1＝4；(2)①设点A坐标为(x，eq\f(4,x))，∴点D的横坐标为z＝x－eq\f(4,x)，∴这个“Z函数”表达式为z＝x－eq\f(4,x)；②画出图象如解图所示：第3题解图性质：函数的图象是由两个分支组成的曲线；函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称；当x>0时，函数值z随自变量x的增大而增大，当x<0时，函数值z随自变量x的增大而增大(答案不唯一，写出两条即可)；③第一种情况，当过点(3，2)的直线与x轴垂直时，x＝3；第二种情况，当过点(3，2)的直线与x轴不垂直时，设该直线的函数表达式为z′＝mx＋b(m≠0)，∴2＝3m＋b，即b＝