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文档简介
2022-2023学年湘教版必修第二册二平面与平面垂直的性
质课时作业
一.单项选择()
1.m,〃为不重合的直线,a,B,7为互不相同的平面,下列说法错误的是()
A.若就打,则经过加,”的平面存在且唯一
B.若all/3,月则
c若C7,01y,。口力=根,贝|]加工7
D若wiu6Z,〃ua,mHB,,则。〃
2.蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看,蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体
连接而成,中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成,菱形的一个角度是
109。28二这样的设计含有深刻的数学原理.我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢
的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》.用数学的眼光去看蜂巢的结构,如
图,在正六棱柱^BCDEF-AB'C'DE'的三个顶点A,C,E处分别用平面BFM,平
面9O,平面。印截掉三个相等的三棱锥M—产,O-BCD,N-DEF;平
面跳平面班平面DWV交于点尸,就形成了蜂巢的结构.
如图,设平面网。。与正六边形底面所成的二面角的大小为°,则cos6»=.
(用含1454。44'的代数式表示)
AB=l,BC=2y/2,B=-
3.如图,在A46c中,4,将6c绕边AB翻转至
△ABP,使平面W平面ABC,。是的中点,设Q是线段H的动点,则
当PC与DQ所成角取得最小值时,线段AQ等于()
好迪正2亚
A.2B.5C.5D.3
4.设平面a_L平面B,aCB=/,点尸ea,且尸?],则下列命题中真命题的是
A.过点P且垂直于a的直线平行于1
B.过点P且垂直于a的直线平行于8
C.过点P且垂直于a的平面平行于1
D.过点P且垂直于a的平面平行于B
5.如图,在矩形"8中,点后为线段0。上一动点(不包括端点),将沿
小翻折成场,使得平面PAE,平面”CE.给出下列两个结论:
①在平面抽以内过点C有且只有一条直线与平面K4E平行;
②在线段CD上存在点E使得PE1AB.
则下列判断正确的是()
A.①正确,②错误B.①错误,②正确C.①,②都正确D.①,②都错误
二.填空题()
6.如图,在棱长为1的正四面体ABCD中,M,N分别为棱AB和CD的中点,一个平
面分别与棱BC,BD,AD,AC交于E,F,G,H,且MNL平面EFGH.给出下列六个结
论:①ACLBD,②AB//平面EFGH,③平面ABC,平面EFGH,④四边形EFGH的周长
为定值;⑤四边形EFGH的面积有最大值;⑥四边形EFGH一定是矩形,其中,所有
正确结论的序号是.
7.如图,在棱长为1的正方体被力-48G〃中,点〃是血的中点,动点尸在底
面正方形的力内(不包括边界),若笈7/平面4掰则G尸长度的取值范围是.
8.如图,在四棱锥S-钻8中,底面ABC。是矩形,侧面SCO,底面ABCD,
是边长为2的等边三角形,点RQ分别为侧棱SAS3上的动点,记
s=DP+PQ+QC则$的最小值的取值范围是.
9,在三棱锥A—BCD中,若平面ABC,平面BCD,3Z)=CD且或),CD,则直
线CD与平面ABC所成角的大小为.
三.解答题O
10.如图,在三棱锥P—Afi。中,NACB=90。,PA,底面ABC.
(1)求证:平面PAC,平面PBC;
(2)若%=AC=1,BC=2,"是的中点,求AM与平面PBC所成角的正
切值.
11.如图,正三棱柱ABC-A笈G的高为6,底面边长为2,点D,2分别为AC,4G
上的点.
(I)在棱4。,4£上是否存在点。2使得平面3。1。//平面4用2?请说明理由.
(II)在(I)的条件下,求几何体ABAG。。的体积•
12.如图,三棱柱ABC—451G各棱长均为2,/4延=60°.
七、工AB±AC
(1)求证:1;
⑵若面4”,面ABC,求四边形8CG4的面积.
参考答案与试题解析
1.【答案】D
【解析】对于A,由公理三及其推论得经过m,九的平面存在且唯一;对于B,由面面
平行的性质定理得加/〃;对于C,由线面垂直的判定定理得加,/;对于D,0与尸相
交或平行.
详解:解:由冽,〃为不重合的直线,a,P,/为互不相同的平面,知:
对于A,若加〃“,则由公理三及其推论得经过冽,”的平面存在且唯一,故A正确;
对于B,若。〃分,aCV=〃z,则由面面平行的性质定理得加〃“,故B正确;
对于C,若DY,=m,则由线面垂直的判定定理得加工/,故C正确;
对于D,若mua,"ua,,"〃〃,则a与4相交或平行,故D错误.
故选:D.
【点睛】
本题考查空间直线.平面间的位置关系贩判断,考查平面的基本性质,旨在考查学生空
间想象能力,逻辑推理能力.
二.填空题
2.[答案]—上一
3tan54044,
【解析】先证明一个结论:如图,△A5c在平面a内的射影为△ABC,C-AB-C'
1cos6=}ABC
的平面角为°(I2八,贝uLBC.
证明:如图,在平面夕内作CE,AB,垂足为E,连接EC,因为AA6c在平面a内
的射影为△A^C,故CC',a,因为.匚。,故CC'LAB,因为CEcAB=E,
故AB,平面ECC'.因为ECu平面ECC,故CE工A3,所以ZCEC为二面角的平
cosNCEC'=cos6=王=
面角,所以NCEC'=O.在直角三角形CEC中,ECS,ABC.由
cos6=^^
题设中的第二图可得:SvDBC.设正六边形的边长为。,则
S工2旦/
224,如图,在△£■(?中,取89的中点为W,连接°卬,则
I-,OW=—ax——-——
OW±BDt且8。=6。,ZBOD=109°28;故2tan54°44',
C_1WG1_321o出
Sy,DBO=—xv3ax—cix---------------=—a---------cos0-----------
故22tan54044,4taE*,故3tan54°44'.
故答案为:3tan54044;
3.【答案】C
【解析】由题意可将三棱锥。一至。放在棱长为2的正方体中如图所示,
延长AO交正方体的棱于点E,连接所,则4石均为其所在正方体棱上的中点,
过点C作班'的垂线CG,垂足为点G,则平CEE,所以AO_LCG,
又因为M,CG,ADC\EF=Et所以CG,平面K4£尸,
则PG为PC在平面PAEF内的投影,
则当DQ//PG时,PC与DQ所成的角取得最小值,
AQAD
止匕时由4Q"FG,AD//PF得AADQ-AFPG则而=而,
撞
FG-处AO-ADFG5-2^
在RNFCE中,易得5,所以FP25.
故选:C.
4【答案】B
【解析】对于屈过点〃且垂直于a的直线垂直于a内的所有直线,则垂直于,,故
A错;
对于8在8内作一直线垂直于1,由平面a1.平面8,an3=1,可得7i±a,
从而有过点P且垂直于a的直线平行于Z,进而平行于B,故6正确;
对于C,D,过点P且垂直于a的平面可以围绕过点尸且垂直于a的直线旋转,
则过点P且垂直于a的平面与/不一定平行,与B也不一定平行,故G。均错误.
故选:B.
5.【答案】A
【解析】
①在AB上取点尸,使”=EC,则四边形AEG7为平行四边形,
得CF//AE,从而b〃平面Q4E,结论正确:
②如图,作PWAE,垂足为航,
因为平面PAE1平面ABCE,
平面PAEA平面ABC=AE,
则PM,平面A6CE,所以加_LAB.
假设则4?,平面Q4E,
从而AB,AE,这与44石为锐角矛盾,
所以假设不成立,结论错误,
故选:A.
6.【答案】①②④⑤⑥
【解析】利用正四面体的性质判断①;利用直线与平面垂直的性质判断②;平面是否垂
直判断③;通过折叠与展开判断④;求出四边形的面积判断⑤;判断四边形的形状判断
⑥;
详解:在棱长为1的正四面体。中,对棱垂直,所以①AC,BO,正确;
M,N分别为棱A3和CD的中点,可知WA5,MN±CD;
一个平面分别与棱BC,BD,AD,AC交于E,F,G,",且W平面£FGH
所以AB//EF/AFG,AB//平面EEGH,所以②正确;
同时CD//GH//£F,所以四边形瓦<汨一定是矩形,所以⑥正确;
平面ABNA平面EFGH,所以平面ABC,平面EFGH不正确,即③不正确;
由比例关系可知:E/+四是定值,四边形跳GH的周长为定值2,④正确;
由基本不等式的形状,可知四边形比《汨的面积有最大值1;所以⑤正确;
故答案为:①②④⑤⑥.
【点睛】
本题考查命题的真假的判断与应用,涉正四面体的性质以及及空间几何体的直线与平
面.平面与平面的平行垂直性质的综合应用,还运用了基本不等式求面积最大值.
三.解答题
7.【答案】[等,0)
【解析】取回中点儿连结笈〃BNDN,作C01DN,连结GO,
因为平面风尔〃平面AM
所以点P在底面ABCD内的轨迹是线段DN(动点、P在底面正方形ABCD内,不包括边界,
故不含点N和点〃),
在中GDSDN=GN=2^4
任I中,1,
过GO,眺则当产与。重合时,G尸长度取最小值,
CO=___=
11A/52
—X------
所以GP长度的最小值为22
当P与。重合时,GP长度取最大值,
,G产长度的最大值为GD=血,
♦.•尸与。不重合,G?长度的取值范围是
故答案为:
8.【答案】(2,3]
【解析】分析:根据垂直关系和全等关系可得到侧面S&D,SAB,SBC的展开图,将
所求范围转化为8取值范围的求解;令二同时确定°的取值范围,以°为
变量可表示出$,利用三角恒等变换和正弦型函数值域的求解方法可求得结果.
详解:;底面A5。。为矩形,•,•BC,CD,
又平面SCO_L平面ABCD,平面SCZ5口平面ABCD=CD,5Cu平面ABCZ),
BC_L平面SCD,又SCu平面SCD,/.BC_LSC,
同理可得:AD,SO,
AA
XVAD=BC9SA=SB9.e.SAD=SBC,SC=SD
将侧面S4D,SABSBC展开后,展开图如下图所示:
则$的最小值的取值范围即为CD的取值范围.
ZDAP=0\0<0<-\
令I
•sin8=>—•-<0<—
.SD+SC>CD^AB即2SD>5A,…SA262
在△ADS中,AD=SAcos0-2cos6
-P_-DDP_AD
sin
sin,—9?sin。sin£
在△4DP中,I3J3,3,
2cossin------0
_2cossin6^SP=2-AP=2--------------——,
.兀.n
sin——sin—
33
2cos6sin[g-。
PQ=SP=2—
si.n7—1
3
=0sin2,—cos2,+l=2sin12,—?J+1
9
<生.-.£<20--<—.Avsin、,-祚1
62,666,2I6J
「•2<CDW3,即s的最小值的取值范围为°,斗.
【点睛】
思路点睛:求解侧面上的线段长之和的最小值问题时,利用侧面展开图,根据两点之间
线段最短,确定最小值;由于本题中线段长度不定,涉及最小值的取值范围求解,我们
需利用某一变量表示出所求的最小值,将问题转化为函数值域的求解问题;本题中因涉
及平面几何,故采用三角函数和解三角形的知识来求解相对简单,通过三角函数表示出
所求线段长后,利用三角恒等变换知识进行化简,转化为正弦型函数值域的求解问题.
9.【答案】一;
4
【解析】过力作。交8C于°,推导出。是中点,且OO,平面ABC,
从而直线CD与平面ABC所成角为/DCB,由此能求出直线CD与平面ABC所成角
的大小.
详解:过。作。OL5C,交BC于°,
...在三棱锥人―中,平面.C,平面88,8D=CD且5DLCD,
...△5CD为等腰直角三角形,。是中点,且DO平面ABC,
直线CD与平面ABC所成角为ZDCB,
•••在等腰直角三角形ABCD中DB-4,
71
直线CD与平面ABC所成角的大小为了.
71
故答案为:
【点睛】
本题考查线面角的求法,考查空间中线线.线面.面面间的位置关系等基础知识,考查
运算求解能力,是基础题.
10.【答案】(1)证明见解析;(2)注.
2
试题分析:(1)证明出平面PAC,利用面面垂直的判定定理可证得平面
PAC,平面;
(2)在平面PAC内,过点4作4。,「。,连接证明出平面PBC,可
得出AM与平面PBC所成角为N4如,计算出的边AZ).DM的长,由
此可计算出AM与平面PBC所成角的正切值.
详解:(1)证明:在三棱锥尸—ABC中,底面ABC,BCu平面ABC,
:.PA±BC,
又•.•ZAC3=90°,即BC_LAC,QPAIAC=A,二台。,平面PAC,
•••BCu平面PBC,因此,平面平面PBC.
(2)解:在平面PAC内,过点A作ADLPC,连接DM,
:5C_L平面PAC,ADu平面PAC,:.AD±BC,
•.•AD±PC,BCnPC=C,AD_L平面PBC,
ZAMD是直线AM与平面PBC所成的角.
平面ABC,ACu平面ABC,:.PA±AC,
在Rt^PAC中,,PA=AC=1,:.PC=NPA2+AC2=0,
■■AD±PC,二。为PC的中点,且AD=」PC=1,
22
又是PB的中点,在APBC中,MD=^-BC=1,
2
•.•AZ),平面PBC,
也
在小△")网中,’ADVV2.
tanZAMD=-----==——
MD12
【点睛】
本题考查面面垂直的证明,同时也考查了线面角的正切值的计算,考查推理能力与计
算能力,属于中等题.
【解析】
11.【答案】(I)。为AC的中点,A为AC的中点;(II)2.
【解析】(I)如图,连接A5交A用于点。,连接.
由棱柱的性质,知四边形AABg为平行四边形,.•.点。为[5的中点.
•;平面BCXD//平面AB}D},且平面AiBC^c平面BCXD=BCX,平面AXBCXc平面
42_4。AjD,_DC
ABR=DO,,BC[//D0,同理AQ//D£,
XDg~OB,D©—AD
又••,也=1,,凶=生=1,即。为AC的中点,。为AG的中点.
OBQGAD
注:以“。为AC的中点,A为AG的中点”为条件,证明“平面3G。//平面A42
也算对,酌情给分.
(II)「V三棱ttABC-AB1G=gx2xgx6=3,
七棱ttA-444=V三棱锥G-BCD=gx;xlx6x6=;,
■'■匕何体ABB]C[D,0=3—2X]=2.
12.【答案】(1)证明见解析;(2)岳.
【解析】分析:(1)取A3中点。连接ARC。,A3,即可得到Afi,面从而
得证;
(2)连接BCBR,由面面垂直的
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