苏科版七年级数学下册满分冲刺卷特训09期中解答题(题型归纳33题第7-9章)(原卷版+解析)

特训09期中解答题（题型归纳33题，第7-9章）一、解答题1．计算：(1)；(2)．2．计算(1)(2)(3)；(4)3．计算：(1)(2)4．把下列各式分解因式：(1)；(2)x（x﹣1）﹣3x+4；(3)；(4)．5．因式分解：(1)(2)(3)(4)6．（1）先化简，再求值：，其中，．（2）已知，求的值．7．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．(5)先化简再求值：其中8．算一算：(1)；(2)；(3)；(4)已知，求的值；(5)已知，求x的值．9．运用整式乘法公式先化简，再求值．其中，a＝－2，b＝1．10．已知化简的结果中不含项和项．(1)求，的值；(2)若是一个完全平方式，求的值．11．例：已知，求的值．解：因为，所以，则，所以．观察以上解答，解答以下问题：已知，求下列各式的值．(1)；(2)．12．在比较和的大小时，我们可以这样来处理：∵==，==，16＜27，∴＜，即＜．请比较以下两组数的大小：(1)与；(2)与．13．阅读材料：若，求的值．解：根据你的观察，探究下面的问题：(1)，则，．(2)已知，求的值．(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长．14．阅读下列解答过程：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为则，，∴，∴∴另一个因式为，m的值为-21．请依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值．15．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）(1)上述操作能验迁的等式是（请选择正确的选项）A．a-ab=a（a-b）

B．a-2ab+b=（a-b）

C．a+ab=a（a+b）

D．a-b=（a+b）（a-b）(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知9a-b=36，3a+b=9则3a-b=②计算：16．已知对于任意实数x代数式的最小值是0，代数式，当时的最小值是0．(1)求代数式的值是最小值时x的值．(2)判断代数式的值是有最大值，还是最小值，并求出代数式的最大值或者最小值17．如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．(1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于多少？________．(2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是________；(3)若，，求的值；(4)拓展应用：若，求的值．18．观察下列各式：；；；．(1)根据上面各式的规律可得______．(2)根据上面各式的规律可得：______．(3)若，求的值．19．你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．探究发现：先填空：______；______；______；…由此猜想：______．拓展应用：利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？①求的值；②若，求等于多少？20．数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法．(1)在学习乘法公式时，我们通过对图1的面积“算两次”得到．请设计一个图形说明成立；（画出示意图，并标上字母）(2)如图2，两个直角边长分别为，斜边长为的直角三角形和一个两直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现直角三角形的三边长有什么数量关系吗？（注：写出解答过程）(3)根据（2）中的结论回答，当时，的值为．21．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到．请回答下列问题：(1)写出图②中所表示的数学等式______；(2)猜测______．(3)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；(4)在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．22．如图，点D，E是线段上的点，点F是线段上的点，，点H是上的点，且．求证：．请将下面的证明过程补充完整：证明：∵，∴______．（理由：_________）∵，∴_____．∴____________．（理由：______）∴．23．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．(1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．图1：____________，图2：____________，图3：____________；(2)用4个全等的长和宽分别为，的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系；(3)根据（1），（2）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知，，求代数式①；②的值．24．如图，过射线上的点和点分别向两侧作射线，，，．已知，．过点作，交于点，且平分．(1)求的度数．(2)若，求证．25．如图，和的平分线交于点，的延长线交于点，且．(1)求证：；(2)猜想与的关系并证明．26．动手操作：(1)如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接，．①线段平移的距离是________；②四边形的面积是________；(2)如图2，在的网格中，将向右平移3个单位长度得到．③画出平移后的；④连接，，多边形的面积是________(3)拓展延伸：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是________．27．如图1，已知，．(1)求证：；(2)若点，在线段上，且满足平分，平分，如图2，求的度数；(3)若点在直线上，且满足，求的值（请自己画出正确图形，并解答）28．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（，）”为主题开展数学活动．(1)如图1，三角尺的角的顶点在上．若，则的度数为．(2)如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系．(3)如图3，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上．若，，请直接写出与的数量关系（用含，的式子表示）．29．如图①，线段相交于点O，连接．我们把形如图①的图形称之为“8”字形．如图②，在图①的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与分别相交于点M、N．解答下列问题：(1)在图①中，、、、之间的数量关系为______；(2)仔细观察，在图②中“8字形”有______个；(3)在图②中，若，，试求的度数；(4)若图②中和为任意角，其他条件不变，则与、之间的数量关系为______．30．已知：如图，中，是外角的平分线，与的延长线交于点E．(1)如图1，若，，求的度数；(2)如图2，作于F，若，求的度数．31．如图，，，，．(1)直线与有怎样的位置关系？说明理由；(2)若，求的度数．32．探究题：(1)【基本模型】：如图1，、为的外角，、的平分线交于点O，请你写出与的数量关系，并说明理由．(2)【变式应用】：如图2，已知不平行，、分别是和的角平分线，又、分别是和的角平分线．①若，在点A、B运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．②若，，求度数．33．如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且．(1)判断直线与直线是否平行，并说明理由；(2)如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，．①当点在点的右侧时，若，求的度数；②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．特训09期中解答题（题型归纳33题，第7-9章）一、解答题1．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先计算积的乘方，然后计算单项式乘以单项式即可；（2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式．【点睛】本题主要考查了积的乘方，单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．2．计算(1)(2)(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】(1)根据底数不变，指数相加计算即可．(2)根据单项式乘以多项式计算即可．(3)根据积的乘方，单项式乘以多项式计算即可．(4)根据单项式乘以多项式，单项式乘以单项式计算即可．【解析】（1）原式．（2）原式．（3）原式．（4）原式．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，整式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键．3．计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）分别根据积的乘方和负整数指数幂的运算法则、单项式乘单项式运算法则、单项式除以单项式运算法则求解即可；（2）利用多项式乘以多项式运算法则和整式加减运算法则求解即可．【解析】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查积的乘方、负指数幂的乘方、整式的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解答的关键．4．把下列各式分解因式：(1)；(2)x（x﹣1）﹣3x+4；(3)；(4)．【答案】(1)3（a﹣b）（2a﹣2b+1）(2)(3)(4)【分析】（1）利用提公因式法分解；（2）先利用乘法法则化简整式，再利用完全平方公式因式分解；（3）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解；（4）先提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解．（1）解：＝3（a﹣b）[2（a﹣b）+1]＝3（a﹣b）（2a﹣2b+1）（2）解：x（x﹣1）﹣3x+4（3）解：（4）解：【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．5．因式分解：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；（2）利用完全平方公式，进行分解即可解答；（3）先利用平方差公式，再利用十字相乘法进行分解即可解答；（4）利用因式分解﹣分组分解法，进行分解即可解答．（1）解：；（2）；（3）；（4）【点睛】本题考查了因式分解﹣分组分解法，提公因式法与公式法，熟练掌握各种因式分解的方法是解题的关键．6．（1）先化简，再求值：，其中，．（2）已知，求的值．【答案】（1），27；（2）11．【分析】（1）利用平方差公式、完全平方公式计算，合并同类项，再代入数值即可求解；（2）利用多项式除以单项式、多项式的乘法法则计算，再利用非负数的性质求出a、b的值，代入计算即可求解．【解析】解：（1），当，时，原式；（2），∵，∴，，∴原式．【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．(5)先化简再求值：其中【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)，．【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；（2）先算乘方，再算乘除，然后进行计算即可；（3）分别利用单项式乘多项式及多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可；（4）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行计算即可解答；（5）先利用整式的混合运算法则化简，再代入数据计算即可．【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：，当时，原式．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．8．算一算：(1)；(2)；(3)；(4)已知，求的值；(5)已知，求x的值．【答案】(1)(2)(3)(4)128(5)6【分析】）（1）运用同底数幂乘法公式和幂的乘方公式运算，再合并即可；（2）运用幂的乘方和积的乘方公式运算即可；（3）先确定符号，再用同底数幂乘法公式运算即可；（4）逆用同底数幂乘法公式和幂的乘方公式，再整体代入即可；（5）将等式两边转化成同底数幂，再让指数相等得到一个一元一次方程，解之即可．【解析】（1）解：原式；（2）原式；（3）原式；（4）∵，∴；（5）∵，即，∴，∴，解得：．【点睛】本题考查了同底数幂乘法公式，积的乘方公式，幂的乘方公式，灵活掌握这三个公式正逆用是解题的关键．9．运用整式乘法公式先化简，再求值．其中，a＝－2，b＝1．【答案】，-15【分析】先根据平方差公式去括号，再合并同类项，然后把a、b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【解析】解：

，当a=-2，b＝1时，原式．【点睛】本题考查了整式的混合运算一化简求值，解题的关键是掌握平方差公式并准确熟练地进行计算．10．已知化简的结果中不含项和项．(1)求，的值；(2)若是一个完全平方式，求的值．【答案】(1)(2)25【分析】（1）先将原式化简，再根据结果中不含项和项可得，即可求解；（2）先将原式化简，再根据原式是一个完全平方式，把化简后的结果中作为一个整体，再变形为完全平方形式，即可求解．【解析】（1）解：，∵化简的结果中不含项和项，∴，解得：；（2）解：∵是一个完全平方式，∴，∴，解得：．【点睛】本题主要考查了整式乘法运算中的无关项题，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，不含某一项就是化简后该项的系数等于0是解题的关键．11．例：已知，求的值．解：因为，所以，则，所以．观察以上解答，解答以下问题：已知，求下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)2【分析】（1）仿照题意根据完全平方公式先求出，再根据进行求解即可；（2）先得到，再将所求式子变形为，然后根据条件式进行转化求解即可．【解析】（1）解：，，则，，．（2）解：，，即：，．【点睛】本题主要考查代数式的求值和完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式以及整体代入思想方法，是解题的关键．12．在比较和的大小时，我们可以这样来处理：∵==，==，16＜27，∴＜，即＜．请比较以下两组数的大小：(1)与；(2)与．【答案】(1)；(2)【分析】（1）直接利用已知将各数转化为次数相等的数进而比较得出即可；（2）逆用幂的乘方的运算性质将它们的指数变得相同，然后根据底数较大的其幂也较大（都是正数时），得出结果．【解析】（1）解：∵，，又∵16＜27，∴，即；（2）解：∵，，，又∵125＜243＜256，∴，即．【点睛】本题主要考查了幂的大小比较的方法．一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数．13．阅读材料：若，求的值．解：根据你的观察，探究下面的问题：(1)，则，．(2)已知，求的值．(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）通过完全平方公式进行变式得，然后由非负数性质求得结果；（2）由得，然后由非负数性质求得结果；（3）把两个方程通过变式得，然后由非负数性质求得a、c，进而得b，便可求得三角形的周长．【解析】（1）解：由，得，∵≥0，，∴a-3=0，b=0，∴a=3，b=0．故答案为：3；0．（2）由得，∴x-y=0，y-4=0，∴x=y=4，∴=16；（3）∵a+b=8，∴b=8-a，∵，∴，∴，∴a-4=0，c-5=0，∴a=4，c=5，∴b=4，∴△ABC的周长为a+b+c=4+4+5=13．【点睛】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性，理解阅读材料中的解题思路是解题的关键．14．阅读下列解答过程：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为则，，∴，∴∴另一个因式为，m的值为-21．请依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值．【答案】另一个因式为x＋7，k的值为﹣14．【分析】利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，利用多项式相等，对应项或对应项的系数相等进而得出方程组，可得答案．【解析】解：设另一个因式为（x+m），由题意，得：x2+5x+k＝（x﹣2）（x+m），则x2+5x+k＝x2+（m﹣2）x﹣2m，∴，解得，∴另一个因式为x＋7，k的值为﹣14．【点睛】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题的关键．15．如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）(1)上述操作能验迁的等式是（请选择正确的选项）A．a-ab=a（a-b）

B．a-2ab+b=（a-b）

C．a+ab=a（a+b）

D．a-b=（a+b）（a-b）(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知9a-b=36，3a+b=9则3a-b=②计算：【答案】(1)D(2)①4；②【分析】（1）用两种方法表示阴影部分的面积即可．（2）①利用（1）中得到的平方差公式计算即可；②根据平方差公式可进行求解．【解析】（1）解：图1中阴影部分的面积，图②中阴影部分的面积．．故选D．（2）解：①，3a+b=9，，．故答案为：4．②．【点睛】本题主要考查平方差公式及其应用，用两种方法表示同一个图形面积，再用所得公式完成计算是求解本题的关键．16．已知对于任意实数x代数式的最小值是0，代数式，当时的最小值是0．(1)求代数式的值是最小值时x的值．(2)判断代数式的值是有最大值，还是最小值，并求出代数式的最大值或者最小值【答案】(1)(2)有最大值，最大值为【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，得出，即可求解；（2）根据完全平方公式因式分解，进而得出，根据，即可求解．【解析】（1）解：∵∴时，最小值为0；（2）解：∵∵∴，有最大值，最大值为【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意凑出平方项是解题的关键．17．如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．(1)你认为图2中阴影部分的正方形的边长等于多少？________．(2)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是________；(3)若，，求的值；(4)拓展应用：若，求的值．【答案】(1)(2)(3)16；(4)．【分析】（1）由图2可知，阴影部分的正方形的边长为；（2）根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含a和b的代数式表示可得出答案；（3）由（1）可得出，整体代入数据即可得出答案；（4）设，，则，，利用完全平方公式即可求解．【解析】（1）解：由图2可知，阴影部分的正方形的边长为；故答案为：；（2）解：大正方形的边长为，阴影部分的正方形的边长为，小长方形的长为b，宽为a，∴大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为，由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形的面积之和，即．故答案为：；（3）解：∵，，∴；（4）解：设，，∵，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，理解图形中各部分面积之间的关系是解题关键．18．观察下列各式：；；；．(1)根据上面各式的规律可得______．(2)根据上面各式的规律可得：______．(3)若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）分析数据的规律直接求解即可．（2）分析数据的规律直接求解即可．（3）分析数据的规律直接求解即可．【解析】（1），故答案为：；（2），故答案为：；（3）∵，又∵，∴，∴．【点睛】此题考查多项式乘法中的规律性问题，解题关键是将推论出来的规律用来直接求解．19．你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．探究发现：先填空：______；______；______；…由此猜想：______．拓展应用：利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？①求的值；②若，求等于多少？【答案】探究发现：；拓展应用：①；②．【分析】探究发现：利用多项式乘以多项式法则及平方差公式化简即可得到结果，再归纳出规律即可；拓展应用：①利用归纳总结得到，即可求出所求式子的结果；②利用得出的结论可得，从而可得到结果．【解析】探究发现：；；；……由此猜想：，故答案为：；拓展应用：①，由于，∴；②∵∴∴，∴．【点睛】本题考查的是多项式的乘法运算中的规律探究，掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律；（2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题．20．数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学方法．(1)在学习乘法公式时，我们通过对图1的面积“算两次”得到．请设计一个图形说明成立；（画出示意图，并标上字母）(2)如图2，两个直角边长分别为，斜边长为的直角三角形和一个两直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．试用两种不同的方法计算梯形的面积，你能发现直角三角形的三边长有什么数量关系吗？（注：写出解答过程）(3)根据（2）中的结论回答，当时，的值为．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析(3)100【分析】（1）根据正方形的面积画图；（2）根据梯形的面积的两种计算方法得出等式，再化简即可得到答案；（2）代入（2）中的等式计算即可得到答案．【解析】（1）解：图形如下：；（2）解：梯形的面积为：，梯形的面积也可以表示为：，，；（3）解：当时，由（2）得：．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，用两种方法表示图形的面积是解题的关键．21．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到．请回答下列问题：(1)写出图②中所表示的数学等式______；(2)猜测______．(3)利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值；(4)在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)48(4)该三角形为等边三角形，理由见解析【分析】（1）根据大长方形面积等于其内部三个小正方形面积加上6个小长方形的面积进行求解即可；（2）仿照题意画出图形求解即可；（3）先求出，，再把这2个等式代入（1）所求等式中求解即可；（4）由（3）可得，进而推出，理由非负数的性质即可推出，则该三角形是等边三角形．【解析】（1）解：由题意得，，故答案为：（2）解：由下图可得：，故答案为：；（3）解：∵，，∴，，∵，∴；（4）解：该三角形为等边三角形，理由如下：∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴该三角形是等边三角形．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式与图形面积，因式分解的应用，非负数的性质等等，正确理解题意，数形结合是解题的关键．22．如图，点D，E是线段上的点，点F是线段上的点，，点H是上的点，且．求证：．请将下面的证明过程补充完整：证明：∵，∴______．（理由：_________）∵，∴_____．∴____________．（理由：______）∴．【答案】；两直线平行，同旁内角互补；；；；内错角相等，两直线平行【分析】运用平行线的性质和判定定理进行推理即可．【解析】∵，∴．（理由：两直线平行，同旁内角互补）∵，∴．∴．（理由：内错角相等，两直线平行）∴．故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；；；；内错角相等，两直线平行．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．23．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．(1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．图1：____________，图2：____________，图3：____________；(2)用4个全等的长和宽分别为，的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系；(3)根据（1），（2）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知，，求代数式①；②的值．【答案】(1)，，(2)(3)①；②或【分析】（1）根据图形面积直接得出即可；（2）用两种方法表示阴影部分的面积可得结论；（3）①根据完全平方公式变形可得结论；②根据（2）中的公式代入可得结论．【解析】（1）解：，，；（2）解：；（3）①解：∵，∴，即，∴；将代入，得，②解：∵，∴，∴或．【点睛】本题是完全平方式的实际应用，完全平方式经常与正方形的面积公式和长方形的面积公式联系在一起，要学会观察图形．24．如图，过射线上的点和点分别向两侧作射线，，，．已知，．过点作，交于点，且平分．(1)求的度数．(2)若，求证．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1），得到，，得到，利用即可得解；（2）根据平分，推出，即可得证．【解析】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∴；（2）证明：∵平分，，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查平行线的性质和判定．熟练掌握两直线平行，同位角相等，角平分线平分角，以及内错角相等，两直线相等，是解题的关键．25．如图，和的平分线交于点，的延长线交于点，且．(1)求证：；(2)猜想与的关系并证明．【答案】(1)见解析；(2)，证明见解析．【分析】（1）已知、平分、，且，可得，根据同旁内角互补，可得两直线平行；（2）先根据平行线的性质得到，再由平分，得到，从而可得，结合已知，即可得出结论．【解析】（1）证明：∵分别平分、，∴，；∵，∴

；；（同旁内角互补，两直线平行）（2）解：相等，证明如下：∵，∴，∵平分，∴，∴．∵，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．26．动手操作：(1)如图1，在的网格中，每个小正方形的边长为1，将线段向右平移，得到线段，连接，．①线段平移的距离是________；②四边形的面积是________；(2)如图2，在的网格中，将向右平移3个单位长度得到．③画出平移后的；④连接，，多边形的面积是________(3)拓展延伸：如图3，在一块长为米，宽为米的长方形草坪上，修建一条宽为米的小路（小路宽度处处相同），直接写出剩下的草坪面积是________．【答案】(1)①；②；(2)③见解析，④；(3)平方米．【分析】（1）①根据平移性质和网格特点求解即可；②根据网格特点和平行四边形的面积公式求解即可；（2）③根据平移性质和网格特点可画出图形；④根据网格特点，三角形的面积公式和长方形的面积公式求解即可；（3）根据平移性质，可将小路两边的草坪平移，拼凑成一个长米，宽为b米的长方形，再利用长方形的面积公式求解即可．【解析】（1）解：①根据平移性质，线段平移的距离是；②根据图形，四边形的面积为:；故答案为：①；②；（2）解：③如图所示，即为所求作；④由图形知，，∴多边形的面积为:，故答案为：；（3）解：由题意得，将小径右侧平移与左侧拼接成一个长方形，长方形的长米，宽为b米，则剩下的草坪面积是：，故答案为：平方米．【点睛】本题考查平移性质的应用、列代数式，熟知网格特点，掌握平移性质是解答的关键．27．如图1，已知，．(1)求证：；(2)若点，在线段上，且满足平分，平分，如图2，求的度数；(3)若点在直线上，且满足，求的值（请自己画出正确图形，并解答）【答案】(1)见详解(2)(3)或【分析】（1）先由平行条件得，然后由得即可．（2）根据角平分线表示出，代入数据计算即可．（3）根据平行线的性质将转化为即可．【解析】（1）解：，，，，，，．（2）解：平分，平分，，，，由（1）得：，．（3）解：如图，当点在线段上时，，，，，．如图，当点在线段的延长线上时，，，，，．的结果为：或【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识点，熟练运用平行线的性质与判定是解题关键．28．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（，）”为主题开展数学活动．(1)如图1，三角尺的角的顶点在上．若，则的度数为．(2)如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系．(3)如图3，小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上．若，，请直接写出与的数量关系（用含，的式子表示）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据“两直线平行，同位角相等”可得，再利用，结合即可获得答案；（2）过点作，易得，根据“两直线平行，内错角相等”可推导，，然后证明即可；（3）根据“两直线平行，同旁内角互补”可得，再结合，，易得，即可获得答案．【解析】（1）解：∵，∴，∵，，∴，∴，∴；故答案为：；（2），理由如下：如图，过点作，∵，∴，∴，，∴，∵，∴；（3），理由如下：∵，∴，∵，，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，熟练掌握平行线的性质是解题关键．29．如图①，线段相交于点O，连接．我们把形如图①的图形称之为“8”字形．如图②，在图①的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与分别相交于点M、N．解答下列问题：(1)在图①中，、、、之间的数量关系为______；(2)仔细观察，在图②中“8字形”有______个；(3)在图②中，若，，试求的度数；(4)若图②中和为任意角，其他条件不变，则与、之间的数量关系为______．【答案】(1)(2)6(3)35°(4)【分析】（1）根据三角形内角和定理即可得出；（2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个；（3）先根据“8字形”中的角的规律，可得①，②，再根据角平分线的定义，得出，，将①②，可得，进而求出的度数；（4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出．【解析】（1），，；故答案为；（2）①线段、相交于点，形成“8字形”；②线段、相交于点，形成“8字形”；③线段、相交于点，形成“8字形”；④线段、相交于点，形成“8字形”；⑤线段、相交于点，形成“8字形”；⑥线段、相交于点，形成“8字形”；故“8字形”共有6个；故答案为6．（3），①，②和的平分线和相交于点，，，①②得：，即，又，，，；（4）关系：．如图2，由①由，②①②得：，和的平分线和相交于点P，,．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．（1）中根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律；（2）是考查学生的观察理解能力，需从复杂的图形中辨认出“8字形”；（3）（4）直接运用“8字形”中的角的规律解题．30．已知：如图，中，是外角的平分线，与的延长线交于点E．(1)如图1，若，，求的度数；(2)如图2，作于F，若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据三角形外角的性质求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形