广东省湛江市2024−2025学年高二上学期10月月考 数学试题含答案

广东省湛江市2024−2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．i是虚数单位，复数（

）A． B．1 C． D．2．向量，若，则（

）A． B．C． D．3．空间向量在上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．已知点，则点A到直线的距离是（

）A． B． C． D．5．空间四边形中，，，，点在上，，点为的中点，则（

）A． B．C． D．6．如图所示，在棱长为2的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．7．下列命题中正确的是（

）A．点关于平面对称的点的坐标是B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则C．若和都为基底，则可以为D．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为120°，则直线l与平面所成的角为30°8．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，，，若球O的表面积为，则三棱锥（以A为顶点）的侧面积的最大值为（

）

A．6 B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列命题正确的是（

）A．若，则与，共面B．若，则共面C．若，则共面D．若，则共面10．不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件“两个球中至多一个黑球”，事件“两个球均为白球”，则（

）A． B． C． D．11．在中，下列结论正确的是（

）A．若，则为等腰三角形B．若，则是直角三角形C．若，则是钝角三角形D．若，则是等边三角形三、填空题（本大题共3小题）12．在空间直角坐标系中，若点，，则13．已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为.14．在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，点F满足，则.四、解答题（本大题共5小题）15．在中，(1)求的长；(2)求的长；(3)记中点为，求中线的长.16．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．17．某中学高一年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中．(1)求出a，b，估计测试成绩的分位数和平均分；(2)按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在80,90内的概率．18．如图所示，已知正方体的棱长为3，，分别是，的中点，是上一点，且平面.(1)求的长；(2)求直线与平面所成角的正弦值.19．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.(1)求证：；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)棱上是否存在点，它与点到平面的距离相等，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.

参考答案1．【答案】C【分析】借助复数的运算法则计算即可得.【详解】.故选：C.2．【答案】C【分析】利用空间向量平行列出关于的方程组，解之即可求得的值.【详解】因为，所以，由题意可得，所以则.故选C.【思路导引】根据题目条件列出关于的方程组，解方程组即可得到答案.3．【答案】C【分析】根据投影向量公式计算即可.【详解】，，由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为.故选C.4．【答案】B【分析】先求与同方向的单位向量和的坐标，代入点到直线的距离的向量公式即得.【详解】由题意，,则与同方向的单位向量为，又,于是，点A到直线的距离是：.故选：B.5．【答案】B【分析】结合图形和题设条件，利用向量的加减数乘运算即得.【详解】如图，连结，因，点为的中点，则，于是，.故选B.6．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，，进而求出线线角的向量公式即可求出结果.【详解】如图所示，以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2，则.所以，因为，所以.故选C.

7．【答案】D【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A错误；对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，，有，则或，B错误；对于C，由是空间向量的一个基底，得不共面，则不共线，假设，则，即共面，与是空间的一个基底矛盾，因此不可以为，C错误；对于D，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为120°，则直线l与平面所成的角为，D正确.故选：D8．【答案】B【详解】设球的半径为，则，解得，因为AD⊥平面ABC，，所以三棱锥的外接球，即为以为棱的长方体的外接球，故，其中，故，三棱锥（以A为顶点）的侧面积为，由基本不等式得，故，当且仅当时，等号成立，，故，当且仅当时，等号成立，所以.故选B.9．【答案】ABD【分析】利用共面向量定理:即若一条向量用另外两条向量线性表示，则这三条向量一定共面，用此法可判断三条向量共面，再利用有公共点的三条向量共面，进而可判断四点共面，针对，可以利用线性运算转化为，再进行判断.【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的；选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点，所以共面；选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量，则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量，此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的；选项D，由可得，则，即，则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的；故选：ABD．10．【答案】AB【分析】利用列举法写出随机取出个小球的基本事件，根据题设描述列举对应事件，由古典概型的概率求法求概率.【详解】记个白球为，个黑球为，随机取出个小球的事件如下，，事件对应的基本事件有，所以，故A正确；事件对应的基本事件有，所以，事件对应的基本事件有，所以，又，故D错误；其中对应的基本事件有，所以，故B正确；对应的基本事件有，所以，故C错误.故选AB.11．【答案】CD【分析】由三角函数的性质结合诱导公式判断选项AB；正弦定理角化边余弦定理得角的范围判断选项C；正弦定理结合倍角公式化简判断选项D.【详解】对于A，中，若，则有或，当时，，为等腰三角形；当时，，为直角三角形，故A选项不正确，对于B，中，若，则或，即或，因此不一定是直角三角形，故B选项不正确；对于C，中，若，则根据正弦定理得，余弦定理得，则为钝角，是钝角三角形，故C选项正确；对于D，中，若，则，即，由，得，所以，，是等边三角形，故D选项正确．故选：CD．12．【答案】【详解】由题意知.故答案为：13．【答案】【详解】原7个数的方差为，即，加入一个新数据2后所得8个数的平均数为，所以这8个数的方差为.故答案为:.14．【答案】【详解】因为平面，平面，所以，，所以，，

因为，所以，因为，所以，因为，．故答案为：.15．【答案】(1)2(2)(3)【详解】（1）由正弦定理可得，所以；（2）由余弦定理得，即，舍去负值，所以；（3）在中由余弦定理得：，则.16．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）设,连接,如图所示:因为O,E分别为,的中点,所以,又因为平面,平面,所以平面．（2）连接,如图所示:因为,为的中点,所以,又因为四边形为菱形,所以,因为平面,平面,且,所以平面,又因为平面,所以平面平面．17．【答案】(1)，，85，76.5(2)【详解】（1）由频率分布直方图可知，即，又，所以，，前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，则分位数，且．测试成绩的平均分为：.（2）成绩在和内的人数之比为，故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，，成绩在内的有1人，设为，再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种，这2人成绩均在内的情况有，，，共3种，故这2人成绩都在内的概率．18．【答案】(1)1；(2).【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，引入参数表示的位置，求出平面的一个法向量以及，由题意，由此即可求出参数，进而得解；（2）求出，结合第一问中求出的，由向量夹角公式即可得解.【详解】（1）如图，以点为原点，分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，.设平面的一个法向量为，由得，取，则，故.设，则.因为平面，所以，所以，所以.（2）因为，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，故.所以直线与平面所成角的正弦值为.【方法总结】利用空间向量求解立体几何问题的一般步骤（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据公式求出相应的角或距离.19．【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，且【分析】（1）利用面面垂直的性质可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）推导出，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值；（3）分析可知，平面，设，其中，求出向量的坐标，根据题意可知，与平面的法向量垂直，根据空间向量数量积的坐标运算求出的值，进而可求得线段的长.【详解】（1）证明：因为平面平面，且平面平面，因为，且平面，所以平面.因为平