等差数列的概念高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念(2)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.巩固等差数列的概念及其通项公式．2.探索发现等差数列的性质并能运用这些性质解决问题．3.能在具体的问题情景中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．活动方案例1某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围．活动一等差数列的实际应用【解析】

设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．由已知条件，得an＝an－1－d(n≥2)．由于d是与n无关的常数，所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列．因为购进设备的价值为220万元，所以a1＝220－d，于是an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd.解这个不等式组，得19<d≤20.9，所以d的取值范围为(19,20.9]．先把实际问题转化为数学问题，用所学的数学知识解决此数学问题，最后回归到实际问题中去，从而实际问题得到解决．某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【解析】

由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－

an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．例2已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，请说明理由．活动二等差数列的定义及通项公式的综合应用【解析】

(1)设数列{bn}的公差为d′.由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，于是b5－b1＝a2－a1＝8.因为b5－b1＝4d′，所以4d′＝8，所以d′＝2，所以bn＝2＋(n－1)×2＝2n，所以数列{bn}的通项公式是bn＝2n.(2)数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1,5,9,13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}，则cn＝4n－3.令4n－3＝29，解得n＝8，所以b29是数列{an}的第8项．已知等差数列{an}：3,7,11,15，….(1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？请说明理由；(2)若ap，aq(p，q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？请说明理由．【解析】

a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1)d＝4n－1.(1)令an＝4n－1＝135，解得n＝34，所以135是数列{an}中的第34项．令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5∈N*，所以4m＋19是数列{an}中的第m＋5项．(2)因为ap，aq是数列{an}中的项，所以ap＝4p－1，aq＝4q－1，所以2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1，其中2p＋3q－1∈N*，所以2ap＋3aq是数列{an}中的第2p＋3q－1项．探究1

在等差数列{an}中，公差为d，则am与an有何关系？活动三理解等差数列的基本性质【解析】

an＝am＋(n－m)d例3在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.【解析】

由题意，得a12＝a5＋(12－5)d，即31＝10＋7d，解得d＝3.又a5＝a1＋4d＝10，即a1＋12＝10，解得a1＝－2.探究2

在等差数列{an}中，若依次抽取数列中的偶数项，所构成的新数列有何特征？若从第1项起，相隔3项抽取数列中的项，所构成的新数列又有何特征？若构造新数列：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…，则所得数列又有何特征？【解析】

在等差数列{an}中，若依次抽取数列中的偶数项，所构成的数列还是等差数列，且其公差为原数列公差的2倍．若从第1项起相隔3项抽取数列中的项，所构成的数列仍为等差数列，且其公差为原数列公差的4倍．构造数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…，新数列仍成等差数列，其公差为原数列公差的4倍．例4已知数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t.求证：ap＋aq＝as＋at.【解析】

设数列{an}的公差为d，则ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，as＝a1＋(s－1)d，at＝a1＋(t－1)d，所以ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，as＋at＝2a1＋(s＋t－2)d.因为p＋q＝s＋t，所以ap＋aq＝as＋at.在等差数列{an}中，若a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8，a6＋a7的值．【解析】

a5＋a8＝a6＋a7＝18在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，且a2·a5＝52，求公差d的值．在等差数列{an}中，m，n，p，q∈N*.(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；(2)若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；(3)当公差不为0时，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q.检测反馈1.在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14的值为(

)A.32 B.33C.－33 D.2913524B2.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m等于(

)A.8 B.4C.6 D.1212345【解析】

因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.AA.a2＝7 B.数列{an}为递增数列C.an＝n2＋2