2022-2023学年湘教版必修第二册二平面与平面垂直的性质课时作业

2022-2023学年湘教版必修第二册二平面与平面垂直的性

质课时作业

一.单项选择（）

1.m,〃为不重合的直线，a,B,7为互不相同的平面，下列说法错误的是（）

A.若就打，则经过加，”的平面存在且唯一

B.若all/3,月则

c若C7,01y,。口力=根，贝|]加工7

D若wiu6Z,〃ua,mHB,,则。〃

2.蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体

连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是

109。28二这样的设计含有深刻的数学原理.我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢

的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如

图,在正六棱柱^BCDEF-AB'C'DE'的三个顶点A,C,E处分别用平面BFM,平

面9O,平面。印截掉三个相等的三棱锥M—产，O-BCD,N-DEF；平

面跳平面班平面DWV交于点尸，就形成了蜂巢的结构.

如图，设平面网。。与正六边形底面所成的二面角的大小为°，则cos6»=.

（用含1454。44'的代数式表示）

AB=l,BC=2y/2,B=-

3.如图，在A46c中，4,将6c绕边AB翻转至

△ABP,使平面W平面ABC,。是的中点，设Q是线段H的动点，则

当PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ等于（）

好迪正2亚

A.2B.5C.5D.3

4.设平面a_L平面B,aCB=/,点尸ea,且尸？],则下列命题中真命题的是

A.过点P且垂直于a的直线平行于1

B.过点P且垂直于a的直线平行于8

C.过点P且垂直于a的平面平行于1

D.过点P且垂直于a的平面平行于B

5.如图，在矩形"8中，点后为线段0。上一动点(不包括端点)，将沿

小翻折成场，使得平面PAE，平面”CE.给出下列两个结论：

①在平面抽以内过点C有且只有一条直线与平面K4E平行；

②在线段CD上存在点E使得PE1AB.

则下列判断正确的是()

A.①正确，②错误B.①错误，②正确C.①，②都正确D.①，②都错误

二.填空题()

6.如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M,N分别为棱AB和CD的中点，一个平

面分别与棱BC,BD,AD,AC交于E,F,G,H,且MNL平面EFGH.给出下列六个结

论：①ACLBD,②AB//平面EFGH,③平面ABC,平面EFGH,④四边形EFGH的周长

为定值；⑤四边形EFGH的面积有最大值；⑥四边形EFGH一定是矩形，其中，所有

正确结论的序号是.

7.如图，在棱长为1的正方体被力-48G〃中，点〃是血的中点，动点尸在底

面正方形的力内(不包括边界)，若笈7/平面4掰则G尸长度的取值范围是.

8.如图，在四棱锥S-钻8中，底面ABC。是矩形，侧面SCO,底面ABCD,

是边长为2的等边三角形，点RQ分别为侧棱SAS3上的动点，记

s=DP+PQ+QC则$的最小值的取值范围是.

9,在三棱锥A—BCD中，若平面ABC,平面BCD,3Z)=CD且或),CD,则直

线CD与平面ABC所成角的大小为.

三.解答题O

10.如图，在三棱锥P—Afi。中，NACB=90。，PA,底面ABC.

(1)求证：平面PAC，平面PBC；

(2)若%=AC=1,BC=2,"是的中点，求AM与平面PBC所成角的正

切值.

11.如图，正三棱柱ABC-A笈G的高为6,底面边长为2,点D,2分别为AC,4G

上的点.

(I)在棱4。，4£上是否存在点。2使得平面3。1。//平面4用2?请说明理由.

(II)在(I)的条件下，求几何体ABAG。。的体积•

12.如图，三棱柱ABC—451G各棱长均为2,/4延=60°.

七、工AB±AC

(1)求证：1；

⑵若面4”，面ABC,求四边形8CG4的面积.

参考答案与试题解析

1.【答案】D

【解析】对于A,由公理三及其推论得经过m,九的平面存在且唯一；对于B,由面面

平行的性质定理得加/〃；对于C,由线面垂直的判定定理得加,/；对于D,0与尸相

交或平行.

详解：解：由冽，〃为不重合的直线，a,P,/为互不相同的平面，知：

对于A,若加〃“，则由公理三及其推论得经过冽，”的平面存在且唯一，故A正确;

对于B,若。〃分，aCV=〃z,则由面面平行的性质定理得加〃“，故B正确;

对于C,若DY,=m,则由线面垂直的判定定理得加工/,故C正确;

对于D,若mua,"ua,,"〃〃，则a与4相交或平行，故D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间直线.平面间的位置关系贩判断，考查平面的基本性质，旨在考查学生空

间想象能力，逻辑推理能力.

二.填空题

2.［答案］—上一

3tan54044,

【解析】先证明一个结论：如图，△A5c在平面a内的射影为△ABC,C-AB-C'

1cos6=}ABC

的平面角为°(I2八，贝uLBC.

证明：如图，在平面夕内作CE，AB,垂足为E,连接EC,因为AA6c在平面a内

的射影为△A^C,故CC'，a,因为.匚。，故CC'LAB,因为CEcAB=E,

故AB,平面ECC'.因为ECu平面ECC,故CE工A3,所以ZCEC为二面角的平

cosNCEC'=cos6=王=

面角，所以NCEC'=O.在直角三角形CEC中，ECS，ABC.由

cos6=^^

题设中的第二图可得：SvDBC.设正六边形的边长为。，则

S工2旦/

224,如图，在△£■(?中，取89的中点为W,连接°卬，则

I-,OW=—ax——-——

OW±BDt且8。=6。，ZBOD=109°28；故2tan54°44',

C_1WG1_321o出

Sy,DBO=—xv3ax—cix---------------=—a---------cos0-----------

故22tan54044,4taE*,故3tan54°44'.

故答案为：3tan54044;

3.【答案】C

【解析】由题意可将三棱锥。一至。放在棱长为2的正方体中如图所示，

延长AO交正方体的棱于点E,连接所，则4石均为其所在正方体棱上的中点，

过点C作班'的垂线CG,垂足为点G,则平CEE,所以AO_LCG,

又因为M,CG,ADC\EF=Et所以CG,平面K4£尸，

则PG为PC在平面PAEF内的投影，

则当DQ//PG时，PC与DQ所成的角取得最小值，

AQAD

止匕时由4Q"FG,AD//PF得AADQ-AFPG则而=而，

撞

FG-处AO-ADFG5-2^

在RNFCE中,易得5,所以FP25.

故选：C.

4【答案】B

【解析】对于屈过点〃且垂直于a的直线垂直于a内的所有直线，则垂直于，，故

A错；

对于8在8内作一直线垂直于1,由平面a1.平面8,an3=1,可得7i±a,

从而有过点P且垂直于a的直线平行于Z,进而平行于B,故6正确；

对于C,D,过点P且垂直于a的平面可以围绕过点尸且垂直于a的直线旋转，

则过点P且垂直于a的平面与/不一定平行，与B也不一定平行，故G。均错误.

故选：B.

5.【答案】A

【解析】

①在AB上取点尸，使”=EC,则四边形AEG7为平行四边形，

得CF//AE,从而b〃平面Q4E,结论正确：

②如图，作PWAE,垂足为航，

因为平面PAE1平面ABCE,

平面PAEA平面ABC=AE,

则PM,平面A6CE,所以加_LAB.

假设则4?，平面Q4E,

从而AB,AE,这与44石为锐角矛盾，

所以假设不成立，结论错误，

故选：A.

6.【答案】①②④⑤⑥

【解析】利用正四面体的性质判断①；利用直线与平面垂直的性质判断②；平面是否垂

直判断③；通过折叠与展开判断④；求出四边形的面积判断⑤；判断四边形的形状判断

⑥；

详解：在棱长为1的正四面体。中，对棱垂直，所以①AC,BO,正确；

M,N分别为棱A3和CD的中点，可知WA5,MN±CD；

一个平面分别与棱BC,BD,AD,AC交于E,F,G,"，且W平面£FGH

所以AB//EF/AFG,AB//平面EEGH,所以②正确;

同时CD//GH//£F,所以四边形瓦＜汨一定是矩形，所以⑥正确;

平面ABNA平面EFGH,所以平面ABC,平面EFGH不正确，即③不正确;

由比例关系可知：E/+四是定值，四边形跳GH的周长为定值2,④正确；

由基本不等式的形状，可知四边形比《汨的面积有最大值1；所以⑤正确；

故答案为：①②④⑤⑥.

【点睛】

本题考查命题的真假的判断与应用，涉正四面体的性质以及及空间几何体的直线与平

面.平面与平面的平行垂直性质的综合应用，还运用了基本不等式求面积最大值.

三.解答题

7.【答案】［等,0）

【解析】取回中点儿连结笈〃BNDN,作C01DN,连结GO,

因为平面风尔〃平面AM

所以点P在底面ABCD内的轨迹是线段DN（动点、P在底面正方形ABCD内，不包括边界,

故不含点N和点〃），

在中GDSDN=GN=2^4

任I中，1,

过GO,眺则当产与。重合时，G尸长度取最小值,

CO=___=

11A/52

—X------

所以GP长度的最小值为22

当P与。重合时，GP长度取最大值，

，G产长度的最大值为GD=血，

♦.•尸与。不重合，G?长度的取值范围是

故答案为:

8.【答案】（2,3]

【解析】分析：根据垂直关系和全等关系可得到侧面S&D,SAB,SBC的展开图，将

所求范围转化为8取值范围的求解；令二同时确定°的取值范围，以°为

变量可表示出$,利用三角恒等变换和正弦型函数值域的求解方法可求得结果.

详解：；底面A5。。为矩形，•,•BC,CD,

又平面SCO_L平面ABCD,平面SCZ5口平面ABCD=CD,5Cu平面ABCZ）,

BC_L平面SCD,又SCu平面SCD,/.BC_LSC,

同理可得：AD,SO,

AA

XVAD=BC9SA=SB9.e.SAD=SBC，SC=SD

将侧面S4D,SABSBC展开后，展开图如下图所示:

则$的最小值的取值范围即为CD的取值范围.

ZDAP=0\0<0<-\

令I

•sin8=>—•-<0<—

.SD+SC>CD^AB即2SD>5A,…SA262

在△ADS中，AD=SAcos0-2cos6

-P_-DDP_AD

sin

sin，—9?sin。sin£

在△4DP中，I3J3,3,

2cossin------0

_2cossin6^SP=2-AP=2--------------——，

.兀.n

sin——sin—

33

2cos6sin[g-。

PQ=SP=2—

si.n7—1

3

=0sin2，—cos2，+l=2sin12，—？J+1

9

<生.-.£<20--<—.Avsin、，-祚1

62,666,2I6J

「•2<CDW3,即s的最小值的取值范围为°，斗.

【点睛】

思路点睛：求解侧面上的线段长之和的最小值问题时，利用侧面展开图，根据两点之间

线段最短，确定最小值；由于本题中线段长度不定，涉及最小值的取值范围求解，我们

需利用某一变量表示出所求的最小值，将问题转化为函数值域的求解问题；本题中因涉

及平面几何，故采用三角函数和解三角形的知识来求解相对简单，通过三角函数表示出

所求线段长后，利用三角恒等变换知识进行化简，转化为正弦型函数值域的求解问题.

9.【答案】一；

4

【解析】过力作。交8C于°,推导出。是中点，且OO,平面ABC,

从而直线CD与平面ABC所成角为/DCB,由此能求出直线CD与平面ABC所成角

的大小.

详解：过。作。OL5C,交BC于°,

...在三棱锥人―中，平面.C，平面88,8D=CD且5DLCD,

...△5CD为等腰直角三角形，。是中点，且DO平面ABC,

直线CD与平面ABC所成角为ZDCB,

•••在等腰直角三角形ABCD中DB-4,

71

直线CD与平面ABC所成角的大小为了.

71

故答案为：

【点睛】

本题考查线面角的求法，考查空间中线线.线面.面面间的位置关系等基础知识，考查

运算求解能力，是基础题.

10.【答案】（1）证明见解析；（2）注.

2

试题分析：（1）证明出平面PAC,利用面面垂直的判定定理可证得平面

PAC,平面；

（2）在平面PAC内，过点4作4。，「。，连接证明出平面PBC,可

得出AM与平面PBC所成角为N4如，计算出的边AZ）.DM的长，由

此可计算出AM与平面PBC所成角的正切值.

详解：（1）证明：在三棱锥尸—ABC中，底面ABC,BCu平面ABC,

:.PA±BC,

又•.•ZAC3=90°,即BC_LAC,QPAIAC=A,二台。，平面PAC,

•••BCu平面PBC,因此，平面平面PBC.

（2）解：在平面PAC内，过点A作ADLPC,连接DM,

:5C_L平面PAC,ADu平面PAC,:.AD±BC,

•.•AD±PC,BCnPC=C,AD_L平面PBC,

ZAMD是直线AM与平面PBC所成的角.

平面ABC,ACu平面ABC,:.PA±AC,

在Rt^PAC中，,PA=AC=1,：.PC=NPA2+AC2=0，

■■AD±PC,二。为PC的中点，且AD=」PC=1,

22

又是PB的中点，在APBC中，MD=^-BC=1,

2

•.•AZ）,平面PBC,

也

在小△"）网中，’ADVV2.

tanZAMD=-----==——

MD12

【点睛】

本题考查面面垂直的证明，同时也考查了线面角的正切值的计算，考查推理能力与计

算能力，属于中等题.

【解析】

11.【答案】（I）。为AC的中点，A为AC的中点；（II）2.

【解析】（I）如图，连接A5交A用于点。，连接.

由棱柱的性质，知四边形AABg为平行四边形，.•.点。为［5的中点.

•；平面BCXD//平面AB}D},且平面AiBC^c平面BCXD=BCX,平面AXBCXc平面

42_4。AjD,_DC

ABR=DO，,BC[//D0,同理AQ//D£,

XDg~OB，D©—AD

又••,也=1,，凶=生=1,即。为AC的中点，。为AG的中点.

OBQGAD

注：以“。为AC的中点，A为AG的中点”为条件，证明“平面3G。//平面A42

也算对，酌情给分.

（II）「V三棱ttABC-AB1G=gx2xgx6=3，

七棱ttA-444=V三棱锥G-BCD=gx；xlx6x6=；,

■'■匕何体ABB]C[D,0=3—2X]=2.

12.【答案】（1）证明见解析；（2）岳.

【解析】分析：（1）取A3中点。连接ARC。，A3,即可得到Afi,面从而

得证；

（2）连接BCBR,由面面垂直的