光学-游璞于国萍版-1.1-几何光学

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第一章

几何光学

几何光学研究的是光在障碍物尺度比光波长大得多情况下的传播规律。这种情况下，波长趋近于零。可以不必考虑光的波动性质，仅以光直线传播性质为基础.

若研究对象的几何尺寸远远大于所用光波波长，则由几何光学可以得到与实际基本相符的结果。反之，当几何尺寸可以与光波波长相比时，则由几何光学获得的结果将与实际有显著差别，甚至相反。几何光学是波动光学在一定条件下的近似。本章主要内容§1几何光学的基本定律和费马原理§2成像的基本概念§3傍轴条件下的单球面折射成像§4薄透镜的成像公式和放大率§5共轴球面系统§6光学系统中的光阑§7像差§1-1几何光学的基本定律和费马原理1.光线2.几何光学的基本实验定律3.费马原理一、光线1.光线：形象表示光的传播方向的几何线。［注］①同力学中的质点一样，光线仅是一种抽象的数学模型。它具有光能，有长度，有起点、终点，但无粗细之分，仅代表光的传播方向。无数光线构成光束。光沿光线方向传播时，位相不断改变。2.几何光学的适用条件：在光的传播方向上障碍物（狭缝、小孔、透镜的口径）的几何尺寸必须远远大于光的波长。二、几何光学的基本实验定律1、光的直线传播定律：光在各向同性的均匀介质中沿直线传播。［注］：非均匀介质中，光以曲线传播，向折射率增大方向弯曲实例：物体的影子、针孔成象、日食、月食实例：夏日柏油路上的倒影、海市蜃楼2、光的独立传播定律和光路可逆原理:［注］适用于强度不太大，相干性较差的光线传播来自不同方向的光线在介质中相遇后，各保持原来的传播方向和强度继续传播。光沿反方向传播时，必定沿原光路返回。即在几何光学中，任何光路都是可逆的。

入射光线、反射面的法线和反射光线三者处在同一平面上，入射光线和反射光线分居于入射点界面法线的两侧，入射角等于反射角。3、反射定律：en界面SR漫反射（故，我们才能在各个角度看见物体）4.折射定律：折射线位于入射面内,折射线与入射线分居法线两侧，入射角的正弦与折射角的正弦之比为一与入射角无关的常数，即*全反射发生的条件光纤通信思考斯涅耳公式5、几何光学定律成立的条件（1）必须是均匀介质，即同一介质的折射率处处相等，折射率不是位置的函数。（2）必须是各向同性介质，即光在介质中传播时各个方向的折射率相等，折射率不是方向的函数。（3）光强不能太强，否则巨大的光能量会使线性叠加原理不再成立而出现非线性情况。（4）光学元件的线度应比光的波长大得多，否则不能把光束简化为光线。1.光程——在均匀介质中，光在介质中通过的几何路程

l与该介质的折射率n的乘积：三、费马原理

光在均匀介质中总是沿直线传播的，光在非均匀介质中又是怎样传播的？费马借助光程的概念，回答了该问题。物理意义：光程表示光在介质中通过真实路程所需时间内,在真空中所能传播的路程。分区均匀介质:折射率连续变化介质:介质中折合到真空中2.费马原理1658年法国数学家费马（P.Fermat1601-1665)概括了光线传播的三定律，发表了“光学极短时间原理”，经后人修正，称为费马原理。

过去表述：光沿所需时间为极值的路径传播。现在表述：光沿光程取极值的路径传播。［注］极值：极小值、极大值、恒定值数学表述：（由变分原理）每一可能路径都是空间的坐标函数,而光程又随路径而变化,是函数的函数——泛函*,其改变称为变分，数学过程是相应的求导。*泛函与复合函数（附录4）光程为极值的例子:(1)光程为极小值——直线传播定律、反射定律、折射定律（后做证明）(2)光程为恒定值——回转椭球凹面镜AB［析］椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数自其一个焦点发出、经镜面反射后到达另一焦点的光线，其光程相等。(3)光程为极大值回转抛物凹面镜ABB.内切于回转椭球面的凹球面镜由A点发出过D点符合反射定律的光线，必过椭球另一焦点B，光线的光程ADB比任何路径的光程ACB都大.ABDC焦点发出的光，反射后变为平行光，会聚在无穷远处，光程为极大值。3.由费马原理导出几何光学定律在均匀介质中折射率为常数1)直线传播定律：所以光在均匀介质中沿直线传播而由公理：两点间直线距离最短的极小值为直线ABAB由费马原理知，A(x1,y1,0)B(x2,y2,0)D(x,0,0)C(x,0,z)xzyii’设从A点发出的光线入射到分界面xoz，在C点反射到B点2)反射定律

（证明方法1）由(2)知，z=0，说明入射点C一定在xoy平面内，即D(x,0,0)，由此入射光线、法线，反射光线在同一平面内。由(1)也即：得：A(x1,y1,0)B(x2,y2,0)D(x,0,0)C(x,0,z)xzyii’光的反射定律（证明方法2：反正法）P’是P点关于Σ面的对称点。P，Q，O三点确定平面Π。

直线QP’与反射面Σ交于O点。则易知当i’=i时，QO+OP为光程最短的路径。Q点发出的光经反射面Σ到达P点当x1≠x2时，(x-x1)与(X2-x)正负号相同x一定x1在x2之间，因而入射光线和反射光线分居法线两侧。即，光垂直入射到分界面，三线重合当x1＝x2＝x时A(x1,y1,0)B(x2,y2,0)D(x,0,0)C(x,0,z)xzyii’讨论：3)折射定律的证明（见课本P5）

1-1小

结一、光线与波面在各向同性介质中，光线与波面总是垂直的二、几何光学的基本实验定律光的直线传播、反射、折射、光的独立传播和光路可逆三、费马原理光沿光程取极值的路径传播n2n1§2成像的基本概念同心光束vs非同心光束物点vs像点实物点vs虚物点实像点vs虚像点物方空间vs像方空间共轭点vs共轭角vs共轭面理想光学系统、高斯光学会聚的同心光束S

平行光束的心在无穷远S发散的同心光束同心光束：一光束中各光线或其延长线相交于一点（也叫单心光束），分三种：

非同心光束：各光线或其延长线不相交于一点一、同心光束和非同心光束二、

理想光学系统1、能将一同心光束变换成另一同心光束，且其心是唯一的一一对应的光学系统。2、平面反射镜是实际中唯一的理想光学系统DM’MP‘PCBA平面镜3、在近轴光线近轴物的条件下，实际光学系统可近似为理想光学系统。虚像与虚光线像点并不是真实光线汇聚而成而是视觉上将反射光线反向延长后汇聚形成的因而，反射光线的反向延长线就是“虚光线”，这样形成的像就是“虚像”三、物和像的概念物点——入射单心光束的心像点——出射单心光束的心虚像点——出射发散光束的心像点｛

实像点——出射会聚光束的心物点｛

实物点——入射发散光束的心虚物点——入射会聚光束的心光学系统PP'光学系统PP'光学系统PP'虚像点实物点实像点实物点实像点虚物点[注]所谓的“入射”、“出射”是对某一光学系统而言[注]实物、实像、虚像的联系与区别1、成像于视网膜上的只是光束的顶点而非光束本身。

光通过浑浊的空间时，尘埃微粒作为散射光束的顶点被看到，而不是看到了光束本身；

宇航员看到的洁净的宇宙空间是漆黑的，是由于没有尘埃作为散射源。[注]实物、实像、虚像的联系与区别2、人眼以刚进入瞳孔前的光线方向判断光束顶点位置

单独用人眼无法直接判断顶点是否有实际光线通过对人眼而言，无论是物点还是像点，是实像还是虚像，都不过是发散光束的顶点，二者之间没有区别。实发光点实像虚像PP′P′′例：实物点P与实像点P′、虚像点P′′实物点实像点虚像点P各处可见；而由于透镜大小的限制，P′和P′′仅在光束范围内可见。置一白纸于P′、

P′′处，由于有实际光线通过，P′是亮点；由于无实际光线通过，P′′处看不到光点。

物方空间（物方）：入射光束所在的空间

像方空间（像方）：出射光束所在的空间

物方折射率：入射光束所在介质的折射率n

像方折射率：出射光束所在介质的折射率n′光学系统SS'实物点实像点物空间像空间nn'四、

物空间和像空间五、

物像之间的共轭性在近轴光线、近轴物的条件下物空间每个

对应像空间点直线平面{{

对应的点、直线、平面称为共轭点、线、面[注]物像共轭是光路可逆原理的必然结果点直线平面六、物像之间的等光程性PP'AA'··PP'AA'物点P和像点P

之间各光线的光程都相等（费马原理）1-2小

结单心光束和象散光束理想光学系统物和像的概念物空间和像空间物像之间的共轭性物像之间的等光程性§1-3傍轴条件下的单球面折射成像傍轴条件符号规则近轴条件下的物像公式高斯公式、牛顿公式垂轴小物成像和放大率

单独一个球面不仅是一个简单的光学系统，而且光学仪器中透镜的表面都是球面的，因而球面是组成光学仪器的最基本单元。研究光经球面折射（和反射）是研究一般光学系统成像的基础。一、傍轴条件Pn-iA

-i’n’u’CP`OΔAPCΔACP’P’的位置与A点的位置相关，偶从P点发出的光线，与球面交于不同点，折射后与主光轴交于不同点∴同心光束

非同心光束，球面折射不能理想成像正弦定理傍轴光线：与光轴成微小角度，它们的入射角i与折射角i’都很小，满足近似条件:则：PO≈AP，OP’≈AP’傍轴光线经折射后都通过同一P’点，与A点的位置无关Pn-iA

-i’n’u’CP`O一个与光轴垂直的傍轴平面小物，它以傍轴光线所成的像也与光轴垂直物平面像平面共轭平面Pnn’CP`OQQ`傍轴小物：Q点到光轴的距离远小于球面的曲率半径轴外物点成像（1）轴向距离（物、象、焦距、曲率半径等）：从顶点O算起，右为正，左为负（2）垂轴距离（物、象、高）：主轴之上为正，下为负（3）角度：以光轴或法线为始边，沿小于

/2

的方向旋转，顺时针为正，逆时针为负（4）图中标为记均为绝对值（若某一字母表示负的数值，则在其前标以负号）。二、符号规则Pn-u-iA

-i’n’u’CP`Or-ss’一般规定光的传播方向自左向右Pn-u-iA

-i’n’u’CP`Or

-p

p’三、傍轴条件下的物像公式h球面折射成像的物像关系式傍轴条件三、傍轴条件下的物像公式讨论：当介质和球面一定时（n，n’，r一定），p‘与p一一对应，即：在近轴光线条件下光束单心性得到保持。物像共轭：P物P‘像；P‘物P像对凹球面折射同样适用平面则Pn-u-iA

-i’n’u’CP`Or

-p

p’讨论：在球面反射中，物像空间重合，且入射光线与反射光线行进方向相反，在数学处理方法上，可假设n‘=-n

(物理上无意义)则，物象公式为：定义——球面的光焦度单位：m－1，称为屈光度，用D表示。1D＝100度

0为会聚系统，

0为发散系统，

=0为无焦系统.物理意义：表示光进入光学系统的折光程度——折光度P’Ps’-s当介质和球面一定时（n,n’,r一定），*式右端一个常量

焦点、焦距A.像方焦点F’、像方焦距f’F`f`nn`O

-pp’nn`O

-pp’F-f∵“-”号表示f与f’永远异号，物、像方焦点一定位于球面两侧B.物方焦点F、物方焦距f球面反射时：例题：一束会聚光射向球面，如果将入射光延长，则会聚到P点，求这束光经过球面折射后实际的会聚点。FF’PFF’P四、高斯公式、牛顿公式由---高斯公式(普适公式)1、高斯公式对任何理想成像过程均适用得两边除以光焦度将焦距公式代入得根据上面的定义,有：p=x+f,p'=x'+f'代入高斯公式，得-pp'P’Pnn'••••-ff'FF'x'-x2.牛顿公式焦物距x：物方焦点到物点的距离焦象距x'：象方焦点到象点的距离整理得---牛顿公式(普适公式)例1.2折射面的曲率半径为3cm，点物P在折射顶点左侧9cm处，左方折射率为1.0，右方折射率为1.5，计算像的位置。解：已知r=3cm，p=-9cm，n=1.0，n’=1.5代入解得p’=27cm五、垂轴小物成像和放大率

近轴条件：垂轴小物、近轴光线像也垂轴，物与像相似1、横向放大率：像与物的横向大小之比MPP’i-ui’-pp’n’nQQ’y-y’u’五、垂轴小物成像和放大率MPP’i-ui’-pp’n’nQQ’y-y’u’在傍轴条件下：几个推论：-pp'P’Pnn'••••-ff'FF'x'-x即：代入#式，得：MPP’i-ui’-pp’n’nQQ’y-y’u’h称为拉格朗日—亥姆霍兹不变量此式表明了在傍轴条件下，物空间和象空间各共轭量之间的关系。此式对多个折射球面系统也适用。即MPP’i-ui’-pp’n’nQQ’y-y’u’h[注]像的性质判断（也适用于球面反射）：（虚实相同）实物实像或虚物虚像（虚实相反）实物虚像或虚物实像APOCP’-i-u-i’

-pp’rll’dn’nhQQ’y-y’u’例：一个折射率为