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课时质量评价(十)1.若函数y=(2a-3)x在R上单调递减,则实数a的取值范围是()A.a<2 B.a>3C.32<a<2 D.a<C解析:因为函数y=(2a-3)x在R上单调递减,所以0<2a-3<1,所以32<a2.(2024·临沂模拟)若a-1-a1=4,则a-2+a2的值为()A.8 B.16C.2 D.18D解析:因为a-1-a1=4,所以a-2+a2=(a-1-a1)2+2=42+2=18.故选D.3.已知函数f(x)=ax-1-2(a>0,a≠1)恒过定点M(m,n),则函数g(x)=m+xn的图象不经过()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限D解析:因为a0=1,所以f(x)=ax-1-2恒过定点(1,-1),所以m=1,n=-1,所以g(x)=1+1x4.(多选题)已知a>0,则函数f(x)=ax-2a的图象可能是(),A,B,C,DAD解析:由于当x=1时,f(1)=a-2a=-a<0,排除B,C.若a=2,f(x)=2x-4,此时函数图象可能为A.若a=12,f(x)=125.已知函数f(x)=a1-ax(a>0且a≠1)在区间[2,3]上单调递增,则aA.0,12 C.0C解析:由a>0且a≠1,得y=1-ax为减函数,由复合函数单调性法则得a∈(0,1),且1-3a≥0,解得a∈0,6.若3x=5,3y=6,则32x+y的值为.150解析:因为3x=5,3y=6,所以32x+y=32x·3y=(3x)2·3y=52×6=150.7.当x≤1时,函数f(x)=4x-2x+1+2的值域为.[1,2]解析:因为f(x)=4x-2x+1+2=(2x)2-2×2x+2,令t=2x,由于x≤1,则t∈(0,2],则原函数可化为y=t2-2t+2,t∈(0,2].当t=1时,y取最小值1,当t=2时,y取最大值2,故y∈[1,2],即f(x)∈[1,2].8.(2024·湖南联考)已知函数f(x)满足f(x-y)=fxfy,且f(1)<f(3),请写出一个符合上述条件的函数f(x)=2x(答案不唯一)解析:令f(x)=2x,显然f(x)=2x在定义域上单调递增,满足f(1)<f(3),且f(x-y)=2x-y=2x2y,即满足f(x-y)=fxfy,所以9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x+1+1.(1)求f(x)的解析式;(2)解关于x的不等式f(x)≤5.解:(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.设x<0,则-x>0,所以f(-x)=2-x+1+1.因为f(-x)=-f(x),所以f(x)=-2-x+1-1,所以f(x)=-(2)当x>0时,令2x+1+1≤5,则2x+1≤4,x+1≤2,x≤1,即0<x≤1;当x=0时,f(x)=0,满足不等式f(x)≤5;当x<0时,-2-x+1<-2,-2-x+1-1<-3恒成立,满足不等式f(x)≤5.综上所述,不等式f(x)≤5的解集为{x|x≤1}.10.(多选题)设函数f(x)=10x10x+1,若[x]表示不超过x的最大整数,则A.0 B.-1C.1 D.2AB解析:因为0<10x,则1+110x>1,所以函数f(x)=10x10x+1=11+110x的值域是(0,1),则f(11.(多选题)(数学与生活)某食品的保鲜时间y(单位:时)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是120小时,在20℃的保鲜时间是30小时,则()A.k<0B.储存温度越高保鲜时间越长C.在10℃的保鲜时间是60小时D.在30℃的保鲜时间是15小时ACD解析:对于A,由题可知120=eb,30=e20k+b=e20k·eb,则e20k=14,故e10k=12,所以10k<0,则k<0,A正确;对于B,由A可知,y=kx+b在R上是减函数,且y=ex在R上是增函数,所以y=ekx+b在R上是减函数,则储存温度越高保鲜时间越短,B错误;对于C,e10k+b=e10k·eb=12×120=60,C正确;对于D,e30k+b=e30k·eb=112.(2024·湖北联考)已知a>0且a≠1,若函数f(x)=x32xax4解析:已知a>0且a≠1,若函数f(x)=x32xax+1为奇函数,则有f(-x)=-f(x),即-x32-x13.已知函数f(x)=3-x-3x,若f(2a-1)+f(3a2)>0,则实数a的取值范围是.-1,13解析:f(x)=3-x-3x的定义域为R,且f(-x)=3x-3-x=-f(x),故f(x)=3-x-3x为奇函数,所以f(2a-1)+f(3a2)>0等价于f(2a-1)>-f(3a2)=f(-3a2).又f(x)=3-x-3x在R上单调递减,所以2a-1<-3a2,即3a2+2a-1<0,解得-1<a14.(2024·合肥模拟)已知函数f(x)=a·3x+13x-1是定义域为(1)求a的值;(2)若g(x)=9x+9-x+mf(x)+m2-1,求函数g(x)的最小值.解:(1)因为f(x)=a·3x+13x-1=a·3x+3·3-x,所以f(-x)=a·3-x+3·3又因为f(x)是定义域为R的偶函数,所以a·3-x+3·3x=a·3x+3·3-x,即(3-a)(3x-3-x)=0对任意x∈R恒成立,则a=3.(2)由(1)知,f(x)=3(3x+3-x),则g(x)=32x+3-2x+3m(3x+3-x)+m2-1=(3x+3-x)2+3m(3x+3-x)+m2-3.令t=3x+3-x,由基本不等式可得t≥2,当且仅当x=0时,等号成立,则h(t)=t2+3mt+m2-3,t∈[2,+∞).①当-3m2≤2,即m≥-43时,h(t)=t2+3mt+m2-3在[2,+则h(t)
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