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文档简介
第六章立体几何与空间向量第五节空间向量及其运算·考试要求·1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.知识点一空间向量的有关概念、定理1.判断下列说法的正误,正确的打“√”,错误的打“×”.(1)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.(
)(2)空间中所有的单位向量的模都相等.(
)(3)空间任意三个向量都可构成空间的一个基底.(
)(4)空间向量a,b,c,若a∥b,b∥c,则a∥c.(
)(5)空间中任意两个非零向量都共面.(
)必备知识落实“四基”×××√√
√
1.空间向量的有关概念名称概念零向量长度(模)为___的向量单位向量长度(模)为___的向量相等向量方向______且模______的向量相反向量方向______且模______的向量共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相______或______的向量共面向量平行于____________的向量01相同相等相反相等平行重合同一个平面2.空间向量的有关定理及推论
语言描述共线向量定理对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b⇔存在λ∈R,使__________共面向量定理如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使__________________空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使__________________推论a=λbp=xa+ybp=xa+yb+zc
1
|a||b|cos
〈a,b〉a·b=0
注意点:(1)a·b=b·ca=c;(2)(a·b)·c不一定等于a·(b·c).
√√
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
向量表示坐标表示数量积a·b__________________共线a=λb(b≠0,λ∈R)a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3垂直a·b=0(a≠0,b≠0)_______________________模夹角〈a,b〉(a≠0,b≠0)a1b1+a2b2+a3b3a1b1+a2b2+a3b3=0
√
核心考点提升“四能”√
空间向量的线性运算
√
3.(2024·滨州模拟)已知空间向量a=(1,2,3),b=(3,-1,2),c=(-1,0,1),则a-b+2c=__________.(-4,3,3)
解析:因为a=(1,2,3),b=(3,-1,2),c=(-1,0,1),所以a-b+2c=(1,2,3)-(3,-1,2)+2(-1,0,1)=(-4,3,3).反思感悟
空间向量线性运算的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量,结合图形,以图形为指导是解题的关键.(2)将已知向量与所求向量转化到三角形或平行四边形中,利用三角形法则、平行四边形法则、多边形法则把所求向量用已知向量表示出来.(3)空间向量的坐标运算类似平面向量的坐标运算.
共线向量定理、共面向量定理及其应用
√
√空间向量的数量积及其应用
反思感悟空间向量的数量积运算有两条途径,一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算.
反思感悟
空间向量数量积的应用求夹角求长度(距离)运用公式|a|2=a·a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题1.(2024·青岛模拟)已知向量a=(1,1,x),b=(-2,2,3).若(2a-b)·b=1,则x=(
)A.-3 B.3C.-1 D.6B
解析:2a-b=(2,
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