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文档简介
微专题寻找球心解决与球有关的问题球的切、接问题是历年高考的热点内容,经常以客观题出现.一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题,考查球的体积与表面积,其关键点是确定球心.类型一定义法【例1】已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为()A.3172 B.2C.132 D.3C解析:如图,过球心O作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点M,连接AM,OA.因为AB=3,AC=4,AB⊥AC,所以BC=5.又AM=12BC=52,OM=12所以球O的半径R=OA=522+【例2】(2024·宣城模拟)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=2,AB=22,AC=4,∠BAC=45°,则三棱锥P-ABC外接球的表面积是()A.14π B.16πC.18π D.20πD解析:如图,在△ABC中,∠BAC=45°,AB=22,AC=4,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos45°=8+16-2×22×4×22=8,则BC2+AB2=AC2,所以BC⊥由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB.因为PB⊂平面PAB,所以BC⊥PB,所以△PBC为直角三角形.又△PAC为直角三角形,所以PC是三棱锥P-ABC外接球的直径.设O是PC的中点,即为球心,又AC=4,PA=2,所以PC=AC2+PA2所以外接球的半径为5,所求外接球的表面积S=4π×(5)2=20π.1.到各个顶点距离相等的点为外接球的球心.2.方法:借助有特殊性底面的外接圆圆心,找其垂线,则球心一定在垂线上,再根据到其他顶点距离也是半径,列关系式求解.3.结论:(1)正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.(2)棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点.(3)正棱锥的外接球球心在高线上.类型二补形法【例3】在四面体ABCD中,AB⊥BC,AB⊥AD,向量BC与AD的夹角为2π3.若AB=6,BC=A.18π B.36πC.54π D.72πD解析:将四面体ABCD补成如图所示的直三棱柱ADE-BFC.因为向量BC与AD的夹角为2π3,所以∠EAD=2π3.在△ADE中,由余弦定理得DE2=AD2+AE2-2AD·AE·cos∠EAD=27,所以DE=33,△ADE外接圆的半径该四面体外接球的半径R=32+32=32,所以该四面体外接球的表面积为4π×(3【例4】棱长为a的正四面体的体积与其内切球体积之比为.63π显然正四面体内切球的球心O(也是外接球的球心)、△BCD的中心O1都在正方体的体对角线上.因为正四面体的棱长为a,所以|DO1|=33a,|O1A|=a2-33a2=63a,|AO|=64a,所以该正四面体内切球的半径|OO1|=1.补形法的解题策略:(1)侧面为直角三角形,或对棱均相等的模型和正四面体,可以还原到正方体或长方体中去求解.(2)将直三棱锥补成三棱柱求解.2.常用结论:(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,若球为正方体的外接球,则2R=3a;若球为正方体的内切球,则2R=a;若球与正方体的各棱相切,则2R=2a.(2)若长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=a2类型三截面法【例5】(2021·全国甲卷)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为()A.212 B.C.24 D.A解析:如图所示,因为AC⊥BC,所以AB为截面圆O1的直径,且AB=2.连接OO1,则OO1⊥平面ABC,OO1=OA2-AB2所以三棱锥O-ABC的体积V=13S△ABC·OO1=13×12×1×1×2【例6】为庆祝国庆,某中学将举行全校师生游园活动,其中有一个游戏项目是夹弹珠.如图,四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中,每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面,则这个容器的容积是()A.25+33πB.45+33C.2(5+33)πcm3D.85+33B解析:分别作出四个小球和容器的正视截面图和俯视截面图,如图所示.正视截面图中小球球心B,半球球心O与切点A构成直角三角形,则有OA2+AB2=OB2.俯视截面图中,四个小球球心的连线围成正方形,正方形的中心到小球球心的距离O1A1与正视截面图中的OA相等.设半球的半径为R,已知小球半径r=1cm,所以OA=2cm,AB=1cm,OB=3cm,R=OB+r=(3+1)cm.因此,半球面形状的容器的容积是V=12×43πR3=12×43π×(3+1)1.与球截面有关的解题策略(1)定球心:如果是内切球,球心到切点的
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