专题16函数的应用（二）

20232024高一数学必修第一册20232024高一数学必修第一册专题16函数应用（二）№考向解读专题16函数应用（二）№考向解读➊考点精析➋真题精讲➌题型突破➍专题精练第四章指数函数与对数函数专题16函数应用（二）→➊考点精析←1函数的零点（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；③函数的零点就是方程的实数根．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．（2）二次函数的零点二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.2函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一个；若不单调，则个数不确定．②若函数在区间上有，在内也可能有零点，例如在上，在区间上就是这样的．故在内有零点，不一定有．③若函数在区间上的图象不是连续不断的曲线，在内也可能是有零点，例如函数在上就是这样的．（2）利用方程求解法求函数的零点时，先考虑解方程，方程无实根则函数无零点，方程有实根则函数有零点．（3）利用数形结合法函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与的图象交点的横坐标．【方法技巧与总结】1、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.2、函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则3零点个数的判断方法（1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.（2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.（3）数形结合法：①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数.4判断函数零点所在区间（1）将区间端点代入函数求函数的值；（2）将所得函数值相乘，并进行符号判断；（3）若符号为正且在该区间内是递增或递减，则函数在该区间内无零点；若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。5已知函数零点个数，求参数取值范围的方法（1）直接法：利用零点存在的判定定理建立不等式；（2）数形结合法：转化为两个函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；（3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域问题．6二分法对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．7用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度．第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中．第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为．计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为．计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令；……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止．这时函数的近似零点满足给定的精确度．（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；②、的值比较容易计算且．（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程的根，可以构造函数，函数的零点即为方程的根．8关于精确度（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位．（2）精确度表示当区间的长度小于时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值．9几种常见的函数模型①一次函数模型：（，为常数，）②二次函数模型：（为常数，）③指数函数模型：（为常数，，且）④对数函数模型：（为常数，，且）⑤幂函数模型：（为常数，）⑥分段函数模型：10解应用题的基本思想11解答函数应用题的基本步骤求解函数应用题时一般按以下几步进行：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．第二步：建模在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型．这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求．第三步：求模运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果．第四步：还原把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景．上述四步可概括为以下流程：实际问题（文字语言）数学问题（数量关系与函数模型）建模（数学语言）求模（求解数学问题）反馈（还原成实际问题的解答）．→➋真题精讲←（2023·山东德州·三模）2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI发布的名为“ChatGPT”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】C【分析】由题意求得，令，结合对数的运算公式，求得，即可得到答案.【详解】由题意知，初始学习率，衰减速度，所以，因为当训练迭代轮数为时，学习率衰减为，可得，解得，所以，令，可得，则，可得，所以至少所需的训练迭代轮数至少为.故选：C.→➌题型突破←【题型一】不同函数模型的认识1.假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元．如表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是t05101520P12040P22040(1)求函数P1(2)求函数P2(3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种【解析】(1)由题意可设P1∵当t=0时，P1=20；当t=10时，∴n=2010m+n=40，解得∴P(2)由题意可设P2∵当t=0时，P∴k=20k∙a∴P(3)表中数据如下：t05101520P12030405060P2020404080在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示：有图象可知，P1=f(t)=2t+20呈直线增长，增长速度较慢；【点拨】求函数的解析式，当已知函数类型时用“待定系数法”.【题型二】不同函数模型的应用2.党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，发展混合所有制经济，培育具有全球竞争力的世界一流企业，这为我们深入推进公司改革发展指明了方向，提供了根本遵循．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产，两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资成正比，且当投资2万元时，利润为1万元；产品的利润与投资的算术平方根成正比，且当投资4万元时，利润为4万元．(1)分别求出，两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入到，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？【解析】（1）设投资为万元，则产品的利润，产品的利润，由题意得，，，解得，，所以产品的利润，产品的利润．（2）设企业利润为，分配给产品的投资为万元，则分配给产品的投资为万元，所以，故当，即时，企业利润取得最大值，所以这10万元资金中有6万元投资给产品，4万元投资给产品，可使企业获得最大利润，且最大利润为7万元．3．（江苏省灌云高级中学高一期末）我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产（千台）电脑需要另投成本万元，且另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.(1)求该企业获得年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式;(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.【解析】（1）10000台=10千台,则，根据题意得：，解得，当时，，当时，，综上所述.（2）当时，当时，取得最大值；当时，，当且仅当时，因为，故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5900万元.4．（山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）水葫芦原产于巴西能净化水质蔓延速度极快，在巴西由于受生物天敌的钳制，仅以一种观赏性的植物分布于水体.某市2018年底，为了净化某水库的水质引入了水葫芦，这些水葫芦在水中蔓延速度越来越快2019年一月底，水葫芦覆盖面积为，到了四月底测得水葫芦覆盖面积为，水葫芦覆盖面积（单位：），与时间（单位：月）的关系有两个函数模型且与可供选择.(1)分别求出两个函数模型的解析式(2)今测得2019年5月底水葫芦的覆盖面积约为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型求水葫芦覆盖面积达到的最小月份.参考数据：，【解析】（1）依题意函数过点和，若选择模型，则，解得，，故函数模型为．若选择模型，则，解得，，故函数模型为．（2）若选择模型，即，当时，若选择模型，即，当时，因为，所以更合适，令，则，两边取对数可得，则，所以水葫芦覆盖面积达到的最小月份是月份.5．（全国·高一专题练习）自2014年9月25日起，三峡大坝旅游景点对中国游客（含港、澳、台同胞、海外侨胞）施行门票免费，去三峡大坝旅游的游客人数增长越来越快，经统计发现2017年三峡大坝游客总量约为200万人，2018年约为240万人，2019年约为288万人，三峡大坝的年游客人数y与年份代码x（记2017年的年份代码为，2018年年份代码为，依此类推）有两个函数模型与可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适（不需计算，简述理由即可），并求出该模型的函数解析式；(2)问大约在哪一年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．（参考数据：，，，）【解析】（1）因为函数中，随的增长而增长的速度越来越快，而函数，随的增长而增长的速度越来越慢，故由题意应选；则有，解得，∴；（2）设经过年，三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍，则，即，∴，∴，故大约在2022年三峡大坝旅客年游览人数约是2018年的2倍．6．（陕西·榆林市第十中学高一期中）某地西红柿从2月1日起开始上市.通过市场调查，得到西红柿种植成本单位：元与上市时间（单位：天）的数据如下表：时间50120150种植成本26005002600由表知，体现与数据关系的最佳函数模型是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；而A，C，D对应的函数，在时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，所以，选取B，故选：B．【题型三】求函数的零点7.若是函数的一个零点，则的另一个零点为（

）A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）【答案】A【解析】因为是函数的一个零点，所以，解得．设另一个零点为，则，解得，所以的另一个零点为1．故选：A．8.若满足，满足，则________.【答案】2【解析】设，因为满足，满足，所以时函数与的交点横坐标，时函数与的交点横坐标，由于函数与互为反函数，其图象关于直线对称，所以两图象与直线的交点也关于对称，如图所示，又由，解得，所以，可得.故答案为：.9.已知为幂函数，（，且）的图象过点．，若的零点所在区间为，那么（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【解析】为幂函数，，，的图象过点，，，，故在上单调递增，由于（1），（2），故在区间上存在唯一零点，的零点所在区间为，，那么，故选：C．【题型四】函数与方程的关系10.已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作函数与的图像如下：方程有4个不同的根，，，，且，可知关于对称，即，且，则，即，则即，则；当得或，则；；故，；则函数，在上为减函数，在上为增函数；故取得最小值为，而当时，函数值最大值为.即函数取值范围是.故选：D.11．（贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）已知函数，若有四个不等实根，且，求的取值范围（

）A．（－∞，－3） B．（－3，+∞）C．[－，－3) D．[－，－3]【答案】C【解析】作出函数和的图象如下图所示：由于二次函数的图象关于直线对称，所以，，由，得，即，所以，，可得，由图象知，当时，直线与函数的图象有四个交点，所以，，即，即，，得，由于函数在区间上为减函数，.故选：C.【题型五】函数零点定理12．（内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））函数的零点所在区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上单调递减，又，所以由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点，故选：C13.在下列区间中，函数的一个零点所在的区间为（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，函数，可得，所以，结合零点的存在定理，可得函数的一个零点所在的区间为.故选：B.14．（全国·高一专题练习）已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，与有2个交点，当时，递增且值域为；当时，在上递减，上递增且值域为；所以的图像如下：由图知：时，有2个零点.故选：A15．若函数在内恰有一解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时不成立取则解得故答案选B变式16．已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数为一次函数，要使其在区间上存在零点，要保证其两端点分别在轴的两侧，所以即，解得或，故选项.17．（江苏·高一专题练习）已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据“局部奇函数”定义知：有解，即方程有解，则有解；设，则（当且仅当时取等号），方程等价于在时有解，在时有解；在上单调递增，，，即实数的取值范围为.故选：B.18．函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】令，因为，所以函数图象与轴有两个交点，因为函数在上存在零点，且函数图象连续，所以，或，所以，或，解得或故选：B19．已知函数的零点位于区间内，则整数（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因为函数与在上均为增函数，所以函数在上为增函数，因为，，，所以函数的零点位于区间内，故.故选：B.20．设依次表示函数的零点，则的大小关系为______．【答案】【解析】函数的零点，即为方程的解，在坐标系中分别画出函数与的图象，如图所示，结合图象，可得.故答案为：.【题型六】二分法21.用二分法求函数的零点，可以取的初始区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是单调增函数，故是单调增函数，其零点至多有一个；又，故用二分法求其零点，可以取得初始区间是．故选：B．22.已知函数的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：x00．50．531250．56250．6250．7510．0660．2150．5121．099由二分法，方程的近似解（精确度为0．05）可能是（

）A．0．625 B． C．0．5625 D．0．066【答案】C【解析】由题意得在区间上单调递增，设方程的解的近似值为，由表格得，所以，因为，所以方程的近似解可取为0．5625．故选：C．23.在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是；第三次所取的区间可能是.故选：.24.已知函数.(1)探究在上的单调性，并用单调性的定义证明；(2)判断方程是否存在实根？若存在，设此根为，请求出一个长度为的区间，使；若不存在，请说明理由.（注：区间的长度为）【解析】（1），则函数在上为减函数，证明如下：任取、且，则，因为，则，即，故函数在上为减函数.（2）由，可知，即，解得，即，可得，构造函数，由（1）可知，函数在上为减函数，而函数为定义域上的增函数，则函数在上为增函数，又因为函数在上也为增函数，故函数在上为增函数，因为，，由零点存在定理可知，函数在区间上存在零点，且零点记为，，即，，故，，故，且区间的长度为.故满足条件的一个区间为.→➍专题精练←1．（辽宁·金石高级中学高一阶段练习）已知关于的方程的值是（

）A．17 B．－1 C．17或－1 D．－17或1【答案】B【解析】设方程的两个实根分别为，则.由方程的这两个实数根的平方和比两个根的积大21得：，，解得：或，又方程有两个实数根，，得，.故选：B2．（湖北省武昌实验中学高一期末）已知函数的部分函数值如下表所示那么函数的一个零点的近似值（精确度为）为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数在R上单调递增，由数表知：，由零点存在性定义知，函数的零点在区间内，所以函数的一个零点的近似值为.故选：B3．（四川泸州·高一期末）在型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间与、近似满足，其中为病毒基本再生数，为两代间传染所需的平均时间，有学者基于已有数据估计出，.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的4倍，至少需要（

）（参考数据：）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天【答案】B【解析】由，，可得，所以，则，设题中所求病例增加至倍所需天数为天，所以，，即，所以，所以累计感染病例数增加至的4倍，至少需要天；故选：B．4．（全国·高一课时练习）已知函数的零点为，不等式的最小整数解为k，则k＝（

）A．8 B．7 C．5 D．6【答案】A【解析】方法一：∵函数为R上的增函数，，，∴函数的零点满足，∴，∴的最小整数解k＝8.方法二：已知函数的零点即为函数的图象与的图象交点的横坐标，通过图象可看出函数的零点所在的区间为(1,2)，∴，∴的最小整数解k＝8.故选：A.5．（江苏·高一）下列关于二分法的叙述，正确的是（

）A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只有求函数零点时才用二分法【答案】B【解析】根据二分法的概念可知，只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位，故B正确；二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错.故选：B.6．（全国·高一单元测试）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害．为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜．根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P（单位：万元）、种黄瓜的年收入Q（单位：万元）与各自的投入资金，（单位：万元）满足，．设甲大棚的投入资金为x（单位：万元），每年两个大棚的总收入为（单位：万元），则总收入的最大值为（

）A．282万元 B．228万元 C．283万元 D．229万元【答案】A【解析】由题意可知甲大棚的投入资金为x（单位：万元），乙大棚的投入资金为200x（单位：万元），所以，由可得，令，则，，所以当，即时总收人最大，最大收入为282万元．故选：A．7．（全国·高一单元测试）已知，分别是方程，的根，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【解析】由题意可得是函数的图象与直线交点的横坐标，是函数图象与直线交点的横坐标，因为的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，所以线段的中点就是直线与的交点，由，得，即线段的中点为，所以，得，故选：B8．（全国·高一课时练习）用二分法求函数在区间内零点的近似值，要求误差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，所以经过次操作后，区间长度变为，∵用二分法求函数在区间内零点的近似值，要求误差不超过0.01，∴，解得：，

所需二分区间的次数最少为7.故选：C．9．（江西·于都县新长征中学高一阶段练习）如图，建立平面直角坐标系轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为千米，它的横坐标为.则下列结论正确的是（

）A．炮的最大射程为10千米B．炮的最大射程为20千米C．当飞行物的横坐标超过6时，炮弹可以击中飞行物D．当飞行物的横坐标不超过6时，炮弹可以击中飞行物【答案】AD【解析】在中，令，可得，显然，因此，当且仅当，即时等号成立，即炮的最大射程为10千米，A正确，B错误；依题意，炮弹击中飞行物，即直线与炮弹轨迹有公共点，而，，于是得关于的方程，即有正根，当，即时，方程两根之和为正，两根之积为正，因此当时，关于的方程有正根，即当不超过6千米时，炮弹可以击中目标，C错误，D正确.故选：AD10．（全国·高一课时练习）（多选）下列函数不存在零点的是（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】A选项中，令，解得，故和1是函数的零点；B选项中，令，则，因为，所以该方程无解，所以函数无零点；C选项中，令，解得，故1和1是函数的零点；D选项中，令，方程无解，故函数无零点．故选：BD．11．（全国·高一课时练习）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，，，．下列说法正确的有（

）A．的零点在区间内 B．的零点在区间内【答案】BC【解析】易知是增函数，因为，，所以零点在内，所以A错误，B正确，又1.4375和1.375精确到0.1的近似数都是1.4，所以C正确，D错误．故选：BC.12．（全国·高一）甲、乙两位股民以相同的资金进行股票投资，在接下来的交易时间内，甲购买的股票先经历了一次涨停（上涨10%），又经历了一次跌停（下跌10%），乙购买的股票先经历了一次跌停（下跌10%），又经历了一次涨停（上涨10%），则甲，乙的盈亏情况（不考虑其他费用）为（

）A．甲、乙都亏损 B．甲盈利，乙亏损 C．甲亏损，乙盈利 D．甲、乙亏损的一样多【答案】AD【解析】设投资总额为a元，甲先经历一次涨停，再经历一次跌停后的资金为：元，乙先经历一次跌停，再经历一次涨停后的资金为：元，故选：AD.13．（江苏·宿迁中学高一期中）已知函数，若在上单调递增，且有两个零点，则满足题意的一个实数的值可以为______．【答案】（答案不唯一）【解析】由于函数，若在上单调递增，则，故，由于，整理得，解得或，故满足的条件的取值范围为，故的值可以为：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．14．（全国·高一课时练习）在用二分法求函数的零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是______．（写出一个符合条件的区间即可）【答案】或或或(写一个即可)．【解析】第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是，；第三次所取区间可能是，，，．故答案为：或或或(写一个即可)．15．（全国·高一课时练习）某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到5万元后，奖金（单位：万元）随利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%，现有三个奖励模型：①，②，③，则该符合该商场要求的模型为______（填序号）.【答案】②【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象如图所示.观察图象可知，在区间内，函数，的图象都有一部分在直线的上方，只有函数的图象始终在直线和的下方，所以按模型进行奖励符合商场的要求.故答案为：②16．（江苏省阜宁中学高一阶段练习）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为___________.【答案】【解析】函数在区间上有零点，即在有方程根，当时，，若，，在区间上没有零点，若，，在区间上有零点，故满足题意；当，即或时，在区间上有零点，即在有方程根，根