上海市延安中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷【含答案】

上海市延安中学2023学年第二学期期末考试高二年级数学试卷（考试时间：90分钟满分：100分）一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分1．展开式共有项.2．函数的图象在点处的切线方程是3．5个学生排成一排照相，甲、乙相邻的排法共有种.4．若，则正整数.5．6件产品中有4件正品，2件次品，现一次取三件产品，至少有2件正品的概率为.6．学校的高三年级共有500名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布，已知，估计高三年级学生数学成绩在110分以上的人数为.7．若，则.8．已知，，，的平均数为5，方差为15.现加入新数据4、6，此时这六个数的方差为.9．除以49的余数是.10．连续抛掷一颗均匀的正六面体骰子三次，在第一次抛出6点的条件下，三次的点数和不小于10的概率为11．高三年级毕业活动中，要求，，三个班级各出三人，组成小方阵，班的三位同学既不在同一行，也不在同一列的排法有种.12．已知函数，若存在，，使得，则的取值范围是.二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）每题有且只有一个正确选项.13．“”是“函数是增函数”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（

）A． B．C． D．15．一只小虫从数轴上的原点出发爬行，若一次爬行过程中，小虫等概率地向前或向后爬行1个单位，设爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，则下列说法错误的是（

）A． B．C． D．16．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点，关于原点对称，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤.17．从0，1，2，3，4，5中选三个数字，组成无重复数字的三位整数，求分别满足下列的数有多少个？(1)三位奇数；(2)比351大的三位数.18．已知的二项展开式中各项的二项式系数和为64.(1)求二项展开式的中间项；(2)求展开式中的常数项.19．治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈；服用传统药的400名患者中有120名未治愈．(1)补全列联表（单位：人），并根据小概率值的独立性检验，分析创新药的疗效是否比传统的疗效药好；药物疗效合计治愈未治愈创新药传统药合计(2)从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，在这10人中随机抽取8人进行回访，用表示回访中治愈者的人数，求的分布列及均值．附：，0.10.050.012.7063.8416.63520．已知函数(1)当时，求函数的极大值；(2)若对一切都成立，求实数的取值范围.21．“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复.(1)求3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率；(2)记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布、期望与方差；(3)求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数.

1．【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】展开式的每一项可分三步得到，第一步：从第一个括号中任取一个字母（连同前面的符号）有2种取法，第二步：从第二个括号中任取一个字母（连同前面的符号）有2种取法，第三步：从第三个括号中任取一个字母（连同前面的符号）有3种取法，所以展开后一共有项；故答案为：2．【分析】利用导数的几何意义求切线方程即可.【详解】由，则曲线在点的切线斜率为，又，故，整理得，即.故答案为：.3．48【分析】利用捆绑法，即可求得答案；【详解】将甲、乙捆绑看作一个整体，内部全排列，然后和其他人全排列，故共有（种）排法，故答案为：484．5【分析】根据排列数公式，展开求解，即得答案.【详解】由，得，即，故答案为：55．##0.8【分析】根据古典概型的概率公式，即可求得答案.【详解】由题意6件产品中有4件正品，2件次品，一次取三件产品，共有（种）取法，其中至少有2件正品的取法有（种），故至少有2件正品的概率为，故答案为：6．【分析】根据正态分布的性质结合条件即得.【详解】因为该次考试的成绩服从正态分布，且，所以，所以，因此该年级数学成绩在分以上的人数约为.故答案为：7．511【分析】用赋值法，赋值求出，再赋值，求出，相减即可.【详解】令求出，再令，求出，故答案为：511．8．##【分析】根据题意先求出加入新数据4、6后的平均数，再根据方差公式即可求得答案.【详解】由题意知，，，的平均数为5，方差为15，则，，加入新数据4、6后，平均数为，则这六个数的方差为，故答案为：9．15【分析】将转化为，利用二项式定理展开，结合整除问题，即得答案.【详解】由题意得，由于为49的倍数，除以49余15，故除以49的余数是15，故答案为：1510．【分析】根据古典概型结合对立事件的概率求解即可.【详解】在第一次抛出6点的条件下，三次的点数和不小于10，等价于后两次的点数和不小于4，设后两次的点数和不小于4为事件A，.|故答案为：.11．【分析】先排班的三位同学，再排其他两个班的6人，运用分步计数原理计算.【详解】先排班的三位同学，第一人有9种方法，第二人有4种，第三人有1种，共有种，再排其他两个班的6人，进行全排列有种，所以共有种.故答案为：.12．【分析】由，得到，再研究函数的单调性，得到，将表示出来，然后利用换元法转化为二次函数求最值即可.【详解】，，，，，当时，，，由得，由得，所以在上递减，在上递增，在处取得最小值，，，令，则，当时，取得最小值，当时，取得最大值0，所以的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查利用导函数研究函数的最值，令，将转化为关于t的二次函数，根据二次函数求最值是解题的关键，考查学生分析试题能力与转化化归能力，属于较难题.13．A【分析】利用导数，求出是增函数的的取值范围，再用充分性和必要性知识来进行判别即可．【详解】是增函数，求导，即恒成立，参变分离即恒成立，则．则“”是“函数是增函数”的充分不必要条件．故选：A.14．B【分析】根据散点图和相关系数的概念和性质辨析即可.【详解】由散点图可知，相关系数所在散点图呈负相关，所在散点图呈正相关，所以都为正数，都为负数．所在散点图近似一条直线上，线性相关性比较强，相关系数的绝对值越接近，而所在散点图比较分散，线性相关性比较弱点，相关系数的绝对值越远离．综上所得：．

故答案为：B．15．C【分析】由题意可知，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，结合二项分布求概率，然后逐个分析判断即可.【详解】由题意可知，爬行次后小虫所在位置对应的数为随机变量，且小虫向前或向后爬行1个单位的概率均为，所以设爬行后小虫一共向前爬行次，则向后爬行，所以，所以，对于AB，的分布列为…………所以，所以A正确，因为，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，所以，所以C错误，对于D，因为，所以，所以，所以D正确，故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是，根据题意得到相应概率，从而得解.16．B【分析】原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，利用导数法求出函数的值域，即可求得答案.【详解】函数的图象与函数的图象关于原点对称，则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，即方程有解，即有解，令，则，当时，，函数在上递减；当，，函数在上递增，故，由，，故当时，故的取值范围为.故选：B.【点睛】关键点点睛：函数的图象与函数的图象关于原点对称，则原题等价于函数的图象与函数的图象有交点.17．(1)48(2)42【分析】（1）根据乘法原理分步完成即可；（2）分三类：即百位和十位分别是3和5，百位为4，和百位为5，得出结果即可.【详解】（1）三位数有三个数位，故可分三个步骤完成：第1步，排个位，从1，3，5中选1个数字，有3种方法；第2步，排百位，从剩下的5个数字中去掉0选1个，有4种方法．第3步，排十位，从剩下的4个数字中选1个，有4种方法；依据分步乘法计数原理，共有个满足要求的三位奇数．（2）分三个步骤完成：第1类，百位和十位分别是3和5，则个位有2种方法；第2类，百位为4，有种方法；第3类，百位为5，有种方法；故共有个比351大的三位数．18．(1)(2)24【分析】（1）根据二项展开式中各项的二项式系数求出n的值，再结合展开式的通项，即可求得答案；（2）求出展开式中的常数项以及项，即可求得答案.【详解】（1）由的二项展开式中各项的二项式系数和为64，得，的通项为，二项展开式的中间项为第4项，即；（2）结合（1）可得的常数项为，展开式中的项为，展开式中的常数项为.19．(1)表格见解析，创新药的疗效没有比传统药的疗效好；(2)分布列见解析，【分析】（1）根据已知条件补充列联表；利用公式计算出的值，即可作出判断；（2）按疗效比例分层随机抽取10名，则有7名治愈者和3名未治愈者，故，且服从超几何分布，利用超几何概率计算公式进而可求出分布列与期望．【详解】（1）根据已知数据补全列联表如下所示：药物疗效合计治愈未治愈创新药401050传统药280120400合计320130450因为，根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据说明创新药的疗效比传统药的疗效好，所以我们认为创新药的疗效没有比传统药的疗效好；（2）从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名，相当于每40名患者抽取1名，所以治愈者中抽7名和未治愈者中抽3名，现在这10人中随机抽取8人进行回访，用表示回访中治愈者的人数，其中的可能取值有，则，，所以服从超几何分布列，即，故分布列为：567所以．20．(1)(2)【分析】（1）求出函数的导数，根据导数与极值的关系，即可求得答案；（2）将化为，由此令，则，则原问题转化为在上单调递增；继而结合导数与函数单调性的关系，即可求解.【详解】（1）当时，，定义域为，则，令，则或；令，则；则在上单调递增，在上单调递减，故函数的极大值为；（2）因为对一切都成立，所以对一切都成立，令，则，定义域为，则原问题转化为在上单调递增；又，当时，，在上单调递增；当时，需在上恒成立，即在上恒成立，对于，图象过定点，对称轴为，故要使得在上恒成立，需满足且，解得，综合可得，即a的取值范围为.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第二问中求解参数的取值范围，解答时要将原不等式恒成立转化为对一切都成立，从而构造函数，利用导数求解.21．(1)(2)分布列见解析；，(3)；2【分析】（1）根据对立事件的概率求法，即可求得答案；（2）确定X的取值，求出每个值相应的概率，可得分布列，继而求得期望和方差；（3）确定与的关系式，从而构造数列求出的表达式，结合题意可得需满足，讨论n的奇偶性，即可求得答案.【详解】（1）由题意可得3月1日至少有一人选择“共享单车”出行的概率为；（2）由题意知X的可能取值为，则，，，，则X的分布列为：X0123P故；.（3