(人教A版2019选择性必修第一册)重难点题型精讲专题3.11抛物线的标准方程和性质(原卷版+解析)

专题3.11抛物线的标准方程和性质-重难点题型精讲1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.

(2)集合语言表示

设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：3．抛物线的几何性质抛物线的简单几何性质：4．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：

①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；

②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；

③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；

④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；

⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；

⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.5．与抛物线有关的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.【题型1动点的轨迹问题】【方法点拨】根据抛物线的定义，抛物线是平面内与一个定点F，和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹，因此只要动点满足抛物线的定义，就可以选择利用定义法求出其轨迹方程.【例1】(2023·上海市高三开学考试）在平面上，到点A1,0的距离等于到直线x+2y=3的距离的动点P的轨迹是（

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线【变式1-1】(2023·全国·高二课时练习）已知点M(2,2)，直线l:x−y−1=0，若动点P到l的距离等于PM，则点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．直线【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点Px,y到直线x=1的距离比它到定点−2,0的距离小1，则P的轨迹方程为（

A．y2=2x C．y2=−4x 【变式1-3】（2023·山东省滕州市高二阶段练习）若点P到点(0,2)的距离比它到直线y=−1的距离大1，则点P的轨迹方程为（

）A．y2=4x B．x2=4y C．【题型2利用抛物线的定义解题】【方法点拨】根据具体问题，利用抛物线的定义进行转化求解.【例2】(2023·云南·高二开学考试）若抛物线C:y2=pxp>0上的一点ApA．6 B．8 C．12 D．16【变式2-1】(2023·云南·高三阶段练习）已知抛物线D:y2=4x的焦点为F，准线为l，点P在D上，过点P作准线l的垂线，垂足为A，若PA=AFA．2 B．22 C．23【变式2-2】(2023·广东·高三阶段练习）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则|AF|+|BF|=A．4 B．5 C．6 D．8【变式2-3】(2023·全国·高三专题练习（理））已知O为坐标原点，抛物线x=14y2的焦点为F，点M在抛物线上，且MF=3，则MA．2 B．4716 C．23 【题型3抛物线的焦点坐标及准线方程】【方法点拨】求抛物线的焦点坐标及准线方程的步骤：第一步：把抛物线方程化为标准方程；第二步：明确抛物线开口方向；第三步：求出抛物线标准方程中参数p的值；第四步：写出抛物线的焦点坐标、准线方程.【例3】(2023·辽宁鞍山·一模）抛物线y=43xA．(0,13) B．(13,0)【变式3-1】(2023·全国·高二课时练习）抛物线y=−18xA．x=132 B．y=2 C．y=1【变式3-2】(2023·全国·高二课时练习）抛物线y=x2的焦点坐标是（A．0,1 B．1,0 C．0,14 【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）抛物线y2=2x的焦点到其准线的距离是（A．1 B．2 C．3 D．4【题型4求抛物线的标准方程】【方法点拨】①直接法：直接利用题中已知条件确定参数p.②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数p.③定义法：先判定所求点的轨迹符合抛物线的定义，进而求出方程.【例4】(2023·全国·高二课时练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M−1,2的抛物线方程为（

A．y2=4x C．x2=1【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）焦点在直线3x−4y−12=0上的抛物线的标准方程为（

）A．y2=16x或x2=16y C．y2=16x或x2=12y 【变式4-2】(2023·四川攀枝花·高二期末（理））焦点在y轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程是（

）A．x2=4y B．x2=2y C．【变式4-3】(2023·全国·高二课时练习）若抛物线y2=2px（p>0）上一点P（2，y0A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x【题型5与抛物线有关的最值问题】【方法点拨】求与抛物线有关的最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，解与抛物线有关的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，借助目标函数最值的求法解决.【例5】(2023·河南·高三开学考试（文））已知A,B是抛物线y2=−6x上的两点，且AB=11，则线段AB的中点到yA．72 B．4 C．92 【变式5-1】(2023·全国·高三专题练习）已知抛物线y2=16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C:x−62+A．4 B．6 C．8 D．10【变式5-2】(2023·云南模拟预测（理））已知点P为抛物线y2=−4x上的动点，设点P到l2:x=1的距离为d1，到直线x+y−4=0的距离为dA．52 B．522 C．2【变式5-3】(2023·全国·高二课时练习）已知抛物线x2=my焦点的坐标为F(0,1)，P为抛物线上的任意一点，B(2,2)，则|PB|+|PF|的最小值为（A．3 B．4 C．5 D．11【题型6与抛物线有关的实际应用问题】【方法点拨】①要解决这些实际问题中有关的计算，我们可以利用坐标法建立抛物线方程，利用抛物线的标准方程和其几何性质进行推理、运算.②解决此类问题要注意实际问题中的量与抛物线相关量之间的坐标转化.【例6】(2023·全国·高二课时练习）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知CD=30m，AB=60m，点D到直线AB的距离为150m，则此抛物线顶端OA．180m B．200m C．220m【变式6-1】(2023·湖南·高二期末）如图，某桥是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m，水面宽4m，那么水下降1m后，水面宽为（

）A．22m C．25m 【变式6-2】(2023·全国·高二课时练习）一种卫星接收天线如图（1）所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点F处，如图（2）所示.已知接收天线的口径AB为4.8m，深度为1m.若P为接收天线上一点，则点P与焦点F的最短距离为（A．0.72m B．C．2.44m D．【变式6-3】（2023·全国·高二课时练习）为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2m，镜深0.25m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点（A．0.5米 B．1米 C．1.5米 D．2米专题3.11抛物线的标准方程和性质-重难点题型精讲1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.

(2)集合语言表示

设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：3．抛物线的几何性质抛物线的简单几何性质：4．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：

①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；

②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；

③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；

④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；

⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；

⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.5．与抛物线有关的最值问题求解此类问题一般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.【题型1动点的轨迹问题】【方法点拨】根据抛物线的定义，抛物线是平面内与一个定点F，和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹，因此只要动点满足抛物线的定义，就可以选择利用定义法求出其轨迹方程.【例1】(2023·上海市高三开学考试）在平面上，到点A1,0的距离等于到直线x+2y=3的距离的动点P的轨迹是（

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线【解题思路】根据抛物线的定义判断即可.【解答过程】解：因为点A1,0不在直线x+2y=3则到点A1,0的距离等于到直线x+2y=3的距离的动点P的轨迹是以A直线x+2y=3为准线的抛物线；故选：D.【变式1-1】(2023·全国·高二课时练习）已知点M(2,2)，直线l:x−y−1=0，若动点P到l的距离等于PM，则点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．直线【解题思路】由抛物线的定义求解即可.【解答过程】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点P的轨迹是抛物线.故选：C.【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点Px,y到直线x=1的距离比它到定点−2,0的距离小1，则P的轨迹方程为（

A．y2=2x C．y2=−4x 【解题思路】根据抛物线的定义判断轨迹，再由抛物线焦点、准线得到方程即可.【解答过程】由题意知动点Px,y到直线x=2的距离与定点−2,0由抛物线的定义知，P的轨迹是以−2,0为焦点，x=2为准线的抛物线，所以p=4，轨迹方程为y2故选：D.【变式1-3】（2023·山东省滕州市高二阶段练习）若点P到点(0,2)的距离比它到直线y=−1的距离大1，则点P的轨迹方程为（

）A．y2=4x B．x2=4y C．【解题思路】将点P到点(0,2)的距离比它到直线y=−1的距离大1转化为点P到点(0,2)的距离等于它到直线y=−2的距离，根据抛物线的定义，即可求得点P的轨迹为抛物线，进而可求出点P的轨迹方程．【解答过程】∵点P到点(0,2)的距离比它到直线y=−1的距离大1，∴点P到点(0,2)的距离等于它到直线y=−2的距离，∴点P的轨迹是以0,2为焦点，y=−2为准线的抛物线，则点P的轨迹方程是x2故选：D.【题型2利用抛物线的定义解题】【方法点拨】根据具体问题，利用抛物线的定义进行转化求解.【例2】(2023·云南·高二开学考试）若抛物线C:y2=pxp>0上的一点ApA．6 B．8 C．12 D．16【解题思路】根据题意，结合跑线的定义得到xA【解答过程】由题意，抛物线C:y2=px根据抛物线的定义，可得xA+p故选：D.【变式2-1】(2023·云南·高三阶段练习）已知抛物线D:y2=4x的焦点为F，准线为l，点P在D上，过点P作准线l的垂线，垂足为A，若PA=AFA．2 B．22 C．23【解题思路】画出图像，利用抛物线的定义求解即可.【解答过程】由题知F1,0，准线l:x=−1，设与x轴的交点为C，点P在D由抛物线的定义及已知得PA=AF=解法1：因为∠APF=π3,AP∥x轴，所以直线PF斜率k=由y2=4xy=3(x−1)所以PF=解法2：在Rt△ACF中，CF=2,∠AFC=60解法3：过F作FB⊥AP于点B，则B为AP的中点，因为AB=2，则AP故选：D.【变式2-2】(2023·广东·高三阶段练习）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则|AF|+|BF|=A．4 B．5 C．6 D．8【解题思路】根据抛物线的定义结合已知可求得结果.【解答过程】设Ax1,y1可得x1所以|AF|+|BF|=x1故选：C．【变式2-3】(2023·全国·高三专题练习（理））已知O为坐标原点，抛物线x=14y2的焦点为F，点M在抛物线上，且MF=3，则MA．2 B．4716 C．23 【解题思路】设点M的坐标，由焦半径公式列出方程，求出点M的横坐标，从而求出纵坐标，得到答案.【解答过程】由题意得y2所以准线为x=−1，又因为|MF|=3，设点M的坐标为x0则有|MF|=x解得：x将x0=2代入解析式得：y0所以M点到x轴的距离为22故选：D．【题型3抛物线的焦点坐标及准线方程】【方法点拨】求抛物线的焦点坐标及准线方程的步骤：第一步：把抛物线方程化为标准方程；第二步：明确抛物线开口方向；第三步：求出抛物线标准方程中参数p的值；第四步：写出抛物线的焦点坐标、准线方程.【例3】(2023·辽宁鞍山·一模）抛物线y=43xA．(0,13) B．(13,0)【解题思路】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可【解答过程】由题意，抛物线x2=故选：C.【变式3-1】(2023·全国·高二课时练习）抛物线y=−18xA．x=132 B．y=2 C．y=1【解题思路】先将抛物线方程化成标准式，即可解出．【解答过程】y=−18x2可化为x2故选：B．【变式3-2】(2023·全国·高二课时练习）抛物线y=x2的焦点坐标是（A．0,1 B．1,0 C．0,14 【解题思路】化为标准方程，利用焦点坐标公式求解.【解答过程】抛物线的标准方程为x2所以抛物线的焦点在y轴上，且p=12，所以所以抛物线的焦点坐标为0,1故选：C.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）抛物线y2=2x的焦点到其准线的距离是（A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】求出抛物线的焦点坐标与准线方程，即可得解；【解答过程】解：抛物线y2=2x的焦点为F1所以焦点到准线的距离d=1故选：A.【题型4求抛物线的标准方程】【方法点拨】①直接法：直接利用题中已知条件确定参数p.②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定参数p.③定义法：先判定所求点的轨迹符合抛物线的定义，进而求出方程.【例4】(2023·全国·高二课时练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点M−1,2的抛物线方程为（

A．y2=4x C．x2=1【解题思路】设出抛物线方程，利用待定系数法求解作答.【解答过程】依题意，设抛物线方程为y2=mx,m≠0，于是得22所以所求抛物线方程是y2故选：B.【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）焦点在直线3x−4y−12=0上的抛物线的标准方程为（

）A．y2=16x或x2=16y C．y2=16x或x2=12y 【解题思路】分别求得直线3x−4y−12=0与x轴，y轴的交点得到抛物线的焦点即可.【解答过程】解：直线3x−4y−12=0与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3），当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为y2当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为x2故选：B.【变式4-2】(2023·四川攀枝花·高二期末（理））焦点在y轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程是（

）A．x2=4y B．x2=2y C．【解题思路】直接由焦点位置及焦点到准线的距离写出标准方程即可.【解答过程】由焦点在y轴的正半轴上知抛物线开口向上，又焦点到准线的距离为2，故抛物线的标准方程是x2故选：A.【变式4-3】(2023·全国·高二课时练习）若抛物线y2=2px（p>0）上一点P（2，y0A．y2=2x B．y2=4x C．y2=6x D．y2=8x【解题思路】由抛物线的定义可解答.【解答过程】抛物线y2=2px上一点P2,y0到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，∴p2+2=4故选：D.【题型5与抛物线有关的最值问题】【方法点拨】求与抛物线有关的最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，解与抛物线有关的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，借助目标函数最值的求法解决.【例5】(2023·河南·高三开学考试（文））已知A,B是抛物线y2=−6x上的两点，且AB=11，则线段AB的中点到yA．72 B．4 C．92 【解题思路】过A,B作准线的垂线，设AB的中点为E，过E作y轴的垂线，根据梯形中位线和抛物线的定义可知EG=【解答过程】由抛物线方程知其焦点为F−32分别过A,B作准线的垂线，垂足分别为C,D，AC与BD分别交y轴于M,N，则AM=AC−设AB的中点为E，过E作y轴的垂线，垂足为G，∴EG=12AM∴线段AB的中点到y轴的距离的最小值为4．故选：B.【变式5-1】(2023·全国·高三专题练习）已知抛物线y2=16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C:x−62+A．4 B．6 C．8 D．10【解题思路】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离.【解答过程】如图，过点P向准线作垂线，垂足为A，则PF=当CP垂直于抛物线的准线时，CP+此时线段CP与圆C的交点为Q，因为准线方程为x=−4，C6,2半径为2，所以PQ+PF的最小值为故选：C.【变式5-2】(2023·云南模拟预测（理））已知点P为抛物线y2=−4x上的动点，设点P到l2:x=1的距离为d1，到直线x+y−4=0的距离为dA．52 B．522 C．2【解题思路】直线l2:x=1为抛物线y2=−4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线【解答过程】直线l2:x=1为抛物线y2=−4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点如下图所示，此时d1+d2最小，为点∵F(−1,0)，则d1故选：B．【变式5-3】(2023·全国·高二课时练习）已知抛物线x2=my焦点的坐标为F(0,1)，P为抛物线上的任意一点，B(2,2)，则|PB|+|PF|的最小值为（A．3 B．4 C．5 D．11【解题思路】先根据焦点坐标求出m，结合抛物线的定义可求答案.【解答过程】因为抛物线x2=my焦点的坐标为0,1，所以m4记抛物线的准线为l，作PN⊥l于N，作BA⊥l于A，则由抛物线的定义得|PB|+|PF|=|PB|+|PN|⩾|BA|=3，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.【题型6与抛物线有关的实际应用问题】【方法点拨】①要解决这些实际问题中有关的计算，我们可以利用坐标法建立抛物线方程，利用抛物线的标准方程和其几何性质进行推理、运算.②解决此类问题要注意实际问题中的量与抛物线相关量之间的坐标转化.【例6】(2023·全国·高二课时练习）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知CD=30m，AB=60m，点D到直线AB的距离为150m，则此抛物线顶端OA．180m B．200m C．220m【解题思路】建立直角坐标系，待定系数法求抛物线方程，即可求解O到AB