九年级初中数学 相似三角形中的动点问题 （典型题型）附答案

专题相似三角形中的动点问题

【典型例题】

1.（2020•银川外国语实验学校初三月考）如图，在直角梯形ABCD中，NABC=90°,AB=S,AD=3,BC=4,

点P为边AB上一动点，若△用。与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）

A.1个B.2个D.4个

2.（2020•宁夏大学附属中学初三期中）如图，在R/4ABC中，NB=90°,AC=10cm,BC=6cm,现有两个

动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以icm/s的

速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止.连接PQ.设动点运动时间为x秒.

（I）含x的代数式表示BQ、PB的长度;

（2）x为何值时，△PBQ为等腰三角形？当和△CR4相似时，求此时x的值

3.（2019•江苏海陵•泰州中学附属初中初三月考）如图，对入4灰;中，NACB=90°,AC=6an,8c=8cm.动

点M从点B出发，在BA边上以每秒3c/n的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在C8边上以每

秒2c,”的速度向点B运动，运动时间为，秒（0<r<此），连接MN.

（1）若△8MN与△ABC相似，求，的值;

（2）连接4MCM,若AMLCM,求，的值.

【专题训练】

一、选择题

1.（2020♦全国初三课时练习）如图所示，在AABC中，AB=6,AC=4,P是AC的中点，过P点的直

线交AB于点Q,若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为（）

A.3

2.（2019•山东中区•初三期中）如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm,AC=l2cm,动点。从A点出发

到B点止，动点E从C点出发到A点止.点。运动的速度为1c机/秒，点E运动的速度为2cm/秒.如果

两点同时运动，那么当以点4、D、E为顶点的三角形与△4BC相似时，运动的时间是（）

4.3秒或4.8秒B.3秒

C.4.5秒D.4.5秒或4.8秒

3.（2020•青海西宁•初三月考）如图，在RfZiABC中，NC=90°,AC=BC=6cm,点尸从点A出发，沿

AB方向以每秒的速度向终点B运动；同时，动点。从点B出发沿BC方向以每秒lew的速度向终

点C运动，将沿BC翻折，点P的对应点为点P'.设点。运动的时间为f秒，若四边形QPCP'

为菱形，则t的值为（

A.0C.20

4.（2019•四川南充•初三三模）如图，nABC中，NC=90°，AC=3,BC=4,M是8c边

上的动点，过M作MN〃AB交AC于点N,尸是MN的中点，当R4平分N84C时，BM=（）

5.（2020•桐柏县新集一中初三月考）如图1,在矩形A8CD中，点E在CD上，ZAEB=90°,点尸从

点4出发，沿的路径匀速运动到点B停止，作PQ_LCD于点Q,设点P运动的路程为x,PQ长

为y,若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x=6时，PQ的值是（）

3

图2

3

6.如图，在矩形ABC。中，BC=6,E是BC的中点，连接AE,tanZBAE=~,P是AD边上一动点,

4

沿过点P的直线将矩形折叠，使点。落在AE上的点处,当AAPD'是直角三角形时,PQ的值为（）

2一68-248-3010一18

A.一或一B.一或一C.一或—D.——或一

37373737

二、填空题

7.（2020•山东省泰安第六中学初二期中）如图，在△ABC中，AB=9,AC=6,BC=12,点M在AB边上,

且AM=3,过点”作直线MN与AC边交于点N,使截得的三角形与原三角形相似，则MN=

8.（2020•江西吉安•初三其他）如图，在矩形ABC。中，AO=2AB=2,E是8c边上的一个动点，连接

AE,过点。作。FL4E于F,连接CF,当△CDF为等腰三角形时，则的长是一.

9.（2020•江苏省锡山高级中学实验学校初三期中）如图，正方形ABCD中，BC=2,点M是边AB的中点,

连接DM,DM与AC交于点P,点F为ZW中点，点E为DC上的动点.当NDFE=45°时，则DE=

10.（2020•合肥市第四十五中学初三期中）如图，在矩形4BCD中，点E是线段CD上的一个动点，连接

AE,过A作A凡LAE交射线£＞尸于点F,若AO=2AB=4,连接BD交AF于点G,连接EG,当CF=1时，

EG=.

11.（2020•全国初三专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是BC边的中点，点P是线段

上的动点，过P作P凡LAE于F,当以点P、/、E为顶点的三角形与△ABE相似时，4P的长为

三、解答题

12.（2020•山东初三期中）如图，在AABC中,AB=Scin,BC=\6cm,动点尸从点A开始沿4B边运动,

速度为Icm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动,速度为2c，”/s；如果P、。两动点同时运动，那么何时^

QBP与△ABC相似？

A

13.（2019•山东省济南汇才学校初三期中）如图，正方形ABCD的边长为8,E是BC边的中点，点P

在射线AD±,过P作PFVAE于F.

（1）请判断以与AABE是否相似，并说明理由;

（2）当点P在射线A。上运动时，设PA=x,是否存在实数x,使以P,F,E为顶点的三角形也与

相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由.

14.（2020•宁夏永宁•初三月考）如图，在R/ZV18C中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从

点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动，同时动点尸从点B出发，以每秒

2c,"的速度沿向终点A移动，连接PM,PN,设移动时间为f（单位：秒，0<r<2.5）.

（1）当，为何值时，以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似?

（2）是否存在某一时刻f,使四边形4PNC的面积5有最小值？若存在,求S的最小值：若不存在，请说

明理由.

15.(2020•深圳市海滨中学初三期中)如图，在矩形ABCD中，A8=6cm,BC=8c”动点P以2«n/s

的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点。以Icm/s的速度从点C出发.沿CB向点B移动，设

P、Q两点移动rs(0<r<5)后，Z\CQP的面积为Sc/1

(I)在P、Q两点移动的过程中，ACOP的面积能否等于3.6c，”2?若能，求出此时r的值；若不能，请说

明理由；

(2)当运动时间为多少秒时，△CPQ与ACAB相似.

16.如图，已知aABC是边长为6c机的等边三角形，动点P、。同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC

匀速运动，其中点P运动的速度是lc,"/s,点。运动的速度是2c/n/s,当点。到达点C时，P、。两点都

停止运动，设运动时间为"s),解答下列问题：

(1)当尸2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

(2)设4BP。的面积为S(CT«2),求S与，的函数关系式；

(3)作QR〃BA交AC于点R,连接PR,当，为何值时，"PRSAPRQ.

RC

17.(2019•辽宁昌图•初三月考)已知：如图①，在RrZXABC中，NC=90°,AC=3cm,BC=6cm,点

P由8出发沿BA方向向点4匀速运动，速度为Icm/s；点Q由4出发沿AC方向向点C匀速运动，速度

为2cm/s；连接PQ.若设运动的时间为f(s)(0<Z<4),解答下列问题：

(1)当r为何值时，PQ//BC-,

(2)设aAOP的面积为y(〃/),求y与f之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻“使线段PQ恰好把R/ZXACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时，的值;

若不存在，说明理由；

(4)如图②，连接PC,并把APOC沿QC翻折，得到四边形PQP'C,那么是否存在某一时刻，，使四边

形PQP，C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.

【典型例题】

1.(2020•银川外国语实验学校初三月考)如图，在直角梯形ABCD中，NABC=9O°,A8=8,AD=3,BC=4,

点P为边AB上一动点，若△21。与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是()

A.1个B.2个£).4个

2.(2020•宁夏大学附属中学初三期中)如图，在K/4ABC中，NB=90°,AC=Mem,BC=6cm,现有两个

动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度沿AB向终点B移动；点。以\cm/s的

速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止.连接PQ.设动点运动时间为x秒.

（I）含x的代数式表示B。、PB的长度;

（2）x为何值时，aPB。为等腰三角形？当和△CR4相似时，求此时x的值

3.（2019•江苏海陵•泰州中学附属初中初三月考）如图，对入4灰;中，NACB=90°,AC=6an,8c=8cm.动

点M从点B出发，在BA边上以每秒3c/n的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在C8边上以每

秒2c,"的速度向点B运动，运动时间为f秒（0Vf<W）,连接MN.

3

（I）若△BMN与△ABC相似，求f的值;

（2）连接4MCM,若AN_LCM,求，的值.

【专题训练】

四、选择题

1.（2020•全国初三课时练习）如图所示，在△ABC中，AB=f>,AC=4,P是4c的中点，过P点的直

线交AB于点Q,若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为（）

434

A.3B.3或一C.3或一D.—

343

2.（2019•山东中区•初三期中）如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm,AC=\2cm,动点。从A点出发

到8点止，动点E从C点出发到A点止.点D运动的速度为1c，”/秒，点E运动的速度为2cm/秒.如果

两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与aABC相似时，运动的时间是（）

4.3秒或4.8秒B.3秒

C.4.5秒D.4.5秒或4.8秒

3.（2020•青海西宁♦初三月考）如图，在中，NC=90°,AC=BC=6cm,点P从点A出发，沿

A8方向以每秒0cM的速度向终点8运动；同时，动点。从点B出发沿8c方向以每秒的速度向终

点C运动，将沿BC翻折，点P的对应点为点P'.设点。运动的时间为r秒，若四边形QPCP

为菱形，则t的值为（）

C.20D.3

4.（2019•四川南充•初三三模）如图，DABC中，NC=90°，AC=3,8C=4,M是8c边

上的动点，过〃作MN〃AB交AC于点N,尸是MN的中点，当FA平分N3AC时，BM=（）

20201525

A.B.—c.—

IT1311

5.（2020•桐柏县新集一中初三月考）如图1,在矩形ABCD中，点E在CD上，NAEB=90°,点P从

点A出发，沿的路径匀速运动到点B停止，作PQ_LC。于点Q,设点P运动的路程为x,P。长

为y,若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x=6时，PQ的值是（）

A.2

3

6.如图，在矩形A3CQ中，BC=6,E是3C的中点，连接A£,tanZBAE=-,。是A。边上一动点,

4

沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当AAP/y是直角三角形时,PD的值为（）

D.W或电

A.

3737

五、填空题

7.（2020•山东省泰安第六中学初二期中）如图，在aABC中，AB=9,AC=6,BC=12,点M在A8边上,

且4M=3,过点”作直线MN与AC边交于点N,使截得的三角形与原三角形相似，则MN=.

8.（2020•江西吉安•初三其他）如图，在矩形ABC7）中，AD=2AB=2,E是BC边上的一个动点，连接

AE,过点。作。FL4E于F,连接CF,当△CDF为等腰三角形时，则8E的长是_

9.（2020•江苏省锡山高级中学实验学校初三期中）如图，正方形4BCD中，BC=2,点M是边43的中点,

连接。M,DM与AC交于点P,点F为。M中点，点E为DC上的动点.当NDFE=45°时，则。E—.

10.（2020•合肥市第四十五中学初三期中）如图，在矩形ABCO中，点E是线段CD上的一个动点，连接

AE,过A作AF_LAE交射线OF于点广，若4£>=2AB=4,连接BO交AF于点G,连接EG,当CF=1时，

EG=.

11.（2020•全国初三专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是8c边的中点，点P是线段

A。上的动点，过P作P凡LAE于F,当以点P、/、E为顶点的三角形与△ABE相似时，4P的长为

六、解答题

12.（2020•山东初三期中）如图，在AABC中,AB=Scin,BC=\6cm,动点尸从点A开始沿4B边运动,

速度为Icm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动,速度为2c，”/s；如果P、。两动点同时运动，那么何时^

QBP与△ABC相似？

13.（2019•山东省济南汇才学校初三期中）如图，正方形ABCD的边长为8,E是BC边的中点，点P

在射线AD±,过尸作PFLAE于F.

（I）请判断△PfiA与△ABE是否相似，并说明理由；

（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x,是否存在实数x,使以P,F,E为顶点的三角形也与

△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由.

14.（2020•宁夏永宁•初三月考）如图，在RfZXABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从

点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿。、C8向终点A,B移动，同时动点尸从点B出发，以每秒

2c,"的速度沿BA向终点A移动，连接PM,PN,设移动时间为/（单位：秒，0</<2.5）.

(1)当r为何值时，以4P,"为顶点的三角形与aABC相似？

<2)是否存在某一时刻f,使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说

明理由.

15.(2020•深圳市海滨中学初三期中)如图，在矩形ABCQ中，A8=6cm,BC=3cm,动点尸以2c，"/s

的速度从点4出发，沿AC向点C移动，同时动点。以Icvn/s的速度从点C出发.沿CB向点B移动，设

P、。两点移动fs(0<fV5)后，ZSCQP的面积为Sc小

(I)在P、Q两点移动的过程中，ACOP的面积能否等于3.6。层？若能，求出此时r的值；若不能，请说

明理由;

(2)当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似.

16.如图，己知△ABC是边长为6cM的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AS、BC

匀速运动，其中点P运动的速度是lcm/s,点。运动的速度是2c/n/s,当点。到达点C时，P、。两点都

停止运动，设运动时间为"s),解答下列问题:

(1)当尸2时，判断△BPQ的形状，并说明理由;

⑵设aBP。的面积为S(c*,求S与，的函数关系式;

(3)作QR〃8A交AC于点R,连接PR,当f为何值时，△APRSAPRQ.

B

17.(2019•辽宁昌图•初三月考)已知：如图①，在氏△A8C中，ZC=90°,AC=Scm,BC=6cm,点

户由8出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为lcm/s；点。由月出发沿AC方向向点C匀速运动，速度

为2c”,/s；连接PQ.若设运动的时间为f(s)(0<Z<4),解答下列问题：

(1)当，为何值时，PQ//BC,

<2)设aAOP的面积为y(c〃)，求y与r之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻，，使线段PQ恰好把放AACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时f的值;

若不存在，说明理由；

(4)如图②，连接PC,并把沿QC翻折，得到四边形PQP'C,那么是否存在某一时刻r,使四边

形「QP'C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.

P'

分界线

答案

【典型例题】

1.（2020•银川外国语实验学校初三月考）如图，在直角梯形ABCD中，NABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,

点P为边AB上一动点，若△用。与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）

4.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

2.（2020♦宁夏大学附属中学初三期中）如图，在RrzlABC中，ZB=90°,AC=10cw,BC=6cm,现有两个

动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度沿AB向终点B移动；点Q以icm/s的

速度沿8c向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止.连接PQ.设动点运动时间为x秒.

（1）含x的代数式表示BQ、PB的长度；

（2）x为何值时，△PBQ为等腰三角形？当和ACB4相似时，求此时x的值

【答案】

解：(1)•：ZB=9(y,4c=10cm,BC=6cm,

由运动知，BQ=x(cm),AP=2x(cm),

：.PB=(8-2x)(cm),

故答案为：X,(8-2x)；

(2)由题意，得

8-2x=x,

8

Ax=—.

3

8

工当齐一时，△PB。为等腰三角形；

3

设经过x秒，贝i]AP=2x,RQ=x,

：.PB=S-2x,

•；NPBQ=NABC=90°,

...当NBPe=NA时，XPBQs^ABC,贝ij

PBBQ8-2xx

----------,h|--------....,

ABBC86

解得x=2.4.

当N8Pfi=NC时，尸QS2\8C4,

BPBQ8-2xx

----——----,即a-------——―,

BCBA68

32

解得x=--.

11

32

所以，经过2.4或——秒△P8Q和△C84相似.

11

3.(2019•江苏海陵•泰州中学附属初中初三月考)如图，RrZkABC中,ZACB=90°,AO6cm,BC=8cm.动

点M从点B出发，在84边上以每秒3°n的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每

10

秒2c，”的速度向点B运动，运动时间为f秒(0<7<—),连接

3

(I)若△BMN与△ABC相似，求f的值；

(2)连接AN,CM,若AN_LCM,求，的值.

XI图2

【答案】

22=1(CW)>

(1)由题意知，BM=3lcm,CN=2lcm,：.BN=(8-2z)cm,BA=A/6+8°当

BMBN3/8—2，20

时,一，・.—,解得：t~；

BABC10811

BMBN3t8-2r*,32

当ABMNSABCA时，---=-A—=-----,解得：尸—

BCBA81023

2032

ABMN与△ABC相似时，/的值为一或一：

1123

(2)过点“作"D_LC8于点。，由题意得：DM^BMsinB-3t-—-t(CM),BDBMCOSB-3t-——t

105105

012

(cm),BM^3tcin,CN=2tcm,：.CD=(8-------1)cm,'：ANLCM,N4C8=90°,：.ZCAN+ZACM~90°,

5

NMCD+N4cM=90°,：.4CAN=NMCD,"MDLCB,：.ZMDC=ZACB-90°,：.ACAN^^DCM,：.

ACCD6

解得尸—.

~CN~~DM2t912

-t

5

【专题训练】

七、选择题

1.（2020♦全国初三课时练习）如图所示，在AASC中，AB=6,AC=4,P是AC的中点，过P点的直

线交AB于点Q,若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则4。的长为（）

-4_34

A.3B.3或一C.3或一D.一

343

【答案】B

2.（2019•山东中区•初三期中）如图，在钝角三角形4BC中，AB=（＞cm,AC=\2cm,动点。从4点出发

到B点止，动点E从C点出发到A点止.点。运动的速度为1c,”/秒，点E运动的速度为2c加/秒.如果

两点同时运动，那么当以点A、。、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（）

A.3秒或4.8秒B.3秒

C.4.5秒D.4.5秒或4.8秒

【答案】A

3.（2020•青海西宁•初三月考）如图，在中，ZC=90°,AC=BC=6«n,点尸从点A出发，沿

48方向以每秒J5c切的速度向终点8运动；同时，动点。从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终

点C运动，将△PQC沿8c翻折，点P的对应点为点P'.设点Q运动的时间为，秒，若四边形QPCP'

为菱形，则t的值为（）

A.五B.2C.25/2D.3

【答案】B

4.（2019•四川南充•初三三模）如图，nASC中，NC=90°，AC=3,BC=4,M是边

上的动点，过M作MN〃AB交AC于点N,尸是MN的中点，当D4平分N8AC时，BM=（）

A

N

CMB

20201525

A.——B.—c.—D.

11131113

【答案】A

5.（2020•桐柏县新集一中初三月考）如图1,在矩形A8C。中，点后在8上，NAEB=90°,点尸从

点A出发，沿A~E~B的路径匀速运动到点B停止，作PQ_LC£＞于点Q,设点P运动的路程为x,PQ长

为），，若y与X之间的函数关系图象如图2所示，当x=6时，PQ的值是（）

96

4.2B.

55

【答案】B

3

6.如图，在矩形A8C。中，BC=6,E是BC的中点，连接4E,tanZBAE=-,P是AD边上一动点,

4

沿过点p的直线将矩形折叠，使点。落在AE上的点处，当AAPZ）'是直角三角形时,PD的值为（）

2或9D.W或更

A.

3737

【答案】B

八、填空题

7.（2020•山东省泰安第六中学初二期中）如图，在△ABC中，AB=9,4c=6,BC=12,点M在AB边上,

且AM=3,过点M作直线MN与4c边交于点N,使截得的三角形与原三角形相似，则MN=_____.

【答案】4域6

8.（2020•江西吉安•初三其他）如图，在矩形ABCO中，AD=2AB=2,E是BC边上的一个动点，连接

AE,过点。作。£LAE于尸，连接CF,当△CD尸为等腰三角形时，则8E的长是—.

【答案】I或百或2-也.

9.（2020•江苏省锡山高级中学实验学校初三期中）如图，正方形ABCD中，8c=2,点M是边A8的中点,

连接DM,ZJM与AC交于点P,点F为DM中点，点E为。C上的动点.当NOFE=45°时，则。尺.

5

【答案】一.

6

10.（2020•合肥市第四十五中学初三期中）如图，在矩形ABC。中，点E是线段C。上的一个动点，连接

AE,过A作AELAE交射线D尸于点F,若AD=2AB=4,连接交4F于点G,连接EG,当CF=1时,

EG=

11.（2020•全国初三专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是BC边的中点，点P是线段

AD上的动点，过P作PF1AETF,当以点P、F、E为顶点的三角形与AABE相似时，AP的长为______.

【答案】3或—

6

九、解答题

12.（2020•山东初三期中）如图，在△ABC中,AB=&cm,BC=\6cm,动点P从点A开始沿AB边运动,

速度为lcm/s；动点Q从点B开始沿RC边运动,速度为2cm/s；如果P、。两动点同时运动，那么何时^

QBP与△ABC相似?

【答案】

解：设经过，秒时，以△QBC与△ABC相似,

则AP=2r,BP=8-2t,BQ=4t.

•：ZPBQ=ZABC,

BPBQ

.,.当——=-^时，△BPQS4BAC,

ABBC

即胃哈解得:心

当空=些时，△BPQs2BCA,

BCBA

8-2/4r…

------——，解得：尸0.8s；

168

即经过2秒或0.8秒时，4QBC与AABC相似.

13.(2019•山东省济南汇才学校初三期中)如图，正方形A8CD的边长为8,E是BC边的中点，点P

在射线AD上，过户作PF1AE于F.

(1)请判断必与aABE是否相似，并说明理由;

<2)当点P在射线AD上运动时，设PA=x,是否存在实数x,使以P,F,E为顶点的三角形也与

△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由.

【答案】

(1)证明；

ZPAF^ZAEB.

•.•NPA4=N48E=90°,

:.RPFNsRABE.

若△EFPSAABE,则NPEF:NEAB.

如图，连接尸反。£

：.PE//AB,

・・・四边形A8律为矩形.

・・・必二四=2,即x=2.

如图，延长AO至点尸,作尸FJ_AE于点尸，连接PE,

若APFESAABE,贝ijNPEb=NAE8

•••NR4F二乙4£8,

ZPZTF=ZB4F.

：.PE=RA,

•；PF1AE,

・•・点尸为AE的中点.

•；AE=1AB?+BE?=2亚,

：.EF=万心6

••・三变，即隼好

AEEB25/52

：.PE=5,即户5.

...满足条件的x的值为2或5.

14.(2020•宁夏永宁•初三月考)如图，在知△ABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从

点C同时出发，均以每秒lc/n的速度分别沿C4、CB向终点A,B移动，同时动点P从点B出发，以每秒

2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM,PN,设移动时间为r(单位：秒，0<r<2.5).

(1)当，为何值时，以A,P,"为顶点的三角形与△ABC相似？

(2)是否存在某一时刻,,使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说

明理由.

【答案】

解：•.•如图，在RfZXABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm.

.•.根据勾股定理，得AB=JAC?+BC?=5cm.

(1)以A,尸，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：

APAM5—2，4-r,3

①当△AMPs/XABC时，----=-----,即------=-----,解得z£=—：

ACAB452

AMAP4-t5-2t

②当时，----=——，即-----=------,解得片0(不合题意，舍去).

ACAB45

3

综上所述，当，=一时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似.

2

(2)存在某一时刻/,使四边形APNC的面积S有最小值.理由如下:

假设存在某•时刻/,使四边形4PNC的面积S有最小值.

如图，过点P作8c于点则PH〃AC,

...s有最小值.

3、21

当f=一时,S"小",=—.

25

321

答：当，=一时，四边形4PM7的面积5有最小值，其最小值是一.

25

15.（2020•深圳市海滨中学初三期中）如图，在矩形ABC。中，AB=6cm,BC=8cm,动点P以2cm/s

的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点。以Icm/s的速度从点C出发.沿CB向点B移动，设

P、。两点移动IS（0<r<5）后，ACOP的面积为Sc〃?2

51--------------

（1）在P、Q两点移动的过程中，4002的面积能否等于3.60〃2?若能,求出此时，的值；若不能，请说

明理由；

（2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△C48相似.

【答案】

解：（1）如图1,过点P作P〃于点〃，

B\---------?——

H。=°

图1

在矩形ABCD中,

AB=6cm,BC=8cm,

.,.AC=10cm,

当运动fs(0V/V5)时，AP=2tcm,PC=(10-2/)cm,CQ=tcm,

,:NACB=NHCP,NB=/PHC,

:APHCSAABC,

,PHCP

~AB~~~CA

/.PH=—(10-2/)cm,

5

根据题意，得—（10-2/）=3.6,

25

解得：A=2,,2=3.

答：当,的值为2s或3s时，△CQP的面积等于3.6”小时.

(2)如图2,当NPQC=90°时，PQLBC,

•：AB1BC,AB=6,BC=8,QC=t,PC=\0-21,

.PCCQ

,7cBC

10—2f

即-------

108

40.

解得，=(秒);

13

如图3,当NCP0=90°时，PQA.AC,

■:NACB=4QCP,NB=NQPC,

,CP_CQ

"SCAC'

即号

10

解得/=（秒）.

7

综上所述，f为一秒与——秒时，△CPQ与△C48相似.

137

16.如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、。同时从4、B两点出发，分别沿4B、BC

匀速运动，其中点P运动的速度是lc,”/s,点Q运动的速度是2c/n/s,当点。到达点C时，P、Q两点都

停止运动，设运动时间为“S),解答下列问题：

(1)当匚2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；

(2)设ABP。的面积为5(“泳)，求S与，的函数关系式;

(