人教A版普通高中数学一轮复习第八章第八节第3课时圆锥曲线中的范围、最值问题学案

第3课时圆锥曲线中的范围、最值问题范围问题【例1】(2024·南京模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为12，以坐标原点O为圆心，|OF(1)求C的方程；(2)设点P(4，0)，A，B是椭圆上关于x轴对称的两点，PB交C于另一点E，求△AEF的内切圆半径的范围．解：(1)已知椭圆C的离心率为12所以e＝ca＝12又以坐标原点O为圆心，|OF|为半径作圆使之与直线x－y＋2＝0相切，所以c＝|OF|＝212+又a2＝b2＋c2③，联立①②③，解得a＝2，b＝3，所以椭圆C的方程为x24＋(2)因为AE不与x轴重合，不妨设AE的方程为x＝my＋t(m≠0)．设点A(x1，y1)(y1≠0)，E(x2，y2)，可得B(x1，－y1)，联立x=my+t，x2(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0，此时Δ＝48(3m2－t2＋4)＞0，由根与系数的关系，得y1＋y2＝−6mt3m2+4，y1y因为点P，B，E三点共线且斜率一定存在，所以y2+y则x1y2＋x2y1＝4(y1＋y2)．将x1＝my1＋t，x2＝my2＋t代入，整理得y1+y2y1y解得t＝1，满足Δ＝48(3m2＋3)＞0，所以直线AE过定点Q(1，0)，且Q为椭圆右焦点．设所求内切圆半径为r，因为S△AEF＝12×4a·r＝4r所以r＝S△AEF4＝1＝y1+y令λ＝m2+1，λ＞1，此时m2＝λ所以r＝3λ3λ2因为λ＞1，所以0＜r＜34故△AEF的内切圆半径的范围为0，圆锥曲线中的取值范围问题的解题策略(1)利用圆锥曲线的几何性质或联立方程后的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．(2024·琼海模拟)已知直线l：y＝kx＋t与双曲线C：x24－y25＝1相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线分别与x，y轴相交于(1)若t＝1，且点M，N都在双曲线的右支上，求k的取值范围；(2)若△AOB(O为坐标原点)的面积为812，且k≠0，求k解：(1)当t＝1时，直线方程为y＝kx＋1，代入x24－y25＝1，整理得(5－4k2)x2－8kx由题意可知Δ＞0，即64k2＋96(5－4k2)＞0，得－62＜k＜6因为点M，N都在右支上，则有8k5−4k2＞0，−245−4k2＞0，所以k的取值范围是−6(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，把y＝kx＋t代入x24－整理得(5－4k2)x2－8ktx－4t2－20＝0k≠±由Δ＞0，得64k2t2＋4(5－4k2)(4t2＋20)＞0，即t2＋5－4k2＞0①，x1＋x2＝8kt5−4k2，x1x2设线段MN的中点为P(x0，y0)，则x0＝x1+x22＝4kt5−4k2，y0所以线段MN的垂直平分线的方程为y－5t5−4k2所以A点的坐标为9kt5−4B点的坐标为0，因为△AOB的面积为812所以12·9kt5−4k2·9t所以①等价为5−4k22k＋5－4所以(4k2－5)(4k2－|k|－5)＞0，解得0＜|k|＜52或|k|＞5即k的取值范围是0，52∪54，最值问题考向1利用几何性质求最值【例2】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，A(－4，1)，B(－4，4)，若点P是满足λ＝12的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物线C：y2＝16x上的动点，Q在直线x＝－4上的射影为R，则|PB|＋2|PQ|＋2|QRA．45 B．85C．652 D．2D解析：设P(x，y)，则PAPB＝x+42+y−12x+42+y−42所以点P的轨迹为以(－4，0)为圆心，2为半径的圆．如图，抛物线C：y2＝16x的焦点为F(4，0)，准线方程为x＝－4，则|PB|＋2|PQ|＋2|QR|＝2|PA|＋2|PQ|＋2|QF|＝2(|PA|＋|PQ|＋|QF|)≥2|AF|＝265，当且仅当A，P，Q，F(P，Q两点在A，F两点中间)四点共线时取等号，所以|PB|＋2|PQ|＋2|QR|的最小值为265.关于利用几何性质求最值(1)关注圆锥曲线的定义在求最值中的应用，结合图象，将要求的最值转化为点点、点线等的距离求最值．(2)关注直线与圆锥曲线的位置关系、特殊直线的性质等，利用上述的几何性质进行最值转化．考向2利用函数、导数法求最值【例3】(2024·济南模拟)如图，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率(1)求椭圆C的方程；(2)若经过定点(0，－1)的直线l与椭圆C交于P，Q两点，记椭圆的上顶点为M，当直线l的斜率变化时，求△MPQ面积的最大值．解：(1)椭圆C的离心率e＝22则22＝ca＝1−b2a故a＝2b＝2c，椭圆方程为x22b将点(4，1)代入方程得b2＝9，故所求方程为x218＋(2)点(0，－1)在椭圆C内，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx－1.由x218+y29=1，y=kx−1设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k2k2+1，x1x2＝−16|PQ|＝k＝4k又点M(0，3)到l的距离d＝4k所以S△MPQ＝12|PQ|·d＝8令t＝2k2＋1(t≥1)，则k2＝t−12则S△MPQ＝89t−12+4因为0＜1t≤1，所以当1t＝1(k＝0)时，S△MPQ＝16是所求最大值，即△关于利用函数、导数法求最值(1)建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解题．(2)解题时注意对函数式的变形构造、换元等，多用二次函数配方求最值，有时也会涉及对函数求导，利用导数求最值．考向3利用基本不等式求最值【例4】如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，过左焦点F(－1，0)的直线与椭圆交于C，D两点(其中C点位于x轴上方)，当(1)求椭圆的方程；(2)记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，求k1＋1k解：(1)因为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1，0)，所以将x＝－1代入x2a2＋y2b2＝1，得y解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为x24＋(2)因为直线CD过点F(－1，0)，且点C位于x轴上方，所以直线CD的斜率不为0.设直线CD的方程为x＝my－1，联立x24+y23=1，x=my−1Δ＝36m2＋36(3m2＋4)＝144m2＋144＞0.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由已知y1＞0，于是y1＋y2＝6m3m2+4，y1y2所以my1y2＝－32(y1＋y2)，y2＜又椭圆x24＋y23＝1的左顶点所以k1＝y1x1+2，k因为y1＞0，y2＜0，－2＜x1＜2，－2＜x2＜2，所以k1＞0，k2＞0.因为k2k1＝y2＝my1＝−32y1−12y所以k1＋1k2＝3k2＋1k2当且仅当3k2＝1k2，即k2＝故当k2＝33时，k1＋1k2关于利用基本不等式求最值建立求解目标关于某个变量的函数，通过换元等方法，构造和或积的定值，从而利用基本不等式及其变形求最值．要注意等号成立的条件，如果取不到等号，可以转化为函数方法求最值．(2024·临沂模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为63，直线x＝(1)求C的方程；(2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且AF2＝λBF1，求四边形ABF1F2面积的最大值．解：(1)因为e＝ca＝63，所以c2a2＝23，所以c又b2＝a2－c2＝a2－23a2＝13a所以椭圆的标准方程为x2＋3y2＝a2.由x2+3y2=a由题可知2a2−23＝23所以椭圆C的方程为x23＋y(2)由AF2＝λBF1，得AF2∥BF1.如图，延长BF1，AF2交椭圆于E，D两点，连接ED，AE，BD，根据椭圆的对称性可知，四边形ABED为平行四边形，且四边形ABF1F2的面积为平行四边形ABED的面积的一半．由题知，直线BF1的斜率不为0，故设直线BF1的方程为x＝my－2，联立x得(m2＋3)y2－22my－1＝0，Δ＝(22m)2＋4(m2＋3)＝12m2＋12＞0.设B(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1＋y2＝22mm2+3，y1故|BE|＝1+m2·|y1－y2|＝又O到BF1的距离d＝21+所以S四边形ABF_1F_2)＝12S四边形ABED＝12×4S＝2×12×|BE|·d＝|BE|·＝2＝26·m＝26·1m2+1+2m当且仅当m2+1＝2m2+1所以当m＝±1时，四边形ABF1F2的面积最大，最大值为3.[试题呈现]如图，在平面直角坐标系中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆C：x24＋y2＝1，A为椭圆C的右顶点，过原点且异于x轴的直线与椭圆C交于M，N两点，M在x轴的上方，直线AM与圆O的另一交点为P，直线AN与圆O的另一交点为(1)若AP＝3AM，求直线AM的斜率；(2)设△AMN与△APQ的面积分别为S1，S2，求S1[四字程序]读已知圆的方程和椭圆的方程，直线与圆、椭圆都相交，求直线AM的斜率，求△AMN与△APQ的面积之比想1.用A，P，M的坐标表示．2．利用公式S＝12ab·sinC算S1S2思把面积之比的最大值转化为一个变量的不等式[一题多解]思路参考：设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k＜0，利用yP＝3yM求解．解：(1)设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k＜0，将y＝k(x－2)代入椭圆方程x24＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，则xA＋xM＝求得点M的横坐标为xM＝8k纵坐标为yM＝−4k4将y＝k(x－2)代入圆的方程x2＋y2＝4，得(1＋k2)x2－4k2x＋4k2－4＝0，则xA＋xP＝4k求得点P的横坐标为xP＝2k纵坐标为yP＝−4kk由AP＝3AM，得yP＝3yM，即−4kk2+1又k＜0，解得k＝－2.(2)由M，N关于原点对称，得点N的坐标为−8k所以直线AN的斜率为kAN＝4k4k2因为AMAP＝yMy同理可得ANAQ＝−14k所以S1S＝k＝16＝1＝1≤141+9当且仅当16k2＝1k2，即k＝－所以S1S2思路参考：设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k＜0，由AP＝3AM转化为xP－xA＝3(xM－xA)求解．解：(1)设直线AM的方程为y＝k(x－2)，k＜0，代入椭圆方程，整理得(4k2＋1)x2－16k2x＋4(4k2－1)＝0.由根与系数的关系得xAxM＝44k2−14k2+1，而将y＝k(x－2)代入圆的方程，整理得(k2＋1)x2－4k2x＋4(k2－1)＝0.由根与系数的关系得xAxP＝4k2−1k2+1，而xA由AP＝3AM，得xP－xA＝3(xM－xA)，即2k2−1k2+1又k＜0，所以k＝－2.(2)因为MN过原点，直线AM，AN的斜率均存在，所以kAMkAN＝－14，即k·kAN＝－14，所以kAN＝－下同解法1(略)．思路参考：设直线AM的方程为x＝my＋2，利用yP＝3yM求解．解：(1)由题知直线AM的斜率不为0，设直线AM的方程为x＝my＋2，将其代入椭圆方程，整理得(m2＋4)y2＋4my＝0，得点M的纵坐标为yM＝−4mm将x＝my＋2代入圆的方程，整理得(m2＋1)y2＋4my＝0，得点P的纵坐标为yP＝−4mm由AP＝3AM，得yP＝3yM，即−4mm2+1因为m≠0，解得m2＝12，即m＝±1又直线AM的斜率k＝1m＜0，所以k＝－2(2)因为MN过原点，直线AM，AN的斜率均存在，所以kAMkAN＝－14，由(1)知kAM＝1m，所以有1mkAN＝－14，则k又yM＝−4mm2+4，yP所以AMAP＝yMy同理ANAQ＝−m4所以S1S2＝AM下同解法1(略)．课时质量评价(五十五)1．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，(1)求双曲线C的标准方程；(2)已知B(0，3)，直线l：y＝kx＋m(km≠0)与双曲线C相交于不同的两点M，N，若|BM|＝|BN|，求实数m的取值范围．解：(1)因为a＝1，ca所以c＝2，b2＝3，所以双曲线C的标准方程为x2－y2(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点Q(x0，y0)，联立y=kx+m得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，依题意3−即3−k由根与系数的关系可得x1＋x2＝2km3−k2，x1x2则x0＝x1+x22＝km3−k2，y0因为|BM|＝|BN|，所以BQ⊥MN，所以kBQ＝y0−3x0所以3－k2＝433mk2＝3－433m＞0由①②③得m＜－433或0＜m＜2．(2024·济宁模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M(4，m)在抛物线E上，且△OMF的面积为12p2(O(1)求抛物线E的方程；(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A，B两点，过A，B分别作垂直于l的直线AC，BD，分别交抛物线于C，D两点，求|AC|＋|BD|的最小值．解：(1)由题意可得m解得p＝2.故抛物线E的方程为y2＝4x.(2)由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1，0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，易知x1＝ty1＋1＞0，x2＝ty2＋1＞0，联立x=ty+1消去x，得y2－4ty－4＝0，则Δ＝16t2＋16＞0，所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.由AC垂直于l，得直线AC的方程为y－y1＝－t(x－x1)，联立y−消去x，得ty2＋4y－4tx1－4y1＝0，则Δ＝16＋4t(4tx1＋4y1)＞0，所以y1＋y3＝－4t，y1y3＝−4t所以|AC|＝1+1t2|y1－＝1+＝1+＝1+＝2t2+1t2＝2t2+1t2同理可得|BD|＝2t2+1t2所以|AC|＋|BD|＝2t2+1t2·[t(y＝8t2+1t2(令f(x)＝x+13x2，x＞0，则f′(x)＝x+12所以当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即当t＝±2时，|AC|＋|BD|取得最小值为123.3．(2024·淄博模拟)已知F(3，0)是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝－12(O为坐标原点)，求直线l解：(1)由题意知，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为3+32即2a＝4，所以a＝2.又因为c＝3，可得b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y(2)当直线l的斜率不存在或斜率为0时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意．故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y=kx+m可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，则x1＋