高中数学选择性必修三课件：微专题1 计数问题的常用方法(人教A版)

第六章计数原理微专题1计数问题的常用方法

有关计数问题在考试中经常直接和间接的考查，其命题常以实际问题为背景，考查排列组合的综合应用，如均分或不均分问题，特殊元素或位置问题、相邻或不相邻问题等.求解的策略是先组合后排列，同时按元素的性质分类或按事情的发生过程分步，必要时可构造模型，或画树形图求解.一、“多面手”问题例1

某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？解由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.方法一

分两类.第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法.此时共有6×3＝18(种)选法.第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法.所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法.方法二

设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语.第一类：甲入选.(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2(种)选法；(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6(种)选法.故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种).第二类：甲不入选.可分两步.第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法.由分步乘法计数原理，有6×2＝12(种)不同的选法.综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法.反思感悟用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示具体意义如下：从A到B算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示.所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋m4m5，“类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可.二、“相邻”与“不相邻”问题例2

把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有____种.36解析记其余两件产品为D，E.将A，B视为一个元素，先与D，E进行排列，二、“相邻”与“不相邻”问题例2

把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有____种.36解析记其余两件产品为D，E.将A，B视为一个元素，先与D，E进行排列，反思感悟解排列组合问题时常以元素(或位置)为主体，即先考虑特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素，再对取出的元素进行排列.三、含“至多”“至少”的问题例3某校举办诗歌朗诵比赛，该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为A.720 B.768 C.810 D.816√则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加的情况有840－24＝816(种)；则满足题意的朗诵顺序有816－48＝768(种).故选B.反思感悟求解含有附加条件的计数问题的两种方法通常选用直接法或间接法，解题时应注意对“至少”“至多”“恰好”等词的含义的理解.对于涉及“至少”“至多”等词的计数问题，既可以从反面情形考虑，即间接求解，也可以通过分类讨论直接求解.四、组数问题例4有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？四、组数问题例4有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解方法一

(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，五、分组分配问题例5将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少1本的不同分法共有______种.(用数字作答)1560解析把6本不同的书分成4组，每组至少1本的分法有2类.第一类，采用“3,1,1,1”的分法，即有1组3本，其余3组每组1本.第二类，采用“2,2,1,1”的分法，即有2组每组2本，其余2组每组1本.所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种).反思感悟本题属于局部均分问题，解题时需注意，若有m组元素个数相等，则分组时应除以

，分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数.例66个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数.(1)每个盒子都不空；解先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，(2)恰有一个空盒子；解恰有一个空盒子，插板分两步进行.然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，(3)恰有两个空盒子.解恰有两个空盒子，插板分两步进行.如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.反思感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”，每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法，隔板法专门解决相同元素的分配问题.(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有

种方法，可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块板.六、涂色问题例7如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色.现在有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有____种.(用数字作答)72解析方法一(以位置为主考虑)第一步涂①，有4种着色方法.第二步涂②，有3种着色方法.第三步涂③，有2种着色方法.第四步涂④时分两类，第一类用余下的颜色，有1种着色方法，第五步涂⑤，有1种着色方法；第二类④与②同色，有1种着色方法，第五步涂⑤，有2种着色方法.所以不同的着色方法共有4×3×2×(1×1＋1×2)＝72(种).方法二(以颜色为主考虑)分两类.所以共有着色方法48＋24＝72(种).备用工具&资料解析方法一(以位置为主考虑)第一步涂①，有4种着色方法.第二步涂②，有3种着色方法.第三步涂③，有2种着色方法.第四步涂④时分两类，第一类用余下的颜色，有1种着色方法，第五步涂⑤，有1种着色方法；第二类④与②同色，有1种着色方法，第五步涂⑤，有2种着色方法.所以不同的着色方法共有4×3×2×(1×1＋1×2)＝72(种).(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有

种方法，可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块板.反思感悟用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示解由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.方法一

分两类.第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法.此时共有6×3＝18(种)选法.第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法.所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法.二、“相邻”与“不相邻”问题例2

把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不