高考数学一轮复习考点探究与题型突破第05讲基本不等式(原卷版+解析)

第5讲基本不等式1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当时，x＋y有最小值是．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)常用结论几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．考点1利用基本不等式求最值[名师点睛]1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．2.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．3.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．[典例]1.(2023·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．4 D．22．(2023·湖南湖南·二模）函数的最小值为（

）A．3 B．2 C．1 D．03．（多选）(2023·河北石家庄·二模）设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（

）A．上的最小值为2 B．的最大值为1C．的最大值为4 D．的最小值为4.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x>0，不等式eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则实数a的取值范围为()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5)))[举一反三]1．(2023·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数的最小值为（

）A．8 B．7 C．6 D．52．(2023·安徽·高三阶段练习（文））已知，，，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．63．(2023·全国·模拟预测）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（

）A．40 B． C．42 D．4．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A．2 B． C． D．65．（多选）(2023·河北保定·一模）下面描述正确的是（

）A．已知，，且，则B．函数，若，且，则的最小值是C．已知，则的最小值为D．已知，则的最小值为6．（多选）(2023·重庆八中高三阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．7．(2023·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知，为正实数，且，则的最小值为____________，此时____________．8．(2023·浙江·镇海中学模拟预测）已知，则的最小值为___________.9．(2023·天津·大港一中高三阶段练习）设，那么的最小值是___________.10．(2023·天津河北·一模）已知，，且，则的最大值为__________.11．(2023·全国·高三专题练习）已知，求的最小值；考点2利用基本不等式证明不等式[名师点睛]证明不等式时，可依据待求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证．先局部运用基本不等式，然后利用不等式的性质，通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明轮换对称不等式时具有一定的普遍性．[典例](2023·全国·高三专题练习）已知都是正数，求证：(1)；(2)若，则.[举一反三]1．(2023·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a，b，c为正数.(1)求的最小值；(2)求证：.2．(2023·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知.(1)若，求的最小值；(2)求证：.3．(2023·河南开封·二模（文））已知，且abc=1.(1)求证：；(2)若a=b+c，求a的最小值.4．(2023·全国·高三专题练习）已知正数，，满足．(1)求的最大值；(2)证明：．考点3基本不等式中的恒成立问题[名师点睛]1．已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是分离参数法，且有a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max，a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.2．求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性．[典例]1．(2023·全国·高三专题练习）若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·高三专题练习）设，，且恒成立，则的最大值是（

）A． B． C． D．[举一反三]1．（2023·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·模拟预测）对任意正实数不等式恒成立，则（

）A．实数有最小值1 B．实数有最大值1C．实数有最小值 D．实数有最大值3．（多选）(2023·全国·高三专题练习）当，，时，恒成立，则的取值可能是（

）A． B． C．1 D．24．(2023·全国·高三专题练习）不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．5．（2023·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数，，恒有，则实数的最小值是___________.6．(2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为_____．考点4基本不等式与其他专题综合[名师点睛]有关函数最值的实际问题的解题技巧1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．3．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．[典例]1．(2023·安徽安庆·二模（文））若函数在内单调递增，则实数的取值范围是___________.2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x2018＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2016)＝2018x2017的实数解的个数为________．3．(2023·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长大约为40米，宽大约为20米，球门长大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线上某点处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角最大，则大约为（

）（精确到1米）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米[举一反三]1．(2023·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为．设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（

）A．30 B．60 C．900 D．18002．（多选）(2023·重庆·模拟预测）已知为锐角三角形，且，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．的最小值为43．（2023·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，，那么当_______时，矩形花坛的面积最小，最小面积为______.第5讲基本不等式1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中eq\f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)称为正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq\r(p)．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq\f(s2,4)．(简记：和定积最大)常用结论几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．考点1利用基本不等式求最值[名师点睛]1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．2.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．3.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．[典例]1.(2023·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．4 D．2答案：D【解析】因为，当且仅当，即时取等号，所以，所以，，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2故选：D.2．(2023·湖南湖南·二模）函数的最小值为（

）A．3 B．2 C．1 D．0答案：D【解析】因为，所以，，利用基本不等式可得，当且仅当即时等号成立.故选：D.3．（多选）(2023·河北石家庄·二模）设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（

）A．上的最小值为2 B．的最大值为1C．的最大值为4 D．的最小值为答案：AB【解析】∵，∴，当且仅当，即时等号成立，故A正确；，∴，当且仅当时，等号成立，故B正确；，，当且仅当时等号成立，最大值为2，故C错误；，当且仅当时等号成立，故D错误．故选：AB4.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x>0，不等式eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则实数a的取值范围为()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5))) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5)))[答案]A[解析]由x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)，令t＝x＋eq\f(1,x)，则t≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝1时，t取得最小值2.eq\f(x,x2＋3x＋1)取得最大值eq\f(1,5)，所以对于任意的x>0，不等式eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a≥eq\f(1,5).[举一反三]1．(2023·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数的最小值为（

）A．8 B．7 C．6 D．5答案：D【解析】因为，所以3x－1>0，所以，当且仅当，即x=1时等号成立，故函数的最小值为5．故选：D．2．(2023·安徽·高三阶段练习（文））已知，，，则的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．6答案：C【解析】解：因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号；故选：C3．(2023·全国·模拟预测）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（

）A．40 B． C．42 D．答案：D【解析】，又，当且仅当时取“=”，则，所以当时，的最大值为.故选：D4．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A．2 B． C． D．6答案：B【解析】由，得，所以，当且仅当，即取等号.故选：B.5．（多选）(2023·河北保定·一模）下面描述正确的是（

）A．已知，，且，则B．函数，若，且，则的最小值是C．已知，则的最小值为D．已知，则的最小值为答案：AC【解析】对于选项A，∵，，，∴，∴，当且仅当时取等号，∴，∴A正确；对于选项B：因为，所以，又，所以由对勾函数的单调性可知函数在上单调递减，所以，即，故B不正确；对于选项C，根据题意，已知，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，故C正确；对于选项D，，令，所以，所以，此时无解，所以选项D不正确，故选：AC．6．（多选）(2023·重庆八中高三阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．答案：AB【解析】对于A：因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以成立.故A正确；对于B：因为，所以，当且仅当时取等号.所以成立.故B正确；对于C：因为，所以，所以.记，则，所以，所以，即.故C错误；对于D：因为所以.故D错误.故选：AB7．(2023·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知，为正实数，且，则的最小值为____________，此时____________．答案：

【解析】,为正实数,且,当且仅当即，时取“=”故答案为:8．(2023·浙江·镇海中学模拟预测）已知，则的最小值为___________.答案：9【解析】，当且仅当时等号成立，取等条件满足，所以的最小值为9.故答案为：99．(2023·天津·大港一中高三阶段练习）设，那么的最小值是___________.答案：【解析】解：，所以，当且仅当，即时取等号；所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，当且仅当、时取等号；故答案为：10．(2023·天津河北·一模）已知，，且，则的最大值为__________.答案：【解析】.因为，，且，所以，当且仅当即时取等.所以.，即的最大值为.故答案为：.11．(2023·全国·高三专题练习）已知，求的最小值；答案：【解析】由.所以≥，当且仅当时等号成立，综上，的最小值为.考点2利用基本不等式证明不等式[名师点睛]证明不等式时，可依据待求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证．先局部运用基本不等式，然后利用不等式的性质，通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明轮换对称不等式时具有一定的普遍性．[典例](2023·全国·高三专题练习）已知都是正数，求证：(1)；(2)若，则.【解】(1)，∵都是正数，∴，当且仅当“”时等号成立，∴.(2)，当且仅当“”时等号成立，∴.[举一反三]1．(2023·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a，b，c为正数.(1)求的最小值；(2)求证：.【解】(1)因为，当且仅当“”时等号成立，所以当时，的最小值为.(2)因为，同理，，所以三式相加得，所以，当且仅当“”时等号成立2．(2023·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知.(1)若，求的最小值；(2)求证：.【解】(1)因为，所以，又，所以，所以当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.(2)因为①，②，③，所以，由①②③，同向不等式相加可得：，当且仅当，即时取等号.即成立.3．(2023·河南开封·二模（文））已知，且abc=1.(1)求证：；(2)若a=b+c，求a的最小值.【解】(1)，当且仅当时等号成立.(2)依题意，，所以，当且仅当时等号成立.所以，所以的最小值为，此时.4．(2023·全国·高三专题练习）已知正数，，满足．(1)求的最大值；(2)证明：．【解】(1)由，当且仅当时，取得等号．又，所以．故当且仅当时，取得最大值1．(2)证明：要证，需证．因为，即，当且仅当时取得等号．故．考点3基本不等式中的恒成立问题[名师点睛]1．已知不等式恒成立求参数范围的一般方法是分离参数法，且有a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max，a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.2．求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本不等式的问题可考虑利用函数的单调性．[典例]1．(2023·全国·高三专题练习）若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】解：因为，所以，当且仅当即时取等号，因为恒成立，所以，即；故选：C2．(2023·全国·高三专题练习）设，，且恒成立，则的最大值是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】解：等价于，故得到则的最大值是4.故选：C.[举一反三]1．（2023·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号．由题意，得，即对任意的实数x恒成立，又，所以，即．故选：D．2．（2023·浙江·模拟预测）对任意正实数不等式恒成立，则（

）A．实数有最小值1 B．实数有最大值1C．实数有最小值 D．实数有最大值答案：C【解析】，故，，当时，不等式恒成立；当时，，，时等号成立，，故，故.故选：C.3．（多选）(2023·全国·高三专题练习）当，，时，恒成立，则的取值可能是（

）A． B． C．1 D．2答案：AB【解析】因为，，所以，当且仅当时，等号成立．因为．若恒成立，则，解得．故选：AB.4．(2023·全国·高三专题练习）不等式对任意正数x，y，z恒成立，则a的最大值是__________．答案：1【解析】因为，当时取等号，所以的最大值是，即，解得，所以a的最大值是1．故答案为：5．（2023·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数，，恒有，则实数的最小值是___________.答案：2【解析】解：因为，则，则，即，又，因为，所以，所以，即，当且仅当时，取等号，所以，所以，即实数的最小值是2.故答案为：2.6．(2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为_____．答案：2【解析】，当且仅当时取等号，，的最小值为2故答案为：2考点4基本不等式与其他专题综合[名师点睛]有关函数最值的实际问题的解题技巧1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．3．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．[典例]1．(2023·安徽安庆·二模（文））若函数在内单调递增，则实数的取值范围是___________.答案：【解析】因函数在内单调递增，则，，即，整理得，当时，则成立，，当时，，而，当且仅当，即时取“=”，则有，当时，，而，当且仅当，即时取“=”，则有，综上得，所以实数的取值范围是.故答案为：2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x2018＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2016)＝201