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文档简介
第12讲5.7三角函数的应用课程标准学习目标①掌握三角函数的图象与解析式之间的对应问题的处理方法。②能结合实际生产与生活中与三角函数之间的密切关系,用三角函数这一数学模式解决与之相关的问题。③能处理三角函数相关学科之间的问题,用三角函数这一重要工具解决与数学、物理学及其它学科与之相关联的问题。④掌握数学建模的重要方法与步骤,并能严谨的应用数学知识解决问题。掌握常见的三角函数应用问题的处理方法,了解并掌握数学建模的方法与步骤,能处理与三角函数相结合的数学问题、物理问题及与之相关的其它学科与生产、生活有密切联系的问题知识点一:函数SKIPIF1<0(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)中,各参数的物理意义振幅SKIPIF1<0它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离
周期SKIPIF1<0它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间
频率SKIPIF1<0它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数相位SKIPIF1<0SKIPIF1<0时的相位SKIPIF1<0称为初相
知识点二:应用三角函数模型解决问题的一般程序应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.(2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型.(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论.(4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答.题型01三角函数模型在物理学中的应用【典例1】(2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习)阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置,被称为“定楼神器”,如图1.由物理学知识可知,某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动,其离开平衡位置的位移SKIPIF1<0和时间SKIPIF1<0的函数关系为SKIPIF1<0,如图2,若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为(
)
A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.1s D.SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s.故选:C.【典例2】(2023秋·高一单元测试)如图是一个半径为SKIPIF1<0的水车,一个水斗从点SKIPIF1<0出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时SKIPIF1<0秒,经过SKIPIF1<0秒后,水斗旋转到点SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0,其纵坐标满足SKIPIF1<0,则下列叙述错误的是(
)
A.SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0B.当SKIPIF1<0时,点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴距离的最大值是SKIPIF1<0C.当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0单调递减D.当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0【答案】C【详解】A选项:有题意SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因从点SKIPIF1<0出发,所以SKIPIF1<0,代入得SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,因SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故A正确,选项B:由A得,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴距离的最大值是SKIPIF1<0,B正确;选项C:因SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0不是单调递减的,C错误;选项D:当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故D正确,故选:C【典例3】(2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测)如图,一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线,一端固定,另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度(最大偏角)后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动,沙漏摆动时离开平衡位置的位移SKIPIF1<0(单位:SKIPIF1<0)与时间SKIPIF1<0(单位:SKIPIF1<0)满足函数关系SKIPIF1<0SKIPIF1<0,若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0,最小值为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的最小值为.
【答案】SKIPIF1<0【详解】由函数SKIPIF1<0的图象,可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又由SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,由区间SKIPIF1<0的区间长度为SKIPIF1<0,即区间长度为SKIPIF1<0个周期,当区间SKIPIF1<0在同一个单调区间时,不妨设SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0;当区间SKIPIF1<0在不同一个单调区间时,不妨设SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,此时函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上先增后减,此时SKIPIF1<0,不妨设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.综上可得,SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0.【典例4】(2023春·高一单元测试)已知质点从SKIPIF1<0开始,沿以原点为圆心,2为半径的圆作匀速圆周运动,质点运动的角速度为ω弧度/秒(SKIPIF1<0),经过x秒,质点运动到点P,设点P的纵坐标为y,令SKIPIF1<0,将SKIPIF1<0的图象向左平移2个单位长度后图象关于y轴对称.(1)求函数SKIPIF1<0的解析式;(2)求函数SKIPIF1<0的单调递减区间及SKIPIF1<0上的最值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0SKIPIF1<0;SKIPIF1<0.【详解】(1)设SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0知,SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.将SKIPIF1<0的图象向左平移2个单位长度后所得函数SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0的图象关于y轴对称,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.(2)由(1)得SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0.【变式1】(2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中)如图,一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线,一端固定,另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度(最大偏角)后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动.若线长为lcm,沙漏摆动时离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系是SKIPIF1<0,SKIPIF1<0取SKIPIF1<0,如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s,则线长约为(
)cm.(精确到0.1cm)A.12.7 B.25.3 C.101.3 D.50.7【答案】B【详解】因为线长为lcm,沙漏摆动时离开平衡位置的位移SKIPIF1<0(单位:cm)与时间SKIPIF1<0(单位:s)的函数关系是SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且取SKIPIF1<0,又因为沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,即线长约为SKIPIF1<0cm.故选:B.【变式2】(多选)(2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)单摆是一种简谐运动,摆球的运动情况可以用三角函数表达为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,其中x表示时间(s),y表示位移(cm),A表示振幅,SKIPIF1<0表示频率,φ表示初相位.如图甲某个小球做单摆运动,规定摆球向右偏移的位移为正,竖直方向为平衡位置.图乙表示该小球在SKIPIF1<0秒运动时的位移随时间变化情况.根据秒表记录有:当SKIPIF1<0时,小球第一次到平衡位置;当SKIPIF1<0时,小球的位移第一次到反向最大值.根据以上图文信息,下列选项中正确的是(
)
A.频率为SKIPIF1<0B.初相位SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C.振幅SKIPIF1<0D.当SKIPIF1<0时,小球第三次回到平衡位置【答案】ACD【详解】A选项,设最小正周期为SKIPIF1<0,据题意SKIPIF1<0,频率为SKIPIF1<0,故A正确;B选项,当SKIPIF1<0时,小球第一次到平衡位置,即SKIPIF1<0是正弦函数减区间上的零点,且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故B错误;C选项,根据图中的信息知SKIPIF1<0在图象上,所以SKIPIF1<0,故C正确;D选项,当SKIPIF1<0时,小球第一次到达平衡位置,当SKIPIF1<0时,小球第三次到达平衡位置,故D正确.故选:ACD.【变式3】(2023·重庆·统考模拟预测)已知某弹簧振子的位移SKIPIF1<0(单位:cm)与时间SKIPIF1<0(单位:s)满足SKIPIF1<0,初始时将弹簧振子下压至SKIPIF1<0后松开,经过测量发现弹簧振子每10s往复振动5次,则在第45s时,弹簧振子的位移是cm.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意,SKIPIF1<0且最小正周期SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,不妨令SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0【变式4】(2023·全国·高一假期作业)已知挂在弹簧下方的小球上下振动,小球在时间t(单位:s)时相对于平衡位置(即静止时的位置)的距离h(单位:cm)由函数解析式SKIPIF1<0决定,其部分图像如图所示(1)求小球在振动过程中的振幅、最小正周期和初相;(2)若SKIPIF1<0时,小球至少有101次速度为0cm/s,则SKIPIF1<0的最小值是多少?【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】(1)由图易知小球的振幅SKIPIF1<0,最小正周期SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,∴初相SKIPIF1<0(2)∵小球在振动过程中位于最高、最低位置时的速度为0cm/s,∴小球有100次速度为0cm/s等价于函数SKIPIF1<0有100次取得最值,∵函数SKIPIF1<0在一个周期内取得一次最大值、一次最小值,SKIPIF1<0,∴函数SKIPIF1<0经过50个周期时小球有100次速度为0cm/s,∴SKIPIF1<0时,小球有100次速度为0cm/s,又∵当SKIPIF1<0时,小球速度为0cm/s,∴SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0题型02三角函数模型在日常生活中的应用【典例1】(2023·海南·统考模拟预测)如图是清代的时钟,以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示,其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似.内部表盘为圆形,外部环形装饰部分宽度为SKIPIF1<0,此表挂在墙上,最高点距离地面的高度为SKIPIF1<0,最低点距离地面的高度为SKIPIF1<0,以子时为正向上方向,一官员去上早朝时,看到家中时钟的指针指向寅时(指针尖的轨迹为表盘边沿),若4个半时辰后回到家中,此时指针尖到地面的高度约为(
)SKIPIF1<0
A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【详解】解:如图所示:
由题意得:外圆的半径为SKIPIF1<0cm,内圆的半径为SKIPIF1<0cm,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,则此时指针尖到地面的高度约为:SKIPIF1<0cm,故选:C【典例2】(2023·全国·高一随堂练习)已知某海滨浴场的浪高SKIPIF1<0是时间SKIPIF1<0(时)(SKIPIF1<0)的函数,记作SKIPIF1<0.下表是某日各时刻的浪高数据.经长期观测,SKIPIF1<0可近似地看成是函数SKIPIF1<0.SKIPIF1<0/时03691215182124SKIPIF1<01.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根据以上数据,求出该函数的周期SKIPIF1<0、振幅SKIPIF1<0及函数解析式;(2)依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放,试依据(1)的结论,判断一天内8:00至20:00之间有多长时间可供冲浪者进行运动.【答案】(1)SKIPIF1<0;(2)6个小时.【详解】(1)解:由表中数据可知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的最大值为1.5,最小值为0.5,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0;(2)解:由(1)可知SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以一天内从上午9点天下午3点共有6个小时可以冲浪.【典例3】(2023·全国·高一课堂例题)海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐,一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某天几个时刻的水深.时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:02.56:005.015:007.524:005.0(1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,并给出在整点时的水深的近似数值;(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m,安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙(船底与海底的距离),该船何时能进入港口?(3)若船的吃水深度为4m,安全间隙为1.5m,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3m的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?【答案】(1)SKIPIF1<0,答案见解析(2)该船在0:24至5:36和12:24至17:36期间可以进港(3)6:42时,该船必须停止卸货,驶向较深的水域.【详解】(1)以时间为横坐标,以水深为纵坐标,在平面直角坐标系中作出对应的各点,根据图象可考虑用函数SKIPIF1<0近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,
则由已知数据结合图象可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.由表中数据可知在0:00,6:00,9:00,12:00,15:00,18:00,21:00,24:00等时刻的水深分别是5.0m,7.5m,5.0m,2.5m,5.0m,7.5m,5.0m,2.5m,5.0m;在整点时的水深近似为;1:00,5:00,13:00,17:00为6.3m;2:00,4:00,14:00,16:00为7.2m;7:00,11:00,19:00,23:00为3.7m;8:00,10:00,20:00,22:00为2.8m.(2)由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,画出SKIPIF1<0的图象(如图),
由图象可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故该船在0:24至5:36和12:24至17:36期间可以进港.(3)若SKIPIF1<0,x时刻的吃水深度为SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0.画出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图象(如上图),由图象可知当SKIPIF1<0时,即6:42时,该船必须停止卸货,驶向较深的水域.【变式1】(2023春·江西萍乡·高一统考期中)时钟花原产于南美洲热带,我国云南部分地区有引进栽培.时钟花的花开花谢非常有规律,其开花时间与气温密切相关,开花时所需气温约为20℃,气温上升到约30℃开始闭合,在花期内,时钟花每天开闭一次.某景区种有时钟花,该景区6时~16时的气温SKIPIF1<0(℃)随时间SKIPIF1<0(时)的变化趋势近似满足函数SKIPIF1<0,则在6时~16时中,赏花的最佳时段大致为(
)A.7.3时~11.3时 B.8.7时~11.3时C.7.3时~12.7时 D.8.7时~12.7时【答案】B【详解】当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0(时);由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0(时).故在6时SKIPIF1<0时中,观花的最佳时段约为SKIPIF1<0时SKIPIF1<0时.故选:B【变式2】(2023·全国·高一课堂例题)一半径为3m的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟逆时针转动4圈,且当水轮上点P从水中浮现时(图中点SKIPIF1<0)开始计算时间.
(1)将点P距离水面的高度z(单位:m)表示为时间t(单位:s)的函数;(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间?(参考数据:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,第二问精确到SKIPIF1<0)【答案】(1)SKIPIF1<0(2)5.5s【详解】(1)如图,建立平面直角坐标系,设角SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)是以SKIPIF1<0为始边,SKIPIF1<0为终边的角,由SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内所转过的角为SKIPIF1<0,可知以SKIPIF1<0为始边,SKIPIF1<0为终边的角为SKIPIF1<0,故P点纵坐标为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故所求函数关系式为SKIPIF1<0;
(2)令SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,取SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故点P第一次到达最高点大约需要5.5s.【变式3】(2023春·浙江温州·高一校联考期中)如图,某公园摩天轮的半径为SKIPIF1<0,圆心距地面的高度为SKIPIF1<0,摩天轮做匀速转动,每SKIPIF1<0转一圈,摩天轮上的点SKIPIF1<0的起始位置在最低点处.
(1)已知在时刻SKIPIF1<0(单位:SKIPIF1<0)时点P距离地面的高度SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0),求函数SKIPIF1<0解析式及SKIPIF1<0时点P距离地面的高度;(2)当点P距离地面SKIPIF1<0及以上时,可以看到公园的全貌,若游客可以在上面游玩SKIPIF1<0,则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌?【答案】(1)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0(2)3【详解】(1)由题意可知:SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,得到SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,又摩天轮上的点SKIPIF1<0的起始位置在最低点处,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0时点P距离地面的高度为85.(2)因为从最低处开始到达高度为SKIPIF1<0刚好能看着全貌,经过最高点再下降至SKIPIF1<0时又能看着全貌,每个游客可游玩三个周期,由(1)知SKIPIF1<0,得到SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,得到SKIPIF1<0,所以在每个周期内,SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以,游客在游玩过程中共有SKIPIF1<0可以看到公园的全貌.题型03三角函数模型在圆周运动问题中的应用【典例1】(多选)(2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考开学考试)如图(1),筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今在农业生产中仍得到使用.如图(2),一个筒车按照逆时针方向旋转,筒车上的某个盛水筒SKIPIF1<0到水面的距离为SKIPIF1<0(单位:m)(SKIPIF1<0在水下则SKIPIF1<0为负数)、SKIPIF1<0与时间SKIPIF1<0(单位:s)之间的关系是SKIPIF1<0,则下列说法正确的是(
)
A.筒车的半径为3m,旋转一周用时60sB.筒车的轴心SKIPIF1<0距离水面的高度为SKIPIF1<0C.盛水筒SKIPIF1<0出水后至少经过20s才可以达到最高点D.SKIPIF1<0时,盛水筒SKIPIF1<0处于向上运动状态【答案】AC【详解】对于A,SKIPIF1<0SKIPIF1<0的振幅为筒车的半径,SKIPIF1<0筒车的半径为SKIPIF1<0;SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0,SKIPIF1<0旋转一周用时SKIPIF1<0,A正确;对于B,SKIPIF1<0,筒车的半径SKIPIF1<0,SKIPIF1<0筒车的轴心SKIPIF1<0距离水面的高度为SKIPIF1<0,B错误;对于C,令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,即盛水筒SKIPIF1<0出水后至少经过SKIPIF1<0才可以达到最高点,C正确.对于D,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0单调递减,SKIPIF1<0盛水筒SKIPIF1<0处于处于向下运动的状态,D错误.故选:AC.【典例2】(多选)(2023秋·湖北武汉·高二统考开学考试)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑,如武汉东湖的“东湖之眼”摩天轮,如图所示,某摩天轮最高点离地面高度55米,转盘直径为50米,设置若干个座舱,游客从离地面最近的位置进舱,开启后按逆时针方向匀速旋转SKIPIF1<0分钟,当SKIPIF1<0时,游客随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法中,正确的为(
)
A.摩天轮离地面最近的距离为5米B.若旋转SKIPIF1<0分钟后,游客距离地面的高度为SKIPIF1<0米,则SKIPIF1<0C.存在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,使得游客在该时刻距离地面的高度均为20米D.若在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0时刻游客距离地面的高度相等,则SKIPIF1<0的最小值为20【答案】ABD【详解】对于A,由题意知,摩天轮离地面最近的距离为SKIPIF1<0米,故A正确;对于B,设SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,游客从离地面最近的位置进舱,当SKIPIF1<0时,游客随舱旋转至距离地面最远处.所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,又当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故B正确;对于C,因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,又高度相等,函数SKIPIF1<0的对称轴为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称,则SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0;令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,在SKIPIF1<0上单调递减,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0只有一个解,故C错误;对于D,SKIPIF1<0周期SKIPIF1<0,由余弦型函数的性质可知,令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,函数关于SKIPIF1<0对称,若在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0时刻游客距离地面的高度相等,则当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的最小值为10,SKIPIF1<0的最小值为20.故D正确.故选:ABD.【变式1】(多选)(2023秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考阶段练习)水车在古代是进行灌溉引水的工具,亦称“水转筒车”,是一种以水流作动力,取水灌田的工具.据史料记载,水车发明于隋而盛于唐,距今已有1000多年的历史,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为SKIPIF1<0的水车,一个水斗从点SKIPIF1<0出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时120秒.经过SKIPIF1<0秒后,水斗旋转到点SKIPIF1<0,设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0,其纵坐标满足SKIPIF1<0(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0),则下列叙述正确的是(
)
A.SKIPIF1<0B.当SKIPIF1<0时,函数SKIPIF1<0单调递增C.当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0D.当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0【答案】AD【详解】由题意,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,又点SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故A正确;因为SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以函数SKIPIF1<0先增后减,故B错误;当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故C错误;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的纵坐标为SKIPIF1<0,横坐标为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,故D正确;故选:AD【变式2】(多选)(2023秋·重庆·高三校联考阶段练习)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为120m,转盘直径为110m,设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要30min.游客甲坐上摩天轮的座舱,开始转动SKIPIF1<0后距离地面的高度为SKIPIF1<0.游客乙所在座舱与甲所在座舱间隔7个座舱.在运行一周的过程中,甲、乙俩人距离地面的高度差SKIPIF1<0.下述结论正确的是(
)
A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.在运行一周的过程中,SKIPIF1<0的时间超过10min D.SKIPIF1<0【答案】ACD【详解】
由题意可得SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的三角函数,如图所示,以摩天轮轴心为原点,以与地面平行的直线为横轴建立平面直角坐标系,设摩天轮距地面最近点为P,则当SKIPIF1<0时,游客甲位于SKIPIF1<0,以OP为终边的角为SKIPIF1<0,而转一圈需要大约30min,可知角速度大约为SKIPIF1<0,由题意可得:SKIPIF1<0,即A正确;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,即B错误;SKIPIF1<0,由正弦函数的性质可得:SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即高度超过90+2.5米时时间长20-10=10min,显然高度超过90米的时间长超过10min,故C正确;甲乙所在位置分别设为A、B两点,甲乙座舱差7个,则SKIPIF1<0,故t分钟后甲乙的高度分别为:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,其高度差为:SKIPIF1<0,即D正确.故选:ACD.题型04数据拟合三角函数模型问题【典例1】(2023春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:时刻SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0水深(米)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0经长期观测,这个港口的水深与时间的关系,可近似用函数SKIPIF1<0来描述.(1)根据以上数据,求出函数SKIPIF1<0的表达式;(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为SKIPIF1<0米,安全条例规定至少要有SKIPIF1<0米的安全间隙(船底与洋底的距离),该船在一天内SKIPIF1<0何时能进入港口?【答案】(1)SKIPIF1<0(2)该船可以在SKIPIF1<0或SKIPIF1<0进入港口【详解】(1)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(2)由题意知:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,SKIPIF1<0该船可以在SKIPIF1<0或SKIPIF1<0进入港口.【典例2】(2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中)在月亮和太阳的引力作用下,海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.一般早潮叫潮,晚潮叫汐.受潮汐影响,港口的水深也会相应发生变化.下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y(单位:米)与时间x(单位:时)的大致关系:假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示.(1)请运用函数模型SKIPIF1<0,根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式;(2)根据该港口的安全条例,要求船底与水底的距离必须不小于3.5米,否则该船必须立即离港.一艘船满载货物,吃水(即船底到水面的距离)6米,计划明天进港卸货.①求该船可以进港的时间段;②该船今天会到达港口附近,明天0点可以及时进港并立即开始卸货,已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少,卸完货后空船吃水3米.请设计一个卸货方案,在保证严格遵守该港口安全条例的前提下,使该船明天尽早完成卸货(不计停靠码头和驶离码头所需时间).【答案】(1)SKIPIF1<0;(2)①0点到4点以及12点到16点进入港口;②该船在0点进港开始卸货,5点暂时驶离港口,11点返回港口继续卸货,16点完成卸货任务.【详解】(1)观察图形知,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,显然函数SKIPIF1<0的图象过点SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0,所以函数表达式为SKIPIF1<0.(2)①依题意,SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,即有SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口.②由①的结论知,该船明日0点即可进港开始卸货,设自0点起卸货SKIPIF1<0小时后,该船符合安全条例的最小水深为SKIPIF1<0,如图,函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图像交于点SKIPIF1<0,即卸货5小时后,在5点该船必须暂时驶离港口,此时该船的吃水深度为4.5米,令SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,显然SKIPIF1<0,该船在11点可返回港口继续卸货,5小时后完成卸货,此时为16点,综上所述,方案如下:该船在0点进港开始卸货,5点暂时驶离港口,11点返回港口继续卸货,16点完成卸货任务.【变式1】(2023春·江西吉安·高一校联考期中)某港口水深SKIPIF1<0(米SKIPIF1<0是时间SKIPIF1<0(SKIPIF1<0,单位:小时)的函数,下表是水深数据:SKIPIF1<0(小时)03691215182124SKIPIF1<0(米SKIPIF1<010.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描成的曲线如图所示,经拟合,该曲线可近似地看成正弦函数SKIPIF1<0的图象.
(1)试根据数据表和曲线,求出SKIPIF1<0SKIPIF1<0的表达式;(2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间)【答案】(1)SKIPIF1<0(2)16小时.【详解】(1)根据数据,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0函数的表达式为SKIPIF1<0;(2)由题意,水深SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,1,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0;所以,该船在SKIPIF1<0至SKIPIF1<0或SKIPIF1<0至SKIPIF1<0能安全进港,若欲于当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过16小时.【变式2】(2023春·四川眉山·高一校考期中)海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮,一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表:时刻2:005:008:0011:0014:0017:0020:0023:00水深(米)7.55.02.55.07.55.02.55.0经长期观测,这个港口的水深与时间的关系,可近似用函数SKIPIF1<0来描述.(1)根据以上数据,求出函数SKIPIF1<0的表达式;(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4.25米,安全条例规定至少要有2米的安全间隙(船底与洋底的距离),该货船在一天内SKIPIF1<0什么时间段能安全进出港口?【答案】(1)SKIPIF1<0;(2)在0时至4时或12时至16时进出港.【详解】(1)由表格知,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,函数SKIPIF1<0的周期SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即有SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.(2)货船需要的安全水深为SKIPIF1<0米,则当SKIPIF1<0时就可以进港,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0,因此当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以货船应在0时至4时或12时至16时进出港.A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1.(2023春·湖南·高一校联考开学考试)福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸,全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制,是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图,是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数SKIPIF1<0,据此可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(
)A.5 B.6 C.8 D.10【答案】C【详解】从图象可以看出,函数SKIPIF1<0最小值为-2,即当SKIPIF1<0时,函数取得最小值,即SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,函数取得最大值,SKIPIF1<0,这段时间水深(单位:m)的最大值为8m.故选:C2.(2023·全国·高一专题练习)智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声,然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声(如图).已知噪声的声波曲线SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)的振幅为1,周期为SKIPIF1<0,初相为SKIPIF1<0,则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【详解】由噪声的声波曲线SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0)的振幅为1,周期为SKIPIF1<0,初相为SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以噪声的声波曲线的解析式为SKIPIF1<0,所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为SKIPIF1<0.故选D.3.(2023·全国·高一专题练习)如图所示的是一个单摆,以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=SKIPIF1<0sinSKIPIF1<0,则当t=0时,角θ的大小及单摆的频率是(
)A.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0 B.2,SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0,π D.2,π【答案】A【详解】当t=0时,θ=SKIPIF1<0sinSKIPIF1<0,由函数解析式易知单摆的周期为SKIPIF1<0=π,故单摆的频率为SKIPIF1<0.故选:A.4.(2023春·安徽六安·高一六安市裕安区新安中学校考阶段练习)在自然界中,存在着大量的周期函数,比如声波,若两个声波随时间的变化规律分别为:SKIPIF1<0,则这两个声波合成后即SKIPIF1<0的振幅为(
)A.SKIPIF1<0 B.8 C.4 D.SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0利用函数的性质可得函数的振幅为:SKIPIF1<0故选:SKIPIF1<05.(2023·全国·高一专题练习)据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈SKIPIF1<0的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可确定SKIPIF1<0的解析式为A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,所以半周期SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,故选A.6.(2023·全国·高三专题练习)如图,某港口某天从SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的水深SKIPIF1<0(单位:m)与时间SKIPIF1<0(单位:h)之间的关系可用函数SKIPIF1<0近似刻画,据此
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