2024河南中考数学复习 全等、相似三角形的常考模型 强化精练 (含答案)

2024河南中考数学复习全等、相似三角形的常考模型强化精练1.(2023东营)如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°.若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为()A.1.8B.2.4C.3D.3.2第1题图2.(2023重庆A卷)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为________．第2题图3.如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，点M，N分别为AB，AC边上的点，且∠MDN＝60°，连接MN，则△AMN的周长为________．第3题图4.如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为AB，AD上一点，且AF＝eq\f(1,4)AD，若∠CEF＝90°则AE的长为________.第4题图5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为AC的中点，连接BD，CE⊥BD交AB于点E，则CE的长为________．第5题图【解题关键点】构造矩形BCAG,延长CE交AG于点H,证明△AHC∽△CDB,△AEH∽△BEC是解题的关键．6.如图，已知在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠CAB＝∠EAF，BE分别与AC，CF交于点D，O.(1)求证：BE＝CF；(2)当∠BAC＝70°时，求∠BOC的度数．第6题图参考答案与解析1.C【解析】∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∴∠CAD＋∠ADC＝120°，∵∠ADE＝60°，∴∠BDE＋∠ADC＝120°，∴∠CAD＝∠BDE，∴△ADC∽△DEB，∴eq\f(AD,DE)＝eq\f(AC,DB)，∵BD＝4DC，∴设DC＝x，则BD＝4x，∴BC＝AC＝5x，∴eq\f(AD,2.4)＝eq\f(5x,4x)，∴AD＝3.2.3【解析】∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＋∠FAC＝90°，∴∠FAC＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BEA＝∠AFC,∠ABE＝∠CAF,AB＝CA))，∴△ABE≌△CAF(AAS)，∴BE＝AF＝4，AE＝CF＝1，∴EF＝AF－AE＝4－1＝3.3.2【解析】如解图，以点D为旋转中心，将△DMB顺时针旋转120°，得到△DEC，∵△ABC为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠ACD＝∠MBD＝∠MBC＋∠DBC＝60°＋30°＝90°，∠DCE＝∠MBD＝90°，∴E，C，N三点在同一条直线上，又∵△CDE≌△BDM，∴∠CDE＝∠BDM，DE＝DM，∠NDE＝∠NDC＋∠CDE＝∠NDC＋∠BDM＝∠BDC－∠MDN＝120°－60°＝60°，在△DMN和△DEN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DM＝DE,∠MDN＝∠EDN,DN＝DN))，∴△DMN≌△DEN(SAS)，∴MN＝EN＝CE＋CN＝BM＋CN，∴△AMN的周长为AM＋AN＋MN＝AM＋AN＋BM＋CN＝AB＋AC＝1＋1＝2.第3题解图4.2【解析】∵AF＝eq\f(1,4)AD，∴AF＝1，∵∠CEF＝90°，∴∠AEF＋∠CEB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∵∠CEB＋∠ECB＝90°，∴∠FEA＝∠ECB.∴△AEF∽△BCE，∴eq\f(AE,BC)＝eq\f(AF,BE)，∴eq\f(AE,4)＝eq\f(1,BE)，∴AE·BE＝4，∵AE＋BE＝4，∴AE＝4－BE，∴(4－BE)·BE＝4，解得BE＝2，∴AE＝2.5.eq\f(12\r(13),17)【解析】如解图，过点A，B分别作AC，BC的垂线，两垂线相交于点G，延长CE交AG于点H，∵△ACB是直角三角形，∴四边形ACBG为矩形，∵D为AC的中点，AC＝4，∴CD＝AD＝2，∵BC＝3，∴BD＝eq\r(CD2＋BC2)＝eq\r(22＋32)＝eq\r(13)，∵CE⊥BD，∴∠CDB＋∠DCH＝90°，∠CDB＋∠DBC＝90°，∴∠DCH＝∠DBC，∴△AHC∽△CDB，∴eq\f(CH,BD)＝eq\f(AC,CB)＝eq\f(AH,CD)，即eq\f(CH,\r(13))＝eq\f(4,3)＝eq\f(AH,2)，∴CH＝eq\f(4\r(13),3)，AH＝eq\f(8,3)；在矩形ACBG中，AH∥CB，∴△AEH∽△BEC，∴eq\f(AH,BC)＝eq\f(HE,CE)＝eq\f(CH－CE,CE)，即eq\f(\f(8,3),3)＝eq\f(\f(4\r(13),3)－CE,CE)，解得CE＝eq\f(12\r(13),17).第5题解图6.(1)证明：∵∠CAB＝∠EAF，∴∠CAB＋∠CAE＝∠EAF＋∠CAE，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，eq\b\lc\{(\a\vs4