生物统计附试验设计第六章方差分析(2017)

1、第六章第六章 方差分析方差分析（anova） 前面所介绍的前面所介绍的t 检验法适用于样本均数检验法适用于样本均数与总体均数及两样本均数间的均数差异显与总体均数及两样本均数间的均数差异显著性检验著性检验。 但经常会遇到但经常会遇到比较多个处理优劣比较多个处理优劣的问题，的问题，即需进行多个平均数间的差异显著性检验。即需进行多个平均数间的差异显著性检验。这时，若仍采用这时，若仍采用t 检验法就不适宜了。这检验法就不适宜了。这是因为是因为: : 计算量大，检验过程烦琐；计算量大，检验过程烦琐； 无统一的试验误差，误差估计的精无统一的试验误差，误差估计的精确性、确性、检验的灵敏性降低；检验的灵敏性降

2、低； 推断的可靠性低，检验的推断的可靠性低，检验的型错误型错误率大。率大。 因此，多个均数的差异显著性检验不因此，多个均数的差异显著性检验不宜用宜用t检验，须采用本章所介绍的方差分检验，须采用本章所介绍的方差分析法。析法。 方差分析法是方差分析法是将将多多个处理的观测值作个处理的观测值作为一个整体看待，为一个整体看待，把观察值总变异的平方把观察值总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方和及自由度，进而获得不同变异来源平方和及自由度，进而获得不同变异来源的总体方差估计值；的总体方差估计值；通过计算这些估计值通过计算这些估计值的适当比值，就能检验各样

3、本所属总体均的适当比值，就能检验各样本所属总体均值是否相等。值是否相等。 方差分析实质上是关于观测值变异原方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。因的数量分析。几个常用术语几个常用术语 1、试验指标试验指标(experimental index) 为衡量试验结果的好坏或处理效应的为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低，在试验中具体测定的性状或观测的高低，在试验中具体测定的性状或观测的项目。项目。 如：身高、体重、发芽率、产量等如：身高、体重、发芽率、产量等2、试验因素、试验因素(experimental factor) 试验中所研究的影响试验指标的因素试验中所研究的影响试验指标的因素 单因

4、素试验单因素试验（当试验中考察的因素（当试验中考察的因素只有一个）只有一个） 两因素或多因素试验两因素或多因素试验 同时研究两个或两个以上的因素对试验同时研究两个或两个以上的因素对试验指标的影响。试验因素常用大写字母指标的影响。试验因素常用大写字母a、b、c、等表示。等表示。 3、因素水平因素水平(level of factor) 试验因素所处的某种试验因素所处的某种特定状态特定状态或或数量数量等级等级称为因素水平，简称水平。称为因素水平，简称水平。 因素水平用代表该因素的字母加足标因素水平用代表该因素的字母加足标1，2，来表示（如，来表示（如a1、a2等）。等）。 如：处理时间、剂量等如：处

5、理时间、剂量等4 4、试验处理、试验处理(treatment) 事先设计好的实施在试验单位上的具事先设计好的实施在试验单位上的具体项目叫试验处理，简称处理。体项目叫试验处理，简称处理。 进行进行单因素试验单因素试验时，试验因素的一个时，试验因素的一个水平水平就是一个处理。就是一个处理。 在在多因素试验多因素试验时，试验因素的一个时，试验因素的一个水水平组合平组合就是一个处理。就是一个处理。 5 5、试验单位、试验单位(experimental unit) 在试验中能接受不同试验处理的独立在试验中能接受不同试验处理的独立的试验载体的试验载体 6 6、重复、重复(repetition) 在试验中，

6、将一个处理实施在两个或在试验中，将一个处理实施在两个或两个以上的试验单位上，称为两个以上的试验单位上，称为处理有重复处理有重复；一处理实施的试验单位数称为一处理实施的试验单位数称为处理的重复处理的重复数数。本章主要内容本章主要内容第一节第一节 方差分析的基本原理方差分析的基本原理第二节第二节 单因素试验资料的方差分析单因素试验资料的方差分析第三节第三节 两因素试验资料的方差分析两因素试验资料的方差分析第四节第四节 数据转换数据转换第一节第一节 方差分析的基本原理方差分析的基本原理一、线性模型与基本假定一、线性模型与基本假定二、平方和与自由度的剖分二、平方和与自由度的剖分三、三、 f分布与分布与

7、f检验检验四、多重比较四、多重比较五、方差分析的基本步骤五、方差分析的基本步骤 本节结合单因素试验的方差分析介绍本节结合单因素试验的方差分析介绍其原理与步骤。其原理与步骤。 一、线性模型与基本假定一、线性模型与基本假定 假设某单因素试验有假设某单因素试验有k个处理，每个个处理，每个处理有处理有n次重复，共有次重复，共有nk个观测值。这类个观测值。这类试验资料的数据模式如表试验资料的数据模式如表6-1所示。所示。第一节第一节 方差分析的基本原理方差分析的基本原理表表6-1 k个处理每个处理有个处理每个处理有n个观察值的个观察值的数据模式数据模式处理处理观观 察察 值值合计合计xi i. .平均平

8、均总体总体均数均数处理效处理效应应 ia1x11 1x12x1jx1nx1 .11 -a2x21x22x2jx2nx2 .22 -aixi1xi2xijxinxi .ii -akxk1xk2xkjxknxk .kk -合计合计x.ix.1x.2x.ix.kx.x 注意：注意：在本章我们采用了在本章我们采用了黑点符号体系黑点符号体系法法，黑点表示对该位置的脚标求和。，黑点表示对该位置的脚标求和。 表示第表示第i个处理个处理n个观测值的和；个观测值的和； 表示全部观测值的总和；表示全部观测值的总和； 表示第表示第i个处理的平均数；个处理的平均数； 表示全部观测值的总平均数；表示全部观测值的总平均数

9、； njijixx1.kiikinjijxxx111.nxnxxinjiji/ ./.1knxknxxkinjij/./.11ijiijxiiijiijx 在这个模型中在这个模型中xij表示为总平均数表示为总平均数、处理效、处理效应应i、试验误差、试验误差ij 之和。之和。单因素试验的数学模型可归纳为：单因素试验的数学模型可归纳为： 效效 应应 的的 可加性可加性（additivity）、分布）、分布的的正态性正态性（normality）、方差的）、方差的同质性同质性（homogeneity）。）。 这也是进行其它类型这也是进行其它类型方差分析的前提方差分析的前提或基本假定或基本假定。 若若

10、将将 表（表（6-1） 中中 的的 观观 测测 值值 xij（i=1,2,k；j=1,2,n）的数据结构用样）的数据结构用样本符号来表示，则本符号来表示，则ijiiijiijetxxxxxxx.)()(iij二、平方和与自由度的剖分二、平方和与自由度的剖分 在方差分析中是用在方差分析中是用样本方差样本方差s2即即均方均方ms(mean squares) 来度量资料的来度量资料的变异程度变异程度。总均方总均方(mst/s2t)处理间均方处理间均方(mst/s2t)处理内均方处理内均方(mse/s2e)总均方总均方(mst/s2t)处理间平方和处理间平方和+ +处理内平方和处理内平方和sst=ss

11、t+sse分子分子总平总平方和方和（sst）分母分母总自总自由度由度（dft）处理间自由度处理间自由度+ +处理内自由度处理内自由度dft=dft+dfe （一）总平方和的剖分（一）总平方和的剖分 在表在表6-16-1中，反映全部观察值总变中，反映全部观察值总变异的异的总平方和总平方和是各观察值与总平均数的是各观察值与总平均数的离均差平方和，记为离均差平方和，记为sst。即。即因为因为 kinjijtxxss112.)(kinjkinjiijiijxxxxxx111122.)(.).(.)(kinjiijiijiixxxxxxxx1122.)(.).)(.( 2.).(kinjiijnjiij

12、kikiiixxxxxxxxn1121112.)(.)(.).(2.).(kinjkikinjiijiijxxxxnxx111112.2.2.)()()(njiijxx1.0)( 为各处理平均数与总平为各处理平均数与总平均数的离均差平方和与重复数均数的离均差平方和与重复数n的乘积，反的乘积，反映了重复映了重复n次的处理间变异，称为处理间平次的处理间变异，称为处理间平方和，记为方和，记为sst，即，即kiixxn12.).(kiitxxnss12.).( 为为 各处各处 理内离均差平理内离均差平方和之和，反映了各处理内的变异即方和之和，反映了各处理内的变异即误误差差，称为处理内平方和或误差平方和

13、，称为处理内平方和或误差平方和，记为记为sse，即，即kinjiijxx112.)(kinjiijexxss112.)(三种平方和的简便计算公式如下：三种平方和的简便计算公式如下：其中，其中， 称为矫正数。称为矫正数。cxnsscxssikitijnjkit2.12111ttessssssknxc/2.（二）总自由度的剖分（二）总自由度的剖分ttettdfdfdfkdfkndf11 各部分平方和除以各自的自由度分别得到各部分平方和除以各自的自由度分别得到总总均方均方、处理间均方和处理内均方处理间均方和处理内均方, ,分别记为分别记为mst( (或或st2 ) )、 mst( (或或st2 )

14、)和和mse( (或或se2 ), ), 即即 mst= st2 =sst/dft mst= st2 =sst/dft mse= se2 =sse/dfe 注意：注意： 在方差分析中不涉及总均方的数值，所以一在方差分析中不涉及总均方的数值，所以一般不必计算般不必计算；总均方一般不等于处理间均方加处理内总均方一般不等于处理间均方加处理内均方（？）均方（？）。方差分析表方差分析表变异来源变异来源自由度自由度平方和平方和均方均方f处理间处理间k-1sstmst处理内处理内（误差）（误差）k(n-1)ssemse总变异总变异kn-1sstetmsms /【例例6.16.1】 某水产研究所为了比较四种某

15、水产研究所为了比较四种不同配合饲料对鱼的饲喂效果，选取了条不同配合饲料对鱼的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼件基本相同的鱼2020尾，随机分成四组，尾，随机分成四组， 投喂不同饲料投喂不同饲料 ，经一个月试验以后，各，经一个月试验以后，各组鱼的增重结果列于下表，问这四种不同组鱼的增重结果列于下表，问这四种不同配比的鱼饲料的饲喂效果有没有差别？。配比的鱼饲料的饲喂效果有没有差别？。表表6-2 饲喂不同饲料的鱼的增重饲喂不同饲料的鱼的增重 （单位：（单位：10g）饲料饲料鱼的增重（鱼的增重（xij）合计合计xi . 平均平均131.9 27.9 31.8 28.4 35.9155.931.1849

16、02.63 224.8 25.7 26.8 27.9 26.2131.426.283458.62 322.1 23.6 27.3 24.9 25.8123.724.743076.31 427.0 30.8 29.0 24.5 28.5139.827.963931.14 合计合计 x.=550.815368.7ix2ijx 这是一个这是一个单因素试验单因素试验，处理数，处理数k =4，重复数，重复数n=5。各项平方和和自由度计算如下：。各项平方和和自由度计算如下：矫正数矫正数 c=x2./kn=550.82/（45）=15169.03 总平方和总平方和处理间平方和处理间平方和 =1/5（155.

17、92+131.42+123.72+139.82）-c =15283.3-15169.03=114.27处理内平方和处理内平方和 ss e=sst -sst=85.4067.19903.151697 .153682cxssijtcxnssit2.1总自由度总自由度 dft =kn-1=54-1=19 处理间自由度处理间自由度 dft=k-1=4-1=3处理内自由度处理内自由度 dfe =dft- dft=19-3=16 因为方差分析中不涉及总均方的数值，因为方差分析中不涉及总均方的数值，所以不必计算之。所以不必计算之。34. 516/40.85/09.383/27.114/eeetttdfssm

18、sdfssms三、三、f 分布与分布与f 测验测验 ( (一一) ) f f 分布分布（ f-distribution） 设想作这样的抽样试验，即在一正态总体设想作这样的抽样试验，即在一正态总体n（0, 2）中随机抽取样本含量为中随机抽取样本含量为n的样本的样本k个，将各样本观个，将各样本观察值整理成表察值整理成表6-1的形式。的形式。 每一样本算出方差每一样本算出方差s2/ms，统计学上把任意两个方统计学上把任意两个方差之比值称为差之比值称为f 值。即值。即 f= ms1/ ms2 f具有两个自由度：具有两个自由度： df1 ，方差分析中即为，方差分析中即为dft=k-1 df2 ，方差分析

19、中即为，方差分析中即为dfe=k(n-1) 若在给定的若在给定的k和和n的条件下，继续从该总的条件下，继续从该总体进行一系列抽样，则可获得一系列的体进行一系列抽样，则可获得一系列的f值。值。 这些这些f值所具有的概率分布称为值所具有的概率分布称为f分布分布。 f分布密度曲线是随分布密度曲线是随自由度自由度df1 、df2的变化的变化而变化的一簇偏态曲而变化的一簇偏态曲线，其形态随着线，其形态随着df1 、df2的增大逐渐趋于对的增大逐渐趋于对称，如图称，如图6-1所示。所示。 f分布的取值范围分布的取值范围是是(0，+)，其平均值，其平均值 f =1。图6-1 几种自由度的f分布 附表附表3列

20、出的是不同列出的是不同df1和和df2下，下，p(ff)=0.05和和p(ff)=0.01时的时的f值，即值，即右尾概率右尾概率=0.05和和=0.01时的时的临界临界f值值，一，一般记作般记作 和和 。 其中其中df1=dft， df2=dfe。),(05. 021dfdff),(01. 021dfdff（二）（二）f 测验测验 用用f 值出现概率的大小推断两个方差值出现概率的大小推断两个方差是否相等的方法称为是否相等的方法称为f检验检验(f-test)。 在方差分析中所进行的在方差分析中所进行的f 检验目的检验目的在在于推断处理间的差异是否存在。于推断处理间的差异是否存在。 在计算在计算f

21、值时总是以被检验因素的均值时总是以被检验因素的均方作分子，以误差均方作分母方作分子，以误差均方作分母。 实际进行实际进行f 检验时，是将由试验资料所检验时，是将由试验资料所算得的算得的f值与根据值与根据df1=dft( (大均方大均方，即分子均，即分子均方的自由度方的自由度) )、df2=dfe( (小均方小均方，即分母均方，即分母均方的自由度的自由度) )查附表查附表4所得的临界所得的临界f值相比较，值相比较，作出统计推断。作出统计推断。 若若f ，即，即p0.05，不能否，不能否定定h0， 可认为可认为各处理间差异不显著各处理间差异不显著；若若 f ，即，即0.01p0.05，否定否定h0

22、，接受，接受ha，认为，认为各处理间各处理间差异显著差异显著，标记，标记“* *” ; ;若若f ，即，即p0.01，否定，否定h0，接受接受ha， 认为认为各处理间差异极显著各处理间差异极显著，标记，标记“* * *”。 不同鱼饲料增重试验的方差分析表不同鱼饲料增重试验的方差分析表变异来源变异来源dfssmsff0.05f0.01处理间处理间3114.2739.09 7.13*3.245.29处理内处理内1685.405.34总变异总变异19199.67四、多重比较四、多重比较 f值显著或极显著值显著或极显著，否定了无效假，否定了无效假ho，表明试验中各处理平均数间存在显著或极表明试验中各处

23、理平均数间存在显著或极显著差异。显著差异。 但并不意味着但并不意味着每两个处理平均数间的每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些没有显著差异。些没有显著差异。 因而，有必要进行两两处理平均数因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。间的差异显著性。 统计上把多个平均数两两间的相互统计上把多个平均数两两间的相互比较称为比较称为多重比较多重比较。 多重比较的方法甚多，常用的有多重比较的方法甚多，常用的有

24、最最小显著差数法小显著差数法( (lsd法法) )和最小显著极差和最小显著极差法法( (lsr法法) )。 一、一、最小显著差数法最小显著差数法( (lsd法）法） 此法的此法的基本原理基本原理是：在处理间是：在处理间f检验显检验显著的著的前提前提下下, , 先计算出显著水平为先计算出显著水平为的最小的最小显著差数显著差数lsd , ,然后将任意两个处理平均然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值数的差数的绝对值 与其比较，作与其比较，作出结论。出结论。 当当 lsd，即为在，即为在水平上差异显水平上差异显著；反之，即为在著；反之，即为在水平上差异不显著。水平上差异不显著。.jixx.jixx

25、显著水平取显著水平取0.05和和0.01时，从时，从t 值表查值表查出出 和和 代入上式得：代入上式得： .)(jiexxdfstlsdnmssexxji2.)(05. 0edft)(01. 0edft.)(01.001.0.)(05.005.0.jiejiexxdfxxdfstlsdstlsd最小显著差数由最小显著差数由下下式计算式计算利用利用lsd法进行多重比较时，步骤如下法进行多重比较时，步骤如下: : 列出平均数的多重比较表，比较表中列出平均数的多重比较表，比较表中各处理按其平均数各处理按其平均数从大到小自上而下排列从大到小自上而下排列； 计算最小显著差数计算最小显著差数lsd0.05

26、和和lsd0.01; ; 将平均数多重比较表中两两平均数的将平均数多重比较表中两两平均数的差数与计算出的差数与计算出的lsd0.05 、lsd0.01 比较，比较，作出统计推断作出统计推断 对于对于【例例6.16.1】，各处理的多重比较如下表，各处理的多重比较如下表 查查t值表得值表得 t0.05(dfe)=t0.05(16)=2.120, t0.01(dfe)=t 0.01(16)=2.921 所以显著水平为所以显著水平为0.05与与0.01的最小的显著的最小的显著差数为：差数为：462. 1534. 522.nmssexxji271. 4462. 1921. 2.099. 3462. 11

27、20. 2.)(01. 001. 0.)(05. 005. 0jiejiexxdfxxdfstlsdstlsd表表6-4 四种饲料对鱼平均增重的多重比较表四种饲料对鱼平均增重的多重比较表(lsd法）法） 将表将表6-46-4中的中的6 6个差数与个差数与lsd0.05 、lsd0.01比较：比较：小于小于lsd0.05者不显著；介于者不显著；介于lsd0.05与与lsd0.01之间者之间者显著，标记显著，标记“* *”；大于；大于lsd0.01者极显著，标记者极显著，标记“* * *”。结果表明：结果表明：. .处处 理理平均数平均数 -24.74 -26.28 -27.96a131.186.

28、44*4.90*3.22 *a427.963.22*1.68nsa226.281.54nsa324.74ixixixix 关于关于lsd 法的应用有以下几点说明：法的应用有以下几点说明： 1、 lsd 法实质上就是法实质上就是t检验法。检验法。但它克但它克服了一般服了一般t 检验法所具有的某些缺点检验法所具有的某些缺点（检验（检验法检验过程烦琐、无统一的试验误差、估计法检验过程烦琐、无统一的试验误差、估计误差的精确性和检验的灵敏性低）；并未解误差的精确性和检验的灵敏性低）；并未解决推断的可靠性降低、犯决推断的可靠性降低、犯i i型错误的概率变大型错误的概率变大的问题。的问题。 2、lsd法适用

29、于各处理组与对照组比较法适用于各处理组与对照组比较而处理组间不进行比较的比较形式而处理组间不进行比较的比较形式。 lsd 法的优点在于法的优点在于方法比较简便，方法比较简便，克服了一般克服了一般t 检验法所具有的某些缺点检验法所具有的某些缺点; ; 但是但是由于没有考虑相互比较的处理平均由于没有考虑相互比较的处理平均数依数值大小排列上的数依数值大小排列上的秩次秩次，故仍有推，故仍有推断可靠性低、犯断可靠性低、犯型错误概率增大的问型错误概率增大的问题。题。 为克服此弊病，统计学家提出了最小为克服此弊病，统计学家提出了最小显著极差法。显著极差法。 二、最小显著极差法二、最小显著极差法(lsr法）法

30、） lsr 法的特点法的特点：把平均数的差数看成是：把平均数的差数看成是平均数的极差，根据平均数的极差，根据极差范围内所包含的极差范围内所包含的平均数个数平均数个数k （称为（称为秩次距秩次距）的不同而采用）的不同而采用不同的检验尺度，以克服不同的检验尺度，以克服lsd法的不足。法的不足。 1、新复极差法（邓肯氏法）新复极差法（邓肯氏法） 此法是由邓肯此法是由邓肯(duncan)于于1955年提出，年提出，故又称故又称邓肯氏法邓肯氏法，此法还称，此法还称ssr法法。 其中其中ssr(dfe,k) 是根据显著水平是根据显著水平、误、误差自由度差自由度dfe、秩次距、秩次距k，由，由ssr表（附表

31、表（附表4 4）查得的临界查得的临界ssr值值; ; =0.05和和=0.01水平下的最小显著极水平下的最小显著极差为差为: :xkdfksssrlsre.),(,nmssexxkdfxkdfsssrlsrsssrlsree.),(01.001.0),(05.005.0 对于对于【例例6.16.1】，已算出，已算出 =1.033，依依dfe=16 , , k=2,3,4，求得各最小显著极差。，求得各最小显著极差。所得结果列于表。所得结果列于表。表表6-5 ssr值与值与lsr值值xsdfe秩次距秩次距kssr0.05ssr0.01lsr0.05lsr0.011623.004.133.0994.

32、26633.154.343.2544.48343.234.453.3374.597 表表 四种饲料对鱼平均增重的多重比较表四种饲料对鱼平均增重的多重比较表(ssr法）法） 表表6-5中，极差中，极差1.54、1.68，3.22的秩次距为的秩次距为2，因此将它们与最小显著极差因此将它们与最小显著极差3.099、4.266比较；极差比较；极差3.22，4.90的秩次距为的秩次距为3，将其与，将其与3.254、4.483比较；比较；极差极差6.44的秩次距为的秩次距为4，它们与，它们与3.337、4.597比较。比较。处处 理理平均数平均数 -24.74 -26.28 -27.96a131.186.

33、44*4.90*3.22 *a427.963.22ns1.68nsa226.281.54nsa324.74ixixixix2、q 检验法检验法( (q test) )表表6-6 q值与值与lsr值值xkdfksqlsre.),(,xkdfxkdfsqlsrsqlsree.)(01.001.0)(05.005.0,dfe秩次距秩次距kq0.05q0.01lsr0.05lsr0.011623.004.133.0994.26633.654.793.7704.94844.055.194.1845.361033.1nmssex 当各处理重复数不等时当各处理重复数不等时，为简便起见，为简便起见，不论不论l

34、sd法还是法还是lsr法，可用下面的公式法，可用下面的公式计算出一个各处理平均的重复数计算出一个各处理平均的重复数n0，以代，以代替计算替计算 或或 所需的所需的n。 式中式中k为试验的处理数，为试验的处理数， ni (i=1,2,k)为第为第i处理的重复数。处理的重复数。.jixxsxsiiinnnkn2011三、三种多重比较方法的联系与选择三、三种多重比较方法的联系与选择 以上三种多重比较方法，其检验尺以上三种多重比较方法，其检验尺度有如下关系度有如下关系: : lsd法法新复极差法新复极差法q 检验法检验法 当秩次距当秩次距k=2时，取等号时，取等号；秩次距；秩次距k3时，取小于号。时，

35、取小于号。 在多重比较中，在多重比较中，lsd法的尺度最小，法的尺度最小，q检验法尺度最严格，新复极差法尺度居检验法尺度最严格，新复极差法尺度居中。中。 271.4462.1921.2.099.3462.1120.2.)(01.001.0.)(05.005.0jiejiexxdfxxdfstlsdstlsddfe秩次距秩次距kssr0.05ssr0.01lsr0.05lsr0.011623.004.133.0994.26633.154.343.2544.48343.234.453.3374.597dfe秩次距秩次距kq0.05q0.01lsr0.05lsr0.011623.004.133.09

36、94.26633.654.793.7704.94844.055.194.1845.361q值与值与lsr值值ssr值与值与lsr值值 用上述排列顺序前面方法检验显著的用上述排列顺序前面方法检验显著的差数，用后面方法检验未必显著；用后差数，用后面方法检验未必显著；用后面方法检验显著的差数，用前面方法检面方法检验显著的差数，用前面方法检验必然显著。验必然显著。 一般地讲，一个试验资料，究竟采用一般地讲，一个试验资料，究竟采用哪一种多重比较方法，哪一种多重比较方法，主要应根据否定主要应根据否定一个正确的一个正确的ho 和接受一个不正确的和接受一个不正确的ho的相对重要性来决定的相对重要性来决定。 l

37、sd法法新复极差法新复极差法q 检验法检验法 如果如果否定正确的否定正确的ho是事关重大或后果是事关重大或后果严重的严重的，或对试验要求严格时，用，或对试验要求严格时，用q检验检验法较为妥当；法较为妥当； 如果如果接受一个不正确的接受一个不正确的ho是事关重大是事关重大或后果严重的，或后果严重的， 则宜用新复极差法（则宜用新复极差法（ssrssr法法）；在生物试验中，由于试验误差较大，）；在生物试验中，由于试验误差较大，常采用常采用新复极差法新复极差法。 应当注意，应当注意，无论采用哪种方法表示多无论采用哪种方法表示多重比较结果，都应重比较结果，都应注明注明采用的是哪一种多采用的是哪一种多重比

38、较法。重比较法。 四、多重比较结果的表示法四、多重比较结果的表示法 各平均数经多重比较后，应以简明的各平均数经多重比较后，应以简明的形式将结果表示出来。常用的表示方法有形式将结果表示出来。常用的表示方法有以下两种。以下两种。 1.三角形法三角形法 此法是将多重比较结果直此法是将多重比较结果直接标记在平均数多重比较表上，如表接标记在平均数多重比较表上，如表6-4。由于在多重比较表中各个均数差数构成一由于在多重比较表中各个均数差数构成一个三角形阵列，故称为三角形法。个三角形阵列，故称为三角形法。 优点：优点：简便直观；简便直观； 缺点：缺点：所占的篇幅较大。所占的篇幅较大。 处处 理理平均数平均数

39、 -24.74 -26.28 -27.96a131.186.44*4.90*3.22 *a427.963.22*1.68nsa226.281.54nsa324.74ixixixix表表6-4 四种饲料对鱼平均增重的多重比较表四种饲料对鱼平均增重的多重比较表(lsd法）法） 2.标记字母法标记字母法 （1）步）步 骤骤 先将各处理平均数由大到小自上而下先将各处理平均数由大到小自上而下排列；排列； 然后在最大平均数后标记字母然后在最大平均数后标记字母a，并将，并将该平均数与以下各平均数依次相比，凡差该平均数与以下各平均数依次相比，凡差异不显著标记同一字母异不显著标记同一字母a，直至某一个与其直至某

40、一个与其差异显著的平均数标记字母差异显著的平均数标记字母b； 再以标有字母再以标有字母b的平均数为标准，与上的平均数为标准，与上方比它大的各个平均数比较，凡差异不显方比它大的各个平均数比较，凡差异不显著一律再加标著一律再加标b ，直至显著为止直至显著为止； 再以标记有字母再以标记有字母b的最大平均数为标准，的最大平均数为标准，与下面各未标记字母的平均数相比，凡差与下面各未标记字母的平均数相比，凡差异不显著，继续标记字母异不显著，继续标记字母b ， 直至某一个直至某一个与其差异显著的平均数标记与其差异显著的平均数标记c ； 如些重复下去，如些重复下去， 直至最小一个平均数直至最小一个平均数被标记

41、比较完毕为止。被标记比较完毕为止。 （2 2）结果的识别）结果的识别 各平均数间凡有一个相同字母的即为各平均数间凡有一个相同字母的即为差差异不显著异不显著，凡无相同字母的即为差异显著。，凡无相同字母的即为差异显著。用小写拉丁字母（用小写拉丁字母（a a、b b、cc）表示显著水）表示显著水平平=0.05的差异性的差异性，用大写拉丁字母（，用大写拉丁字母（a a、b b、cc）表示显著水平）表示显著水平=0.01的差异性的差异性。 在利用字母标记法表示多重比较结果时，在利用字母标记法表示多重比较结果时，常在三角形表法的基础上进行。常在三角形表法的基础上进行。 优点：优点：占篇幅小，在科技文献中常

42、见占篇幅小，在科技文献中常见 表表6-7 6-7 表表6-4 多重比较结果的字母标记多重比较结果的字母标记( (ssr法法) )处处 理理平均数平均数=0.05=0.01a131.18aaa427.96 baba226.28bcba324.74cbix五、方差分析的基本步骤五、方差分析的基本步骤 （一）（一）计算各项平方和与自由度。计算各项平方和与自由度。 （二）（二）列出方差分析表，进行列出方差分析表，进行f f检验。检验。 （三）（三）若若f 检验显著检验显著，则进行多重比较。，则进行多重比较。 多重比较的方法有最小显著差数法多重比较的方法有最小显著差数法( (lsd法法) )和最小显著极

43、差法和最小显著极差法( (lsr法包括法包括q检验法和检验法和新复极差新复极差ssrssr法法) )。 表示多重比较结果的方法有三角形法和表示多重比较结果的方法有三角形法和标记字母法。标记字母法。第二节第二节 单因素试验资料单因素试验资料的方差分析的方差分析 根据各处理内重复数是否相等，单因根据各处理内重复数是否相等，单因素试验资料的方差分析又分为重复数相素试验资料的方差分析又分为重复数相等和重复数不等两种情况。等和重复数不等两种情况。 注意：注意：两种情况下，两种情况下，sst和多重比较中和多重比较中某些计算过程的区别。某些计算过程的区别。【例例6.3】抽测抽测5个不同品种的若干头母猪的窝产

44、仔数，个不同品种的若干头母猪的窝产仔数，结果见表结果见表6-12，试检验不同品种母猪平均窝产仔数的，试检验不同品种母猪平均窝产仔数的差异是否显著。差异是否显著。表表6-12 五个不同品种母猪的窝产仔数五个不同品种母猪的窝产仔数品种品种xij（头（头/窝）窝）合计合计xi .18 13 12 9 95110.2 53927 8 10 9 7418.2 343313 14 10 11 126012 730413 9 8 8 10489.6 478512 11 15 14 136513 855合计合计 x.=265 2945.ix2ijx 一、各处理重复数相等的方差分析一、各处理重复数相等的方差分析

45、 这是一个这是一个单因素试验单因素试验，处理数，处理数k =5，重复数，重复数n=5。 1 1、计算各项平方和和自由度、计算各项平方和和自由度 c=x2./kn=2652/（55）=2809 =1/5（512+412+602+482+652）-c=73.20 ss e=sst -sst=62.80 dft =kn-1=5 5-1=24136280929452 cxssijtcxnssit2.1dft=k-1=5-1=4 dfe =dft - dft=24-4=202 2、列出方差分析表，进行、列出方差分析表，进行f f检验检验 不同品种母猪产仔数的方差分析表不同品种母猪产仔数的方差分析表变异来

46、源变异来源dfssmsff0.05f0.01品种间品种间473.2018.30 5.83*2.874.43误差误差2062.803.14总变异总变异24136.003、多重比较（、多重比较（ssr法）法） 因为因为mse=3.14,n=5，所以，所以表表 ssr值与值与lsr值值793. 05/14. 3/nmssexdfe秩次距kssr0.05ssr0.01lsr0.05lsr0.012022.954.022.3393.188583.34643.184.332.5223.43453.254.402.5773.489表表 五个品种母猪平均产仔数多重比较表五个品种母猪平均

47、产仔数多重比较表( (ssr法法) 检验结果表明：检验结果表明：5号品种母猪的平均窝产仔数号品种母猪的平均窝产仔数极显著高于极显著高于2号品种母猪，显著高于号品种母猪，显著高于4号和号和1号品种，号品种，但与但与3号品种差异不显著，号品种差异不显著，. 品种品种平均数平均数 -8.2 -9.6 -10.2 -12.0513.04.8*3.4*2.8*1.0ns312.03.8*2.4ns1.8ns110.22.0ns0.6ns49.61.4ns28.2ixixixixix二、各处理重复数不等的方差分析二、各处理重复数不等的方差分析 设处理数为设处理数为k；各处理重复数为；各处理重复数为n1,

48、n2, nk；试验观测值总数为；试验观测值总数为n=ni 则则cxssnxcijt22/.tteiitsssssscnxss,/ .2ttettdfdfdfkdfndf, 1, 1【例例6.4】 5个不同品种猪的育肥试验，后期个不同品种猪的育肥试验，后期30天增重天增重(kg)如表如表6-16所示。试比较品种间增所示。试比较品种间增重有无差异。重有无差异。 表表6-16 5个品种猪个品种猪30天增重天增重品种品种增重（增重（kg）nixi .b121.5 19.5 20.0 22.0 18.0 20.06 121.0 20.22450.5b216.0 18.5 17.0 15.5 20.0 1

49、6.06103.0 17.21783.5b319.0 17.5 20.0 18.0 17.0591.518.3 1680.25b421.0 18.5 19.0 20.0478.519.6 1544.25b515.5 18.0 17.0 16.0466.516.61109.25合计合计25 460.58567.75.ix2ijx1、计算各项平方和与自由度、计算各项平方和与自由度41.848225/5.460/22.nxc05.4641.8482)4/5 .664/8 .785/5 .916/0 .1036/0 .121(/222222.cnxssiit34.8541.848275.85672cx

50、ssijt204244151,24125184.3850.4634.85ttettttedfdfdfkdfndfssssss2、列出方差分析表，进行、列出方差分析表，进行f检验检验 临界临界f值为：值为：f0.05(4,20) =2.87,f0.01(4,20) =4.43， 因为品种间的因为品种间的f值值 5.99f0.01(4,20)，p0.01，表明品种间差异极显著。表明品种间差异极显著。不同品种育肥猪增重的方差分析表不同品种育肥猪增重的方差分析表变异来源变异来源dfssmsf品种间品种间446.5011.635.99*误差误差2038.841.94总变异总变异2485.343、多重比较

51、（、多重比较（ssr法）法） 表表 ssr值与值与lsr值值625. 096. 4/94. 1/0nmssexdfe秩次距kssr0.05ssr0.01lsr0.05lsr0.012022.954.021.8442.513382.63843.184.331.9882.70653.254.402.0312.75096. 4254456625151222220n表表 五个品种育肥猪平均增重多重比较表五个品种育肥猪平均增重多重比较表( (ssr法法) 检验结果表明：检验结果表明：b1、b4品种的平均增重极显著或品种的平均增重极显著或显著高于显著高于b2、b5品种的平均增重，其

52、余不同品种之间品种的平均增重，其余不同品种之间差异不显著。可以认为差异不显著。可以认为b1、b4品种增重最快，品种增重最快，b2、b5品种增重较差，品种增重较差，b3品种居中。品种居中。品种品种平均数平均数 -16.6 -17.2 -18.3 -19.6b120.23.6*3.0*1.9ns0.6nsb419.63.0*2.4*1.3nsb318.31.7ns1.1nsb217.20.6nsb516.6ixixixixix主效应主效应（main effectmain effect）：各试验因素的相对独立作用各试验因素的相对独立作用互作互作（interactioninteraction）：某一因

53、素在另一因素的不同水平上所产生某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。的效应不同。第三节第三节 两因素试验资料两因素试验资料的方差分析的方差分析 定义定义：是指对：是指对试验指标试验指标同时受到两个同时受到两个试验因素作用的试验资料的方差分析。试验因素作用的试验资料的方差分析。 因素间的交互作用显著与否关系到主效应的因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值利用价值两因素间是否存在交互作用有专门的统计判两因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，有时也可根据专业知识判断。断方法，有时也可根据专业知识判断。如果交互作用如果交互作用显著显著，则各因素的效应就，则各因素的效应就不能累不

54、能累加加，最优处理组合的选定应根据，最优处理组合的选定应根据各处理组合的直接各处理组合的直接表现选定表现选定。有时交互作用相当大，甚至可以忽略主。有时交互作用相当大，甚至可以忽略主效应。效应。如果交互作用如果交互作用不显著不显著，则各因素的效应可以，则各因素的效应可以累累加加，各因素的，各因素的最优水平组合起来最优水平组合起来，即为最优的处理，即为最优的处理组合。组合。两因素都是固定因素两因素都是固定因素各处理都来自特定总体，如肥料实验、农各处理都来自特定总体，如肥料实验、农药试验、密度试验、饲料实验等药试验、密度试验、饲料实验等两因素均为随机因素两因素均为随机因素各处理皆来自同一总体的一组随

55、即样本。各处理皆来自同一总体的一组随即样本。在遗传、育种和生态试验研究中应用广泛在遗传、育种和生态试验研究中应用广泛固定模型固定模型随机模型随机模型混合模型混合模型一个因素是固定因素，一个因素是固定因素，一个因素是随机因素一个因素是随机因素两因素方差分析模型两因素方差分析模型三种模型在计算上类似，但在对待检验及结果解释时三种模型在计算上类似，但在对待检验及结果解释时有所不同有所不同。两因素方差分析两因素方差分析一、无重复观测值的两因素方差分析一、无重复观测值的两因素方差分析二、具有重复观测值的两因素方差分析二、具有重复观测值的两因素方差分析依据经验或专业知识，判断两因素依据经验或专业知识，判断

56、两因素无交互作用时，每个处理可只设一个观无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即假定测值，即假定a a因素有因素有a a个水平，个水平，b b因素因素有有b b个水平，每个处理组合只有一个观个水平，每个处理组合只有一个观测值。测值。因素因素a a因素因素b b总和总和t ti i. .平均数平均数b b1 1b b2 2b bb ba a1 1x x1111x x1212x x1b1bt t1 1. .a a2 2x x2121x x2222x x2b2bt t2 2. .a aa ax xa1a1x xa2a2x xababt ta a. .总和总和t.t.j jt.t.1 1t.t.2

57、2t.t.b bt t平均数平均数.ix.1x.2x.axxjx.1. x2. xbx.1、无重复观测值的两因素分组资料模式、无重复观测值的两因素分组资料模式2、两因素方差分析的线性模型、两因素方差分析的线性模型因素间不存在交互作用，所以两因因素间不存在交互作用，所以两因素方差分析观测值的线性模型是素方差分析观测值的线性模型是xij = +i +j +iji 和j 是a因素和b因素的效应，可以是固定的，也可以是随机的，且 ，ij是随机误差，彼此独立且服从n(0，2)。i=1,2,a; j=1,2, ,b0ii（1 1）平方和的分解为：）平方和的分解为：abtc2cxxxssijt22)(cbt

58、xxbssiia2.2.)(catxxassjjb2.2.)(batjiijessssssxxxxss2.)(1 abdft1 adfa) 1)(1(badfe（2 2）与平方和相应的自由度的分解为）与平方和相应的自由度的分解为1bdfb（4 4）f f值的计算：值的计算：22eaassf 22ebbssf （3 3）各项的方差分别为）各项的方差分别为aaadfsss2bbbdfsss2eeedfsss2例：将一种生长激素配成将一种生长激素配成m1，m2，m3，m4，m5五种浓度，五种浓度，并用并用h1，h2，h3三种时间浸渍某大豆品种的种子，出苗三种时间浸渍某大豆品种的种子，出苗45天后的各

59、处理每个植株的平均干物天后的各处理每个植株的平均干物质质重（重（g）见下表。试作方）见下表。试作方差分析与多重比较。差分析与多重比较。浓度浓度 （a a）时间（时间（b b）t ti ih h1 1h h2 2h h3 3m m1 1131314141414414113.6713.67m m2 2121212121313373712.3312.33m m3 33 33 33 39 93.003.00m m4 410109 9101029299.679.67m m5 52 25 54 411113.673.67t.t.j j4040434344441271278.08.08.8

60、8.478.47jx.ix激素处理对大豆干物重的影响激素处理对大豆干物重的影响激素浓度和时间均为固定因素，适应于固定模型激素浓度和时间均为固定因素，适应于固定模型。（1 1）平均和的计算：）平均和的计算：27.10753512722abtccxsst206.28927.107531137412222.cbtssia73.29527.10754141322273. 127.107554443402222.catssjb94. 473. 106.28973.295batessssssss141351 abdft4151 adfa8) 13() 15() 1)(1(badfe（2 2）自由度的计算）