人教A版高中数学（必修第二册）同步讲义第02讲 6.2.1向量的加法运算（教师版）

第02讲6.2.1向量的加法运算课程标准学习目标①理解并掌握向量加法的概念。②掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算。③了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性。1通过阅读课本在数量加法的基础上，理解向量加法与数量加法的异同；2.熟练运用掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则在题目中灵活的作两个向量的加法运算；3.在认真学习的基础上，深刻掌握两个或者多个相连接加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性，把运算律的应用范围进行拓广；知识点01：向量的加法（1）向量加法的定义求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定.（2）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连）已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.（3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线）已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.【即学即练1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．

【答案】详见解析【详解】解法一：（三角形法则），如下图所示，作，，则，再作，则，即.

解法二：（平行四边形法则）因为向量，，不共线，如下图所示，在平面内任取一点O，作，，以，为邻边作平行四边形，则对角线，再作，以，为邻边作平行四边形，则.

（4）多个向量相加已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则。如图.知识点02：向量加法的运算律（1）交换律（2）结合律题型01求向量的和【典例1】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的三角形法则作出向量．(1)

(2)

(3)

【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【详解】（1）解：作，，，则即为所求作的向量.

（2）解：作，，，则即为所求作的向量.

（3）解：作，，，则即为所求作的向量.

【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，正六边形中，.【答案】【详解】将平移到，平移到，故.故答案为:.【典例3】（2023下·山东济宁·高一嘉祥县第一中学校考阶段练习）如图，按下列要求作答．(1)以A为始点，作出；(2)以B为始点，作出；(3)若图表中小正方形边长为1，求、．【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)，【详解】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示：（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再平移向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示：（3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知，；

由共线向量的加法运算可知.【变式1】（2023·全国·高一随堂练习）填空：（1）；【答案】【详解】（1）；故答案为：（1）；【变式2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量、，用向量加法的平行四边形法则作出向量．(1)

(2)

【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）解：作，，以、为邻边作，，则即为所求作的向量.

（2）解：作，，以、为邻边作，，则即为所求作的向量.

【变式3】（2022·高一课前预习）如图，已知，求作.(1)(2)【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）在平面内任取一点，如图所示作则.（2）在平面内任取一点，如图所示作则.题型02向量的加法运算【典例1】（2022下·高一课时练习）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则等于（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】.故选：B【典例2】（2022·高一课时练习）已知下列各式：①；②；③；④.其中结果为的是.(填序号)【答案】①④/④①【详解】①;②;③;④.故答案为：①④.【变式1】（2022下·浙江·高一阶段练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则（

）A． B．0 C． D．【答案】A【详解】连接OB.由正六边形的性质，可知与都是等边三角形，∴四边形OABC是平行四边形，，，故选:A.【变式2】（2022下·陕西宝鸡·高一统考期中）向量化简后等于（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由,故选：A题型03向量加法的运用【典例1】（2023下·安徽淮北·高一淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，，且，则．

【答案】【详解】因为，所以由向量的加法的几何意义可知四边形ABCD是平行四边形，又因为，所以四边形ABCD是菱形，且，所以．故答案为：【典例2】（2023下·河南郑州·高一校考阶段练习）若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，当，同向时，；当，反向时，；当，不共线时，；故选：C.【变式1】（2023·高一单元测试）如图，在中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，，连接CD，那么；.【答案】【详解】因为，所以四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知：；.故答案为：；.【变式2】（2022下·广东湛江·高一校考阶段练习）已知菱形的边长为2，(1)化简向量；(2)求向量的模.【答案】(1)(2)2【详解】（1）（2）由向量的平行四边形法则与三角形法则，A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023下·天津红桥·高一统考期末）化简：（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】.故选：C.2．（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）如图，在正六边形ABCDEF中，（

）

A． B． C． D．【答案】A【详解】由向量的加法法则，得.故选：A.3．（2023下·云南迪庆·高一统考期末）四边形是梯形，，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】,故选：B4．（2013下·山西晋中·高一统考期中）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（

）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】A【详解】由平面向量加法的平行四边形法则可知，四边形为平行四边形.故选：A5．（2022下·云南·高一统考期末）如图，一个人骑自行车由A地出发到达B地，然后由B地出发到达C地，则这个人由A地到C地位移的结果为（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意,故这个人由A地到C地位移的结果为，故选：C6．（2023下·广西·高一统考期末）在矩形中，，，则等于（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【分析】在矩形中，由，可得，又因为，故，故．故选：A.7．（2023·高一课时练习）、为非零向量，且，则（

）A．与方向相同 B． C． D．与方向相反【答案】A【详解】由向量模长的三角不等式可得，当且仅当、的方向相同时，等号成立，因为，所以与方向相同，故选：A．8．（2023下·甘肃天水·高一天水市第二中学校考阶段练习）在矩形中，设，，则的模为（

）A． B． C．12 D．6【答案】A【详解】已知在矩形中，，，因为，根据勾股定理．，所以的模为.故选：A.二、多选题9．（2022下·高一单元测试）下列结论中正确的是（

）A．B．对任一向量，C．对于任意向量，D．对于任意向量，【答案】BC【详解】对A，，故A不正确；对B，根据零向量的方向是不确定的，则其和任何向量共线B正确；对C，根据向量加法交换律，C正确；对D，时，，D不正确.故选：BC.10．（2022·高一课时练习）（多选）已知向量，那么下列命题中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】解：由向量的加法法则可得：，故正确，错误；当点在线段上时，，否则,故错误，D正确．故选：AD.三、填空题11．（2023下·上海浦东新·高一校考阶段练习）化简.【答案】【详解】.故答案为：12．（2023下·高一单元测试）若有以下命题：①两个相等向量的模相等；

②若和都是单位向量，则；③相等的两个向量一定是共线向量；

④，，则；⑤零向量是唯一没有方向的向量；

⑥两个非零向量的和可以是零．其中正确的命题序号是．【答案】①③【详解】①长度相等，方向相同的向量为相等向量，故①正确；②单位向量为长度为1的向量，方向不确定，故②错误；③相等向量的方向相同，所以一定是共线向量，故③正确；④若，则和不一定平行，故④错误；⑤零向量的长度为0，方向为任意方向，即零向量有方向，故⑤错误；⑥向量的和仍然是向量，不会是一个数，故⑥错误.故答案为：①③.13．（2021下·高一课时练习）已知，，，则等于．【答案】【详解】如图，由，∴四边形OACB为菱形．连接OC、AB，则，设垂足为D．∵，，∴在中，．∴故答案为：14．（2017上·山东济南·高三济南外国语学校阶段练习）如图，在菱形ABCD中，，，则．【答案】【详解】如图所示，设菱形对角线交点为O,．因为，所以，所以为等边三角形．又，，所以．在中，，所以．故答案为:四、解答题15．（2023·全国·高一课堂例题）如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.

【答案】分析答案见解析，OA受力最大【详解】设OA，OB，OC三根绳子所受的力分别为，，，则.因为，的合力为，所以.如图在平行四边形中，

因为，，所以，，即，.故细绳OA受力最大.16．（2022·高一课前预习）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)；(2).【答案】(1)；(2).【详解】（1）；（2）.B能力提升1．（2022下·高一课前预习）如图，为边长为1的正六边形，O为其几何中心.(1)化简；(2)化简；(3)化简；(4)求向量的模.【答案】(1)(2)(3)(4)2【详解】（1）解：根据向量的平行四边形法则得；（2）解：根据题意，，所以；（3）解：因为，所以；（4）解：因为，所以，所以2．（