中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题三十六椭圆(原卷版+解析)

专题三十六椭圆思维导图知识要点知识要点1．椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程

(a>b>0)

(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤x≤b－b≤y≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点A1(－a，0)，A2(aB1(0，－b)，B2(0，bA1(0，－a)，A2(0，aB1(－b，0)，B2(b轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1焦距|F1F离心率e＝∈(0，1)

a，b，c的关系c3.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l：y＝kx＋n，圆锥曲线：F(x，y)＝0，它们的交点为P1(x1，y1)，P2(x2由消去y得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，Δ＝b2设A(x1，y1)，B(x2，y若联立消去x得y的一元二次方程：ay2设A(x1，y1)，B(x2，4．中点弦问题(求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程)的几种方法(1)点差法：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程．(2)设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，用根与系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k，然后写出弦的方程．(3)设弦的两个端点分别为(x1，y1)，(x2，y5．椭圆中过焦点三角形的周长与面积周长问题：(1)如图所示，△AF1(2)如图所示，△ABF2面积公式：在椭圆＝1(a＞b＞0)中，焦点分别为F1，F2，点A是椭圆上任意一点，∠F1AF2＝θ，则S△F1A典例解析典例解析【例1】设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是FA．4B．3C．2D．5【变式训练1】已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为()A．2B．3C．5D．7【例2】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且∠F1【变式训练2】若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【例3】求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点P(3，－2)；(2)焦点坐标分别为(0，4)，(0，－4)，a＝5；(3)a＋c＝10，a－c＝4.【变式训练3】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝，且经过(1，2)，求椭圆的标准方程．【例4】已知椭圆E：(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，直线l过点(－1，0)交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点．求椭圆E的标准方程．【变式训练4】已知椭圆E：(a>b>0)的离心率为，右焦点到直线y＝x的距离为，求椭圆E的方程．【例5】F1，F2是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1FA．7B.C.D.【变式训练5】椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PFA．20B．22C．28D．24高考链接高考链接1．(四川省2016年对口升学考试试题)椭圆的离心率为()A.B.C.D.2．(四川省2019年对口升学考试试题)椭圆的焦点坐标为()A．(－1，0)，(1，0)B．(－，0)，(，0)C．(－2，0)，(2，0)D．(－，0)，(，0)3．(四川省2017年对口升学考试试题)点P到椭圆上的点的最远距离是________．4．(四川省2015年对口升学考试试题)已知点A(0，2)，B(－2，－2)．(1)求过A，B两点的直线l的方程；(2)已知点A在椭圆C:(a>b>0)上，且(1)中直线l过椭圆C的左焦点，求椭圆C的标准方程．同步精练同步精练选择题1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．2B．6C．4D．122．已知椭圆长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()A．4B．5C．7D．83．椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1A.B.C.D.4．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为()A.B.C.D.5．若一个椭圆的长轴长、短轴长之比为4∶3，则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.6．椭圆的两焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，过F17．若椭圆x2＋my2＝1(m>1)的离心率为8．已知椭圆的离心率是e＝，椭圆的长轴在y轴上，则a＝______9．过点(－3，2)且与有相同焦点的椭圆方程为______________．设椭圆C：(a>b>0)过点(0，4)，离心率为.求椭圆C的方程．11．已知椭圆的中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点P1(，1)，P2(，)，求椭圆的方程．12．一个椭圆以坐标轴为对称轴，一焦点为(0，5)且截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，求椭圆的标准方程．专题三十六椭圆思维导图知识要点知识要点1．椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程

(a>b>0)

(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤x≤b－b≤y≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点A1(－a，0)，A2(aB1(0，－b)，B2(0，bA1(0，－a)，A2(0，aB1(－b，0)，B2(b轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1焦距|F1F离心率e＝∈(0，1)

a，b，c的关系c3.直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线l：y＝kx＋n，圆锥曲线：F(x，y)＝0，它们的交点为P1(x1，y1)，P2(x2由消去y得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，Δ＝b2设A(x1，y1)，B(x2，y若联立消去x得y的一元二次方程：ay2设A(x1，y1)，B(x2，4．中点弦问题(求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程)的几种方法(1)点差法：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程．(2)设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，用根与系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k，然后写出弦的方程．(3)设弦的两个端点分别为(x1，y1)，(x2，y5．椭圆中过焦点三角形的周长与面积周长问题：(1)如图所示，△AF1(2)如图所示，△ABF2面积公式：在椭圆＝1(a＞b＞0)中，焦点分别为F1，F2，点A是椭圆上任意一点，∠F1AF2＝θ，则S△F1A典例解析典例解析【例1】设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(AA．4B．3C．2D．5【思路点拨】由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|P【变式训练1】已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为(D)A．2B．3C．5D．7【提示】点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10，10－3＝7.【例2】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF【思路点拨】由题意设椭圆的方程为，|PF1|＝m，|PF2在△PF14c2＝m2＋＝m+n2＝4a2－3mn≥4a2－3a2∴，即e＝【变式训练2】若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则椭圆的离心率为(B)A.B.C.D.【提示】由题意知设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c.则2a＋2c＝4b，即a＋c＝2b.a+c2＝4b所以3a2－5c2＝2ac同除a2∴e＝或e＝－1(舍去)．【例3】求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点P(3，－2)；(2)焦点坐标分别为(0，4)，(0，－4)，a＝5；(3)a＋c＝10，a－c＝4.解：(1)设椭圆的方程为，由题意得c＝2，∴a2－b2＝4①，又P(3，－2)在椭圆上，∴②，由①②联立得a2＝36，b2＝32，故椭圆方程为(2)焦点在y轴上，设椭圆的方程为∴a＝5，c＝4，∴b2＝9，∴椭圆的方程为(3)∵解得∴椭圆的标准方程为或【思路点拨】求出椭圆的几何量a，b，即可求出椭圆的标准方程．【变式训练3】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝，且经过(1，2)，求椭圆的标准方程．解：设椭圆的方程为∵椭圆的离心率e＝∴∴①，又因为椭圆经过(1，2)，∴②，由①②得a2＝49，b2∴所求椭圆的标准方程为.【例4】已知椭圆E：(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，直线l过点(－1，0)交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点．求椭圆E的标准方程．解：由题意得b＝1，由得∴椭圆E的标准方程为【思路点拨】运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程组可得a，b，进而得到椭圆方程．【变式训练4】已知椭圆E：(a>b>0)的离心率为，右焦点到直线y＝x的距离为，求椭圆E的方程．解：右焦点(c，0)，则又，a2＝b2＋c2，联立解得c＝，a＝2，b2＝2.∴椭圆E的方程为【例5】F1，F2是椭圆的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AA．7B.C.D.【思路点拨】易知|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6，∴|A由余弦定理知，|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|即(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴|AF1【变式训练5】椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为(B)A．20B．22C．28D．24【提示】|PF1|＋|PF2|＝14，(|PF1|＋|PF2|)2＝196①，|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝100②，两式相减得2|PF1|·|PF高考链接高考链接1．(四川省2016年对口升学考试试题)椭圆的离心率为(D)A.B.C.D.【提示】由e2＝∴e＝2．(四川省2019年对口升学考试试题)椭圆的焦点坐标为(A)A．(－1，0)，(1，0)B．(－，0)，(，0)C．(－2，0)，(2，0)D．(－，0)，(，0)【提示】由c23．(四川省2017年对口升学考试试题)点P到椭圆上的点的最远距离是________．【提示】设椭圆上最远点的坐标为(x0，y0)．则距离d＝当y0＝－时，距离最远为4．(四川省2015年对口升学考试试题)已知点A(0，2)，B(－2，－2)．(1)求过A，B两点的直线l的方程；(2)已知点A在椭圆C:(a>b>0)上，且(1)中直线l过椭圆C的左焦点，求椭圆C的标准方程．解(1)直线l过A(0，2)，B(－2，－2)，则k＝2，则直线的方程为y－2＝2x即2x－y＋2＝0.(2)由(1)知直线的方程为2x－y＋2＝0.∴直线与x轴的交点为(－1，0)，又直线过椭圆左焦点(－1，0)．设椭圆的焦距为2c，则c＝1，∵点A(0，2)在椭圆上，∴b＝2，根据a2＝b2＋c2∴a＝故椭圆C的标准方程为同步精练同步精练选择题1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(C)A．2B．6C．4D．12【提示】由椭圆的定义知|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a＝42．已知椭圆长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(D)A．4B．5C．7D．8【提示】将椭圆的方程转化为标准形式为显然m－2＞10－m，即m＞6，且解得m＝8.3．椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2A.B.C.D.【提示】设椭圆的标准方程为(a＞b＞0)．由点(2,)在椭圆上知又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，，又c24．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为(C)A.B.C.D.【提示】依题意设椭圆G的方程为(a＞b＞0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a＝12，∴a＝6.∵椭圆的离心率为，∴∴解得b2＝9，∴椭圆G的方程为5．若一个椭圆的长轴长、短轴长之比为4∶3，则该椭圆的离心率是(A)A.B.