四川省广安市2024-2025学年高三数学上学期第一次月考试题理科含解析

Page202024级2024年秋季第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.［1，2]【答案】C【解析】【分析】依据交集运算律求解即可.

【详解】.故选:C.2.复数为虚数单位）的虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由虚数的定义求解．【详解】复数的虚部是－1．故选：B．【点睛】本题考查复数的概念，驾驭复数的概念是解题基础．3.在等差数列中，，直线过点，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项的性质求出公差，即可求出通项公式，表示出，即可求出结果.【详解】因为是等差数列，，令数列的公差为，所以，，则，所以，则直线的斜率为.故选：A4.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是A.随意一个有理数，它平方是有理数 B.随意一个无理数，它的平方不是有理数C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】B【解析】【详解】试题分析：由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是随意一个无理数，它的平方不是有理数．考点：命题的否定．5.苂光定量PCR是一种通过化学物质的苂光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA进行实时监测的方法.在PCR扩增的指数时期，苂光信号强度达到阀值时，DNA的数量与扩增次数满意，其中为DNA的初始数量，为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增6次后，数量变为原来的100倍，则扩增效率约为（）（参考数据：）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据题意，得出方程，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，可得，即，所以，可得，解得.故选：C.6.五名学生按随意次序站成一排，则和站两端的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先和排两端，再将其余三人全排列，共有种状况，将五名学生按随意次序站成一排，共有种状况，再利用古典概型公式求解即可.【详解】首先将和排两端，共有种状况，再将其余三人全排列，共有种状况，所以共有种状况.因为五名学生按随意次序站成一排，共有种状况，故和站两端的概率为.故选：B7.化简的结果是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正余弦的二倍角公式化简即可.【详解】原式化简为.故选：D.8.已知函数是定义在上的奇函数，且，，则（）A. B.0 C.3 D.6【答案】A【解析】【分析】由函数为奇函数可得，，再依据求出函数的周期，再依据函数的周期即可得解.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，，因为，所以，则，所以，所以是以为周期的一个周期函数，所以.故选：A．9.函数的图象可能是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用解除法，结合函数的奇偶性以及函数值的符号分析推断.【详解】因为定义域为，且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故B，D都不正确；对于C，时，，，所以，所以，故C不正确；对于选项A，符合函数图象关于原点对称，也符合时，，故A正确．故选：A.10.已知函数的图像关于点中心对称，则（）A.在区间上单调递增B.在区间有两个极值点C.直线是曲线的对称轴D.直线是曲线切线【答案】D【解析】【分析】依据给定条件，求出函数的解析式，再逐项分析推断作答.【详解】因为函数的图象关于点中心对称，即，则，而，有，则，对于A，当时，，而正弦函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，A不正确；对于B，当时，，而正弦函数在上只有1个极值点，因此函数在有唯一极值点，B错误；对于C，因为，因此直线不是函数图象的对称轴，C错误；对于D，直线过点，并且，即点在曲线上，由，求导得，明显，因此曲线在处的切线方程为，即，D正确.故选：D11.已知函数，函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出函数的图像，原问题转化为函数与共有6个交点，等价于与有三个交点，结合图像得出其范围.【详解】作出函数的图像如下：数，且函数有6个零点等价于有6个解，等价于或共有6个解等价于函数与共有6个交点，由图可得与有三个交点，所以与有三个交点则直线应位于之间，所以故选：B.【点睛】方法点睛：数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后数形结合求解.12.若直线与函数图象交于不同的两点，且点，若点满意，则A. B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】先推断是奇函数，再依据直线过原点，得到点A，B关于原点对称，将，转化为求解.【详解】∵，∴是奇函数，又直线过原点，∴点A，B关于原点对称，∵，∴，∴，∴，解得，∴，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.计算：______．【答案】【解析】【分析】依据指数幂和对数运算公式，化简求值.【详解】原式.故答案为：14.若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数_________．【答案】【解析】【分析】利用求得切点坐标，代入切线方程，从而求得.【详解】令，解得，所以切点为，将代入切线得.故答案为：15.由曲线围成的图形的面积为______.【答案】【解析】【分析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只须要求出第一象限的面积即可，结合圆的方程运算求解.【详解】将或代入方程，方程不发生变更，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可，当，时，曲线可化为：，表示的图形为以为圆心，半径为的一个半圆，则第一象限围成的面积为，故曲线围成的图形的面积为.故答案为：.16.已知和是函数的两个不相等的零点，则的范围是______．【答案】【解析】【分析】依据零点确定两个方程，用比值换元法转化为单变量，从而利用求导和二次求导即可.【详解】和是函数两个不相等的零点，不妨设，，两式相减得，令，，，令，所以，令

恒成立，在是单调递增，恒成立，在是单调递增，恒成立，，，故答案为：．【点睛】本题考察导数双变量和构造函数证明不等式的方法.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算过程．17.如图所示，角的终边与单位圆交于点，将绕原点按逆时针方向旋转后与圆交于点.（1）求；（2）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）依据三角函数的定义及诱导公式干脆得解；（2）由已知可得，再利用余弦定理可得，进而可得面积.【小问1详解】由题知，，所以；【小问2详解】由题知，，，，且，所以，而，则，故，由正弦定理可知，整理得，解得，故，或.18.“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参与志愿服务和体育熬炼等课后活动.某校为了解学生课后活动的状况，从全校学生中随机选取人，统计了他们一周参与课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，，，，，，用频率分布直方图表示如下，假设用频率估计概率，且每个学生参与课后活动的时间相互独立.（1）估计全校学生一周参与课后活动的时间位于区间的概率；（2）从全校学生中随机选取人，记表示这人一周参与课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）依据频率分布直方图计算对应频率即为所求概率；（2）用频率估计概率，可知，利用二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；依据二项分布数学期望公式可求得.【小问1详解】由频率分布直方图知：人中，一周参与课后活动的事务位于区间的频率为，用频率估计概率，全校学生一周参与课后活动的时间位于区间的概率为.【小问2详解】用频率估计概率，从全校学生中随机抽取人，则该人一周参与课后活动的事务在区间的概率，，则全部可能的取值为，；；；；的分布列为：数学期望.19.如图，四棱锥中，，，，，与交于点，过点作平行于平面平面.（1）若平面分别交，于点，，求的周长；（2）当时，求平面与平面夹角的正弦值.【答案】（1）4（2）.【解析】【分析】（1）依题意可得，再依据面面平行的性质得到，，，依据三角形相像的性质计算可得；（2）首先证明平面平面，取的中点，即可得到平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【小问1详解】由题意可知，四边形是直角梯形，∴与相像，又，∴，，因为过点作平行于平面的面分别交，于点，，即平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性质定理得，，，所以与相像，相像比为，即，因为的周长为6，所以的周长为.【小问2详解】∵平面平面，∴平面与平面的夹角与平面与平面的夹角相等，∵，，，∴，∴，又，，平面，∴平面，平面，∴平面平面，取的中点，因为为等边三角形，∴，平面平面，平面，∴平面，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，即，取，则，∵平面，∴是平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，则，所以，所以平面与平面夹角的正弦值为.20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）过点作直线l交C于P､Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，定点.【解析】【分析】（1）依据题意，列出方程组，即可求得a，c的值，依据a，b，c的关系，即可求得b的值，即可求得答案；（2）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，与椭圆联立，依据韦达定理，可得的表达式，代入所求，化简整理，即可得结果；当直线l与x轴重合时，可求得P，Q坐标，可得的表达式，经检验符合题意，综合即可得答案.【详解】（1）由题意得：，解得，又，所以椭圆C的方程为：.（2）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，，联立直线与曲线方程，整理得：，则，，假设存在定点，使得为定值，则=.当且仅当，即时，(为定值)，这时，当直线l与x轴重合时，此时，，，，，当时，(为定值)，满意题意.所以存在定点使得对于经过点的随意一条直线l均有(恒为定值).【点睛】解题的步骤为（1）设直线，（2）与曲线联立，得到关于x（y）的一元二次方程，（3）依据韦达定理，求得（）的表达式，（4）代入所求，化简整理，即可得答案，考查分析理解，计算求值的实力，属中档题.21.已知函数，.（1）求函数的微小值；（2）证明：当时，.【答案】（1）当时，无微小值；当时，取微小值为.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先依据题意得到，再利用导数分类探讨求解极限值即可.（2）首先将题意转化为证明，再分类探讨对，和的状况进行证明即可.【小问1详解】∵，，∴，所以，.当时，即时，，函数在上单调递增，无微小值；当时，即时，令，解得，函数在上单调递减；令，解得，函数在上单调递增.∴时，函数取得微小值.综上所述，当时，无微小值；当时，取微小值为.【小问2详解】令，.当时，要证，即证，即，即证，①当时，令，，所以在上单调递增，故，即.∴，令，，当，，在上单调递减；，，在上单调递增.故，即，当且仅当时取等号，又∵，∴，由上面可知：，所以当时，.②当时，即证.令，，可得在上单调递减，在上单调递增，，故.③当时，当时，，由②知，而，故，当时，，由（2）知，故；所以，当时，.综上①②③可知，当时，.选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．假如多做，则按所做的第一题计分．22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（1）求曲线的直角坐标方程；（2）已知点，直线的参数方程为(为参数，)，且直线与曲线交于A、两点，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据参数方程消参即可得出直角坐标方程；（2）转化直线的参数方程与曲线方程联立，结合韦达定理计算即可.【小问1详解】曲线的参数方程为为参数），则，即，两式相减，可得曲线的直角坐标方程：小问2详解】直线与曲线交于A