上海七年级下期中真题（压轴36题）-【满分全攻略】2022-2023学年七年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（解析版）

上海七年级下期中真题精选（压轴36题专练）

一、单选题

1.（2021春・上海•七年级上海市第二初级中学校考期中）如图所示，若AB〃EF,用含a、4、/的式子表

示x,应为（）

C.180°-a-x+Z?D.180°+“+月-y

【答案】C

【分析】过C作CD〃AB,过M作MN〃EF,推出AB〃CD〃MN〃EF,根据平行线的性质得出

«+ZBCD=180°,ZDCM=ZCMN,ZNMF=/,求出NBCD=180。"，NDCM=NCMN=4-7,即可得出

答案.

【详解】过C作CD〃AB,过M作MN〃EF,

♦.•AB〃EF,

；.AB〃CD〃MN〃EF,

a+/BCD=180°,ZDCM=ZCMN,NNMF=7,

，ZBCD=180°-a,ZDCM=ZCMN=/?,

x=/BCD+/DCM=180°-a-y+£,

【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查「学生的推理能力.

IA_L

2.(2021春•上海.七年级上海市文来中学校考期中)已知:x=—(1991"-1991")(〃是自然数).那么

2

(x-Jl+f)"的值是()

A.199E1B.-19912C.(一1)“1991D.(一1)“1991T

【答案】D

【分析】先计算w+i,再求解正三，再化简》-771,再计算a-71工/)"即可得到答案.

C]一

【详解】解：由题意得“二网“2+1991

Ax2+l=-1991〃+2+1991：

4

-1r—।—i、T

=L-21l991〃+1991〃,

____I(1j.、](1]、

则x-+1=—199M—1991，——1991^+1991

21J2()

i

=7991不

/.991T.

故选D.

【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，算术平方根的含义，负整数指数幕的含义，事的运算，熟知

以上运算的运算法则是解题的关键.

二、填空题

3.(2019春•上海普陀•七年级校考期中)已知两个完全相同的直角三角形纸片AABC、ADEF,如图1放置,

点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G.ZC=ZEFB=90°,ZE=ZABC=30°,现将图1中的AABC

绕点F按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转180°,在旋转的过程中，AABC恰有一边与DE平行的时间为

E

图1

【答案】3秒或12秒或15秒

【详解】①如图(2),当AC〃DE时，

VAC/7DE,AZACB=ZCHD=90°.

VZE=30°,ZD=60°,

?.ZHFD=90°-60°=30°,t=30°+l0°=3.

E

C

②如图3,当BC〃DE时，

；BC〃ED,.•.ZBFE=ZE=30°,

...NBFD=300+90°=120°,

At=1200-?10=12.

E

延长DF交DA于G.

VZE=30°,；./D=60°,

：BA〃ED,Z.ZBGD=180°-ZD=120°

ZBFD=ZB+ZBGF=30°+120°=150°,

.,.t=150°-?10°=15.

E

图4

故答案为3秒或12秒或15秒

【点睛】本题主要考查平行线的性质.分三种不同的情况讨论，解题的关键是画出三种情况的图形.

4.（2019春・上海徐汇•七年级统考期中）图1是长方形纸带，将纸带沿折叠成图2,再沿即折叠成图3,若在图1

中NDEF=a,则图3中NCFE用含有a的式子表示=,(0<a<60°).

【答案】180。—3a

【分析】根据平行线的性质可得图1中/CFE=180o-a,ZBFE=ZDEF=a,然后得出图2中/BFC=

180°-2a,再根据翻折的性质可得图3中NCFE+NBFE=NBFC,即可得解.

【详解】解：：矩形对边AD〃BC,

，CF〃DE,

.•.图1中，ZCFE=180°-ZDEF=180°-a,/BFE=/DEF=a,

.•.图2中，ZBFC=180°-2a,

...图3中，NCFE+NBFE=/BFC,

.•.图3中，ZCFE+a=180°-2a,

.•.图3中，ZCFE=180°-3a.

【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图，理清翻折前后重叠的角是

解题的关键.

5.（2019春•上海闵行•七年级统考期中）如图，对面积为1的AA3C逐次进行操作：第一次操作，分别延长A3、

BC、。至点4、耳、G，使得48=248,B}C=2BC,C,A=2C4,顺次连接A、用、Ct,得到AA14G,

记其面积为5；第二次操作，分别延长44、4G、GA至点&、星、3,使得44=244、BC=2B©、

CA=2C,A,顺次连接A。、层G，得到AA/zG，记其面积为S2,L,按此规律继续下去，可得到

则其面积$2=.

【答案】361

【分析】根据三角形等高时底之比等于面积比得出AABC的面积为AABC面积的两倍，则&4蜴。的面积是

AABC的2倍…，以此类推，得出&4282G的面积.

【详解】

连接AC,,BG,根据=的面积为A4BC的2倍，所以A/l^C的面积为2；同理

的面积为41田C的2倍，所以A4/C的面积为4；

以此类推：“C片的面积为2,AAC£的面积为4,的面积为2,的面积为4

.•.&44G=£=19,即面积为A/RC面积的19倍，以此类推AA282c2的面积为AABC面积的以倍,

所以A4282c2=邑=1931=361.

故答案为:361

【点睛】利用三角形的底与高之间的数量关系判断面积的数量关系是解决本题的关键.

6.(2022春•上海・七年级期中)如图，已知AO〃CE,NBCF=NBCG,CF与/8AH的平分线交于点F,

若NAFC的余角等于2NB的补角，则ZBAH的度数是.

【答案】60°##60度

【分析】首先设/BAF=x。，ZBCF=y°,过点B作BMAD,过点F作FNAD,根据平行线的性质，可

得/AFC=(x+2y)°,/A8C=(2x+y)°,又由/F的余角等于2/B的补角，可得方程：90-(x+2y)=

180-2(2x+y),继而求得答案.

【详解】解：设NBA尸=x。，ZBCF=y0,

,：NBCF=NBCG,CF与NBAH的平分线交于点F,

；.NHAF=NBAF=x。,NBCG=NBCF=x。,ZBAH=2x°,NGCF=2y°,

过点B作AD,过点尸作FNA。，如图所示：

A

HD

G_后

'：ADCE,

：.AD<FNBMCE,

:"AFN=/HAF=e,/CFN=NGCF=2y。,ZABM^ZBAH=2x°,NC8M=NGC8=y。，

Z.ZAFC=(x+2y)°,ZABC=⑵+y)°,

尸的余角等于2NB的补角，

.*.90-(x+2y)=180-2(2x+y),

解得：x=30,

，ZBAH=60°.

故答案为：60°

【点睛】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法,

掌握数形结合思想与方程思想的应用.

三、解答题

7.(2022秋•上海浦东新•七年级统考期中)阅读下列材料：一般地，〃个相同的因数“相乘记为如

2x2x2=23=8,此时,3叫做以2为底8的对数，记为log28(BPlog28=3).一般地，若a"=b(。>0且31,

6>0),则〃叫做以。为底6的对数，记为log,(即log“b=〃.如34=81,则4叫做以3为底81的对数，

记为1呜81(Bpiog381=4).

(1)计算以下各对数的值：/。8?4=,*16=,log264=.

(2)写出⑴/og?4、/og/6、/og?64之间满足的关系式.

(3)由(2)的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：k)g“M+log“N=(">0且awl,M>0,N>0).

(4)设a"=N,d"=M,请根据幕的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性.

【答案】(1)2,4,6

(2)log24+log216=log264

⑶log.(MN)

(4)证明见解析

【分析】(1)根据对数的定义求解；

(2)认真观察，即可找到规律：4x16=64,log24+log2\6=log264;

(3)由特殊到一般，得出结论：loguM+logaN=loga(MN).

(4)设k)g.M=4,loguN=b2,根据同底数基的运算法则：〃".优=屋》"和给出的材料证明结论.

2

【详解】(DV2=4.2，=16,26=64

/.log24=2,log216=4,log264=6,

故答案为：2,4,6；

(2)V4x16=64,log24=2,log2l6=4,log264=6,

log24+logJ6=log264,

故答案为：/。824+/%16=/。©64：

(3)由(2)的结果可得A?g.M+/og〃N=/og“(MN),

故答案为：bg'MN).

(4)设k)g“M=4，log〃N=Z，

则=M,G=N

•:MN=a%

=小+&,

:.b[+Z?2=log〃(MN),

k%M+logaN=loga(MN).

【点睛】本题是开放性的题目，难度较大.借考查同底数塞的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、

掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对

数应有的性质.

8.(2021春•上海闵行•七年级上海市民办文绮中学校考期中)已知AM〃CN,点8为平面内一点，AB1BC

于B.

(1)如图，直接写出N4和/C之间的数量关系.

B

(2)如图，过点2作B£)_LA〃于点。，求证：ZABD=ZC.

(3)如图，在(2)问的条件下，点E,尸在。M上，连接BE,BF,CF,8尸那平分ND8C,BE平分NABD,

若/FCB+NNCV=180。，ZBFC=3ZDBE,求/E8C的度数.

【答案】(l)NA+/C=90。

(2)证明见解析

(3)105°

【分析】(1)根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可;

(2)过点8作3G//DW,根据同角的余角相等得出ZABO=NC8G,再根据平行线的性质得到NC=NCBG,

即可得到NABO=NC；

(3)过点3作BG//ZW,根据角平分线的定义得出NAB/=NGB尸，设/DBE=a,ZABF=J3f可得

3a+/?=75。，再根据45得到/?+/?+2a=90。，解方程得到加石二斤，继而得出，

ZEBC=ZABE+ZABC=150+90°=105°.

【详解】(1)如图1,

图7

AM//CN,

：./C=ZAOB,

■:AB1BC,

：.ZABC=90°f

：.ZA+ZAOB=90°fZA+ZC=90°,

故答案为：ZA+ZC=90°；

(2)如图2,过点B作BG//DW,

图2

,:BDVAM,

:.DB1BG,

：.ZDBG=90°,

JZABD+ZABG=90°,

■:AB1BC,

・・・ZCBG+ZABG=90°,

:.ZABD=/CBG,

■:AMUBG,

:・/C=/CBG,ZABD=/C.

(3)如图3,过点B作BG//DM,

平分NDBC,BE平分上45。，

:./DBF=ZCBF,ADBE=ZABE，

由(2)知NA&)=/CBG,

:・ZABF=/GBF,设/DBE=a,ZABF=J3,

则ZABE=。，ZABD=2a=NCBG,4GBF=AAFB=/3,

/BFC=3/DBE=3a,

：.ZAFC=3a+/3

VZAFC4-ZA^CF=180O,NFCB+NNCF=180。,

・・.ZFCB=ZAFC=3a+j3,

△BCF中，由NCBF+NB尸C+ZBCF=180。得

2a+/+3a+3a+/=180°,

•:AB±BC,

・"+£+2a=90。，

：.a=\5°f

：.ZABE=\5°f

：.ZEBC=ZABE+ZABC=150+90°=105°.

【点睛】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关

知识是解题关键.

9.(2022春.上海•七年级期中)已知：AB//CD,截线MN分别交A3、CZ)于点M、N.

(1)如图①，点8在线段MN上，设NEBM=a°,NDNM=B°,且满足5/^而+(0-60)2=0,求NBEM

的度数；

(2)如图②，在(1)的条件下，射线DF平分NCDE,且交线段8E的延长线于点尸；请写出NDEF与NCO尸

之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图③，当点P在射线NT上运动时，NOCP与NBMT的平分线交于点Q,则/。与NCPM的比值

为(直接写出答案).

图①图②图③

【答案】(1)30。；(2)ADEF+2ACDF=\5QQ,理由见解析；(3)g

【分析】(1)由非负性可求a,0的值，由平行线的性质和外角性质可求解；

(2)过点E作直线E”〃A8,由角平分线的性质和平行线的性质可求NOE尸=180°-30°-2x°=150°

-2x°,由角的数量可求解;

(3)由平行线的性质和外角性质可求/PM8=2/Q+/PCD,ACPM=2ZQ,即可求解.

【详解】解：(1)V30+(p-60)2=0,

.\a=30,0=60,

'：AB//CD,

:./AMN=4MND=60°,

:NAMN=NB+NBEM=60°,

；.NBEM=60°-30°=30°；

(2)NDE尸+2NCD尸=150°.

理由如下：过点E作直线E//〃A8,

cND

图2

・.・DF平分/CDE,

・••设/。。尸=/七。/=x°；

♦:EH"AB,

：.ZDEH=ZEDC=2x°,

：.ZDEF=\SO°-30°-2x°=150°-2x°；

AZDEF=150°-2/CDF,

即N£>EF+2NCDF=150°；

(3)如图3,设M。与CO交于点E,

・・・M。平分N3MT,QC平分NOCP,

:・/BMT=2/PMQ,/DCP=2/DCQ,

■:AB〃CD,

：./BME=NMEC,NBMP=/PND,

♦：NMEC=NQ+NDCQ,

：.2ZMEC=2ZQ+2ZDCQ,

：.NPMB=2NQ+NPCD,

NPND=NPCD+NCPM=NPMB,

:・/CPM=2/Q,

・・・NQ与NCPM的比值为g,

故答案为：y.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，准确计算是解题的关键.

10.（2022春・上海・七年级期中）（1）如图。所示，AB//CD,且点E在射线A8与之间，请说明

NAEC=NA+NC的理由.

（2）现在如图8所示，仍有AB//CD,但点E在A3与CO的上方，

E

①请尝试探索Nl,Z2,-E三者的数量关系.

②请说明理由.

【答案】(1);(2)①Nl+N2・NE=180。；②见解析

【分析】(1)过点E作EF〃AB,根据平行线的性质得到NA=NAEF和NFEC=NC,再相加即可；

(2)①、②过点E作EF〃AB,根据平行线的性质可得NAEF+N1=18O。和NFEC=/2,从而可得三者之间

的关系.

【详解】解：(1)过点E作EF〃AB,

ZA=ZAEF,

TAB〃CD,

AEF/7CD,

AZFEC=ZC,

■:NAEC=NAEF+NFEC,

.\ZAEC=ZA+ZC；

(2)①Nl+N2・NE=180。,

②过点E作EF〃AB,

.\ZAEF+Z1=18O°,

♦・,AB〃CD,

AEF/7CD,

AZFEC=Z2,

即NCEA+NAEF=N2,

.*.ZAEF=Z2-ZCEA,

.*.Z2-ZCEA+Z1=18O°,

【点睛】本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键.

11.（2018春.上海松江.七年级统考期中）（1）如图，E是直线A8,8内部一点，AB//CD,连接E4,

ED.

探究猜想：

①当NA=30。，ZD=4O°,则Z4£D=°；

②猜想图］中/A、NO的关系：

（2）如图，射线££与平行四边形ABCD的边A8交于点E,与边CO交于点尸.图2中匕分别是被射线FE

隔开的2个区域（不含边界），尸是位于以上两个区域内的一点，猜想NPFC,ZEPE的关系（不

要求说明理由）

ZPEB,NPFC,NEP尸的关系为：.

（3）如图，AB//CD,已知/E+NG=c,NB=0,NF+ND=.（用含有a、4的代数式

表示）

A-------------B

D

【答案】(1)①NAEZ)=70。；②NAED=NA+N£>；(2)当点尸在。区域时，ZEPF+APEB+APFC=360°；

当点P在区域b时，NEPF=NPEB+NPFC；(3)a-p

【分析】(1)①过点E作坊〃A3,则所〃8,得出乙4=NAEEN£>=NOEF,即可得出结果；

②由①即可得出结果；

(2)①当P位于。区域内时，过点P作PN平行AB,由平行四边形的性质得出，则PN//CO,得

出NEPN=ZAEP,NFPN=ZDFP,再由NPEB+ZAEP=180°,ZPFC+ZDFP=180°,即可得出结果；

②当P位于b区域内时，过点P作PN平行AB,由平行四边形的性质得出A3〃C£>,则PN//CD,得出

ZEPN=ZPEB,2FPN=NPFC,即可得出结果；

(3)过点F作/W//AB,由(1)得，NE=NB+NEFN,NG=ND+NGFN,即5+/G=ZB+NF+ND,

即可得出结果.

【详解】解：(1)①过点E作砂〃A5,如图1所示：

:.EF//CD

ZA=NAEF,ND=NDEF

ZAEF=30°,ZDEF=4O°

:.ZAED=70。

②由①得：ZAED=ZA+ZD

四边形ABCD是平行四边形

：.AB//CD

则PN//CD

•.AEPN=ZAEP,/FPN=ZDFP

ZPEB+ZAEP=180°,ZPFC+ZDFP=180°

/EPF+/PEB+/PFC=360°

②当P位于〃区域内时，过点P作PN平行AB,如图2②所示:

:.AB//CD

则PN//CD

・•.ZEPN=ZPEB,4FPN=ZPFC

.・./EPF=/PEB+ZPFC

故答案为：当点尸在。区域时，ZEPF+APEB+Z.PFC=360°；当点尸在区域匕时，NEPF=NPEB+NPFC；

(3)过点F作/W/MB,如图3所示：

图3

由（1）得，ZE=/B+ZEFN,4G=ZD+ZGFN

NE+/G=/B+/F+ZD

g|]a=y0+?F?D

4F+4D=a-。

【点睛】本题考查了平行四边形的性质定理、平行线的性质定理，作出合适的辅助线及掌握性质定理是解

题的关键.

12.（2021春♦上海•七年级上海市南洋模范初级中学校考期中）（1）如图1,已知直线而历，在直线〃上取43

两点，C.P为直线〃?上的两点，无论点C、P移动到任何位置都有：SAKS&ABP（填“>”、"v”

或“=，，）

（2）如图2,在一块梯形田地上分别要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两块

地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画出

相应图形并简述理由.

（3）如图3,王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形OEFG,中间有条分界小路（图中折线ABC）,左边

区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的。现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何知

识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由。（不计分界小路与直路的占地

面积）.

【答案】（1）=;（2）见解析；（3）见解析

【分析】（1）根据平行线间的距离处处相等，所以无论点C、P在加上移动到何位置，总有一ABC与，钻尸同

底等高，因此它们的面积相等；

（2）利用同底等高的三角形的面积相等即可求得设计方案；

（3）连结AC,过B点作AC的平行线尸。，连结AQ或CP,则A。或CP即为所修直路.

【详解】（1）43c与二A6P有共同的边A8,

又•."/”，

二..ABC与..A8P的高相等，即与一A8P同底等高,

,,SABC=$，

故答案为：=；

（2）方法一：

连结AC,将AS的区域用于种植大豆，.ABC的区域用于种植芝麻，理由如下:

在梯形ABCD中,AO//BC,

则AACE与_ABE同底等高，

♦,SA.CE_S盘BE>

,•SAARE+S&E8-1Mx+S&KD,

即心8=^AABE+S&ECD，

又由AO//8C可知4_EBC同底等高,

•Q—9

.,JABC-JEBC，

...该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变;

AED

二

------------------------AC

方法二

连结80,将的区域用于种植大豆，△BCD的区域用于种植芝麻，理由如下:

在梯形ABCD中,AD//BC,

则一班D与△CEO同底等高，

•・•“qBED_-*<CED，

..sABE+sCED=sABE+sBED,

即SABD=SME+sCED,

又由A。//8c可知ABCD与_BCE同底等高，

,*S&BCD=^ABCE，

；•该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变;

(3)方法一

连结AC,过8点作AC的平行线PQ：连结AQ,AQ即为所修直路.

将四边形ADEQ的区域分给王爷爷，四边形AGFQ的区域分给李爷爷，理由如下:

:PQ//AC,则4BCQ与一ABQ同底等高，

S^Bce=S^ABC>则SAAB?+$△«•<?=^AASP+)

即=S-BP+S^BCQ)

又由PQ//AC可知..ABC与-AC。同底等高,

；♦S&HC=SAACO>

•••AQ满足修路方案;

方法二:

连结AC,过5点作AC的平行线PQ：连结PC,PC即为所修直路.

将四边形CEOP的区域分给王爷爷，四边形CPG尸的区域分给李爷爷，理由如下:

PQ//AC,贝心.「与4PBe同底等高，

=

••S41tBe>则SAAPP+S^BCQ=^^PBC+^^BCQ,

即SCPQ=S46,+SBCQ,

又由PQ〃AC可知一A3c与△ACP同底等高,

,,,^△ABC:SfeP,

•••PC满足修路方案.

【点睛】本题主要考查了两条平行线间的距离处处相等.只要两个三角形是同底等高的，则两个三角形的

面积一定相等.解题的关键还要根据等式的性质进一步进行变形.

13.（2019春•上海虹口•七年级上海市光明中学校考期中）如图，直线AB〃CD,点E在直线AB上，点G在直

线CD上，点P在直线AB.CD之间,/AEP=4（T,/EPG=90。

⑴填空:NPGC=°；

（2）如图，点F在直线AB上，联结FQZEFG的平分线与NPGD的平分线相交于点Q,当点F在点E的右侧

时，如果/EFG=30。,求/FQG的度数；

解:过点Q作QM〃CD

因为ZPGC+ZPGD=180°

由（1）得/PGC=°,

所以NPGD=1800-ZPGC=°,

因为GQ平分/PGD,

所以/PGQ=NQGD=gZPGD=°

（下面请补充完整求/FQG度数的解题过程）

（3）点F在直线AB上，联结FG/EFG的平分线与NPGD的平分线相交于点Q.如果NFQG=2NBFG请直接写

出NEFG的度数.

【答案】（1）50；（2）/FQG的度数为130。；（3）/FQG的度数为98。.

【分析】（1）延长GP交AB于点H,由AB〃CD,得NH=NPGC,在直角APEH中由NH与NAEP互余，

可求出NH的角度，即为/PGC的角度.

（2）过点Q作QM〃CD,由（1）结论可求/PGD,然后由角平分线求NQGD,再由QM〃CD求出NMQG,

由QM〃AB求出/FQM,最后由/FQG=/MQG+/FQM得出结果.

（3）设NEFG=x。，则/BFG=（180-x）°,由QF平分NEFG,可得NEFQ=；x。，由（2）的方法可用x表

示出/FQG,然后根据/FQG=2/BFG,建立方程求解.

【详解】（1）如图所示，延长GP交AB于点H,因为AB〃CD,所以NH=NPGC,在在直角APEH中，

ZH+ZHEP=90°,所以NH=90°-/AEP=50°.

(2)过点Q作QM〃CD

因为ZPGC+ZPGD=180°

由⑴得NPGC=50。

所以NPGD=180O-ZPGC=130°

因为GQ平分NPGD,

所以NPGQ=/QGD=；ZPGD=65°

因为QM〃CD

所以/MQG+/QGD=180°,则/MQG=180°-65°=l15°

又因为QM〃CD〃AB

所以NFQM=NEFQ

而QF平分/EFG

所以NEFQ=/QFG=JZEFG=15°

所以/FQG=/MQG+ZFQM=1150+15o=130°

（3）设/EFG=x。，则NBFG=（180-x）。，由QF平分NEFG,可得NEFQ=gx。，由（2）可知/MQG==115。,

/FQM=NEFQ=；x。，ZFQG=（115+yx）0,由条件NFQG=2NBFG可得115+；x=2（180-x）,解得x=98,

故/EFG的度数为98°.

【点睛】本题考查平行线间的角度计算，需要灵活进行角度的转换，建立等量关系，从而求解.

14.（2019春•上海•七年级上海市市八初级中学校考期中）如图（a）五边形ABCDE是张大爷十年前承包的

一块土地示意图，经过多年开垦荒地，现已经变成图（b）所示的形状.但承包土地与开垦荒地的分解小路，

即图（b）中折线CDE还保留着.张大爷想过E点修一条直路EF,直路修好后，要保持直路左边的土地面积

与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多.（不计分解小路与直路的占地面积）请你用

有关知识，按张大爷的修路要求在图（b）中画出相应的图形（请务必保留作图痕迹）.

E

（图b）

【答案】见解析.

【分析】要求面积不变且要经过点E,我们可以假设这一直线已经作出，观察可以发现，实际上是将AEDC

进行等积变换，此时只要连接EC,利用尺规作图过点。作EC的平行线，交EN于点尸，交CM于点G,

再连接EG,利用两平行线间的距离处处相等，可得SzECG=S“EC£>,问题即得解决.

【详解】解：画法如图1所示（连接EC,以ED为一边作NEDF=/DEC）.

图1图2

如图2,连接EG,由作图知/E£»F=/OEC,所以。尸〃EC,设直线。尸交EN于点F,交CM于点G,则

线段EG即为所求直路的位置.

理由如下：如图2,

'JEC//FG,

二。和G点到EC的距离相等（平行线间的距离处处相等），

又•••£（：为公共边，

:.SAECG=SAECD（同底等高的两三角形面积相等），

**•S五边形AEDCB=S四边形ABCE+SaECD=S四边形ABCE+S』ECG,S五边形EDCMN=S四边形EGMN.

即所为直路的位置，可以保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积

一样多.

【点睛】本题考查尺规作图、平行线间的距离和等积变换，解题的关键是连接EC,作NE£»F=NQEC,亦

即尸G〃EC,再连接EG,利用等积变换作出相等面积来彼此替换以保持总面积不变.

15.（2021春・上海•七年级上海市文来中学校考期中）计算：J13+26+24+2月

【答案】1+百+册

【分析】被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2,可以看成是将正平方得到的，因此可以

用待定系数法化简.

【详解】解：设J13+2石+2"+2后=4+6+G'

两边平方得：13+2\/5+2\/7+2>/35=x+y+z+2-Jxy+2y[yz+2\[^,

x+y+z=13①

.«孙=5②

yz=7③

zx=35④

②x③x④得；

(xyz)2=5x7x35=35?,

：x,y,z均为非负数，

xyz>0,

xyz=35⑤,

⑤+②得，z=7,

同理有x=5,y=l,

所求的羽y，z显然满足①，

所以，原式=1+石+77

【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简方法，由复合二次根式的被开方数复杂，可以通过设未知数

利用平方法解题.

16.(2022春•上海•七年级期中)如图，已知N1=N2,N3=/4,Z5=ZA,试说明：BE//CF.

完善下面的解答过程，并填写理由或数学式：解：

.N3=/4(已知)

.\AE//_BC_()

:.NEDC=N5()

,Z5=ZA(已知)

:.ZEDC=()

:.DC/IAB()

.-.Z5+ZABC=180°()

即N5+N2+N3=180°

N1=N2(已知)

Z5+Z1+Z3=180°()

BPZBCF+Z3=18O°

:.BEHCF().

【答案】见解析

【分析】可先证明3C〃A尸，可得到NA+NABC=180。，结合条件可得/2+N3+N5=180。，可得到

Zl+Z3+Z5=180°,可证明8E//CF.

【详解】解：./3=N4（已知）

..AE//BC（内错角相等，两直线平行）

.•.NE»C=N5（两直线平行，内错角相等）

,Z5=ZA（已知）

:.ZEDC=ZA（等量代换）

.•.DCV/AB（同位角相等，两直线平行）

.­.Z5+ZABC=180°（两直线平行，同旁内角互补）

gpZ5+Z2+Z3=180°

Z1=Z2（已知）

.-.Z5+Zl+Z3=180o（等量代换）

即NBCF+23=180°

:.BE//CF（同旁内角互补，两直线平行）；

故答案为：BC-,内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；NA；等量代换；同位角相等，两

直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行.

【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行一同

位角相等，②两直线平行=内错角相等，③两直线平行o同旁内角互补，④a〃6,b//c=>a//c.

17.（2019春•上海浦东新•七年级校考期中）如图，直线CB〃Q4,NC=NOAB=100。，E、F在CB上，且

满足=OE平分NCOF.

EB

o---------------------------------3-

⑴求NEOB的度数；

(2)若平行移动48,那么NOBC:/OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；

若不变，求出这个比值.

(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使NOEC=NOBA?若存在，求出其度数；若不存在，说明

理由.

【答案】(1)40。

(2)不变，是定值，ZOBC:ZOFC=l:2

(3)存在，NOEC=NOBA=600

【分析】(1)根据“两直线平行，同旁内角互补''可得NAOC=180。-NC=80。，再由OE平分NCOF可知

ZCOE=ZEOF,结合=由NEO8=g/4OC即可获得答案；

(2)根据“两直线平行，内错角相等”可得NAO8=NO8C,结合NR9B=NA03可知NFO3=NO8C,可推

导NOFC=2NOBC,即可获得答案：

(3)在.COE和A08中，根据内角和定理可知NCOE=NAO3,即可推导。8、OE、。厂是NAOC的四等

分线，可得NCOE=20。，根据NOEC=180。-NC-NCOE可求得NOEC的度数，可知存在某种情况，使

NOEC=ZOBA,止匕时Z.OEC=NOBA=60°.

【详解】(1)解：：底〃。!，

ZA<9C=180o-ZC=180o-100o=80°,

OE平分乙COF,

：.Z.COE=AEOF,

•；2FOB=ZAOB,

NEOB=Z.EOF+NFOB=-ZAOC=工x80°=40°；

22

(2)'：CB//OA,

：.ZAOB=NOBC,

'：ZFOB=ZAOB,

:./FOB=NOBC,

:.ZOFC=NFOB+ZOBC=2ZOBC,

AZOBC:ZOFC=\:29是定值；

(3)在..COE和jAOB中，

・.•ZOEC=/OBA,ZC=ZOAB,

:./COE="OB,

XVZCOE=ZEOFf/FOB=ZAOB,

：.OB、OE、。产是N40C的四等分线，

NCOE=-ZAOC=L80。=20°,

44

，NOEC=180°-ZC-NCOE=180°-100°-20°=60°,

故存在某种情况，使NOEC=NQS4,此时NOEC=NC«4=60。.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理

等知识，理解并掌握平行线的性质是解题关键.

18.(2022春.上海.七年级期中)如图，已知AM〃8N,乙4=60°,点P是射线A例上一动点(与A不重合),

BC、8。分别平分/ABP和/PBN,交射线AM于C、D,(推理时不需要写出每一步的理由)

(1)求NCBO的度数.

(2)当点尸运动时，那么NAPS：N4D8的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化,

请找出变化规律.

(3)当点尸运动到使时，求NABC的度数.

【答案】(1)60°

(2)不变，ZAPB；ZADB=2:1

(3)NABC=30°

【分析】(1)由平行线的性质可求得/ABN,再根据角平分线的定义和整体思想可求得NCBQ；

(2)由平行线的性质可得NAP8=/P2N,NADB=NDBN,再由角平分线的定义可求得结论；

(3)由平行线的性质可得到NACB=NC8N=60°+NDBN,结合条件可得到N£)BN=NABC,且

NABC+NDBN=60°,可求得NABC的度数.

(1)

■:AM//BN,

.・・NABN+NA=180°,

・・・NA8N=18(r-60°=120°,

；・/ABP+NPBN=120°,

・.・3C平分NA3P,BD平分/PBN,

:・/ABP=2/CBP,4PBN=2/DBP,

：.2ZCBP+2ZDBP=120°,

:・NCBD=/CBP+NDBP=60°；

(2)

不变，ZAPB：ZADB=2：1.

*：AM〃BN,

：.ZAPB=/PBN,ZADB=ZDBN,

•:BD平分/PBN,

：./PBN=2/DBN,

：.ZAPB：ZADB=2：1；

(3)

YAM//BN,

：./ACB=/CBN,

当NAC8=NA8。时，则有NC8N=NA8。，

NABC+/CBD=NCBD+/DBN,

：.ZABC=NDBN,

由(1)可知NA3N=120。,NCBD=60°,

.・・NABC+NQBN=60°,

AZABC=30°.

【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，①同位角相等"两

直线平行，②内错角相等=两直线平行，③同旁内角相等0两直线平行④。〃江bHc0alic.

19.(2021春・上海金山•七年级统考期中)如图，已知直线。〃〃，直线/与直线。，力分别交于点C和点。，

在直线CO上存在一点P.

aA

备用图

⑴若点尸在点C与点。之间运动，那么NfiAC,NAPB,NPBO有怎样的数量关系？请说明理由.

⑵若点P在C,。两点的外侧运动（点p与点C,£＞不重合），试探索NB4C,ZAPB,NPB。之间的关系（请

直接写出答案）.

【答案】（1）NAPB=NR4C+NP8O,理由见解析;

（2）ZAPB+ZPAC-ZPBD,理由见解析.

【分析】(1)过?作PE〃a,贝IJPE〃人，利用平行线的性质可得/4PE=NPAC,ZBPE=ZPBD,两式相加

即可得ZAPB=ZPAC+NPBD.

(2)由平行线的性质可得NPEC=NP8D,又因为NAP8+NB4C+ZAFP=180。，ZPFC+ZAFP=180°,

所以NAPB+ZPAC=NPFC,即NAPB+ZPAC=ZPBD.

(1)

解：ZAPB=APAC+ZPBD,理由如下：

过P作PE〃a,

\'a//h,

PEIIallh,

ZAPE=APAC,ZBPE=ZPBD,

ZAPE+NBPE=ZPAC+ZPBD,

即ZAPB=ZPAC+ZPBD.

(2)

解：ZAPB+ZPAC=ZPBD,理由如下:

'：a//b,

NPFC=NPBD,

ZAPB+APAC+ZAFP=180°,ZPFC+ZAFP=\S00,

ZAPB+ZPAC=NPFC,

ZAPB+ZPAC=NPBD.

【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的相关性质定理是解决本题的关键.

20.（2021春•上海•七年级校考期中）将两个等边三角形（每个内角都等于60。）如图1叠放在一起，现将△CDE

绕点C顺时针旋转，旋转角为a（旋转角0<c<360,请探究下列问题：

（1）如图2,当旋转角满足0<a460时，请写出NBCO与NACE的关系，并说明理由；

（2）如图3,当旋转角满足60<戊4120时，请写出N8CE与N4CO的关系，并说明理由;

（3）当DE//8C时请直接写出旋转角的度数.

【答案】（1）/BC£»=NACE,理由见解析；

（2）ZBCE-ZACD=120°,理由见解析；

（3）旋转角为60。或240°.

【分析】（1）结合图形，根据等边三角形及各角之间的数量关系即可得出结果;

（2）结合图形利用各角之间的数量关系即可得出结果；

（3）由平行线的性质进行分类讨论即可得出结果.

(1)

解：ZBCD=ZACE,理由如下：

ZBCD+ZACD=ZACB=60°,ZACE+ZACD=ZDCE=60°,

：.ZBCD=ZACE；

(2)

ZBCE-ZACD=\20°,理由如下：

■:NBCE=NBCA+NACD+NDCE,

：.ZBCE-ZACD=ZBCA+ZDCE=120°；

(3)

,JDE//BC,

二①NBC£>=N£>=60。，边C£>与边AC重合，

旋转角«=60°；

...②/8CO+ND=180°,

旋转角a=180°+60°=240°,

当DE//BC时,旋转角为60。或240°.

【点睛】题目主要考查角度之间的计算、平行线的性质等，理解题意，熟练掌握平行线的性质是解题关键.

21.(2022春・上海•七年级期中)请回答下列各题.

(1)探究：如图1,AB//CD//EF,试说明

(2)应用：如图2,A3〃C£>,点/在A&CQ之间，FE与AB交于点M,FG与CD交于点、N.若/EFG=

115°,NEMB=55°,则NOVG的大小是多少？

图2

(3)拓展：如图3,直线C£>在直线A3、EF之间，且AB〃C£>〃EF,点G、//分别在直线A3、EF上，点Q

是直线C。上的一个动点，且不在直线G"上，连结QG、QH.若NGQH=70。,则/AGQ+/EH2=

度(请直接写出答案).

G

A―-----------------B

C--------------------D

图3

【答案】(1)证明见解析

(2)60°

(3)70或290

【分析】(1)由可得，NB=NBCD,4F=ZDCF,从而可以证明结论成立；

(2)由NMFN=NAMF+NCNF,则可得NCNF的度数为60。，由对顶角相等可得/£WG=60。；

(3)分两种情况讨论，即NAGQ是钝角与NAGQ是锐角时.

(1)

证明：'JAB//CD,

(两直线平行内错角相等)，

同理可证，ZF-ZDCF.

■:NBCF=ZBCD+/DCF,

:.NBCF=NB+NF.(等量代换)

(2)

解：由探究可知：NMFN=NAMF+/CNF,ZMFN=\\5°,ZAMF=ZEMB=55°,

：.ZCNF=ZDNG=115°-55°=60°.

故答案为:60°.

(3)

如图3中，当点。在直线GH的右侧时，

图3

：AB〃CD〃EF,

ZAGQ+ZGQC=\S00,ZCQH+ZEHQ=\i0°,

即NAGQ+NGQH+ZEHQ=180°,

，ZAGQ+ZE/70=360°-70°=290°,

当点Q在直线GH的左侧时，由（1）的结论可得：

ZAGQ'+ZEHQ'=NGQ'H=70°.

故答案为：70或290.

【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练运用平行线的性质是解题关键.

22.（2022春•上海•七年级期中）已知AB〃C£>,点M为平面内的一点，ZAMD=90°.

⑴当点M在如图①的位置时，求NM钻与一£>的数量关系.

解：.（根据如图填射线的画法）

因为AB〃CD,

所以////（）.

所以/D=/NMD（两直线平行，内错角相等）；

（请继续完成接下去的说理过程）

（2）当点M在如图②的位置时，与NO的数量关系是（直接写出答案）；

⑶在（2）的条件下，如图③，过点M作用E_LA8,垂足为点E,与NEMO的平分线分别交射线E3

于点F、G