高中数学《直观图》导学案

第一章立体几何初步

DIYIZHANG§2Mg

［学习目标］1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.2.用斜二测

画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.

|课前自主学习|

【主干自填】

1.平面图形直观图的画法

斜二测画法规则：

(1)在已知图形中建立平面直角坐标系X。)，，画直观图时，它们分别对应X,

轴和y轴，两轴交于点0，，使Nx'O'y'=回45。，它们确定的平面表示理

水平平面.

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成蚂功于/

轴和y'轴的线段.

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度圆不变;平行于y

轴的线段，长度为原来的值

2.立体图形与平面图形相比多了一个蹙轴，其直观图中对应于z轴的是蚂

二J由平面x'O'y'表示国水平平面，平面v'O'z'和x'O'z"表示/直

立平面.平行于z轴的线段，在直观图中四平行性和回长度都不变.

【即时小测】

1.思考下列问题

(1)相等的角在直观图中还相等吗？

提示：不一定.例如正方形的直观图为平行四边形.

(2)空间几何体的直观图唯一吗？

提示：不唯一.作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同.

2.长方形的直观图可能为下图中的哪一个（）

①②③④⑤

A.①②B.①②③C.②⑤D.③④⑤

提示：C因为长方形的直观图中直角应为45。角，且平行线仍为平行的平行

四边形，只有②⑤满足.

3.梯形的直观图是（）

A.梯形B.矩形

C.三角形D.任意四边形

提示：A因为梯形的两底在直观图中应平行且不相等，故仍为梯形.

4.如图所示的直观图△4'。'B',其平面图形的面积为.

提示：6由直观图可知其对应的平面图形A08中，NAOB=90。，0B=3,

0A=4,.,.S^AOB=^OAOB=6.

课堂互动探究

题型一画水平放置的平面图形的直观图

例1画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.

［解］画法：（1）如图所示，取4?所在直线为x轴，A3中点。为原点，建

立直角坐标系，画对应的坐标系x'O'y',使O'y'=45°.

(2)以。'为中点在x'轴上取A'B'=AB,在y'轴上取O'E'=|c>E,

以E'为中点画C'D'〃/轴，并使C'D'=CD.

(3)连接"C,D'A',所得的四边形A'B'CD'就是水平放置的等

腰梯形A8CD的直观图.

类题通法

(1)本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”“画图”简便易行.

(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一

般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标

轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.

［变式训练1］用斜二测画法画如图所示边长为4cm的水平放置的正三角形

的直观图.

解(1)如图①所示，以BC边所在的直线为九轴，以8C边上的高线AO所在

的直线为y轴.

(2)画对应的一轴、y'轴，

使Nx'O'y'=45°.

在x'轴上截取。'B'=0'C=OB=OC=2cm,在轴上取。'A'

=^OA,连接A'B',A'C,则三角形A'B'C即为正三角形48c的直观

图，如图②所示.

)题型二空间几何体的直观图

例2画出正五棱柱的直观图.

:解1(1)画轴.画龙'轴、y'轴和z'轴，使Nx'O'y'=45。，N尤'O'z'

=90°,如图①所示.

(2)画底面.按/轴、y'轴画正五边形的直观图A8CDE.

(3)画侧棱.过点A、B、C、D、E分别作z'轴的平行线，并在这些平行线

上分别截取A4'、BB'、CC、DD',EE'都相等.

(4)成图，顺次连接A'、"、C、O'、£',去掉辅助线，改被挡部分

为虚线，如图②所示.

类题通法

(1)画空间几何体的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，

再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.

(2)直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变”.

［变式训练2］用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方

WABCD-A'B'CD'的直观图.

解画法：

(1)画轴.如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O,使Nx0y=45。，ZxOz

=90°.

(2)画底面.以点。为中点，在x轴上取线段MN,使MN=4cm；在y轴上

3

取线段PQ,使PQ=2cm.

分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和。作x轴的平行线，设它们的

交点分别为A,B,C,D,四边形ABC。就是长方体的底面ABCD

(3)画侧棱.过A,B,C,。各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分

别截取2cm长的线段AA',BB',CC,DD'.

I)1C,

(4)成图.顺次连接A',夕，C',，并加以整理(去掉辅助线，将被遮

挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.

＞题型三由直观图还原平面图形

例3如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,

则原平面图形的面积为()

B.c.a2D.2a2

［解析］由直观图还原出原图，如图，所以S=a-2也。=2也足.

［答案］B

类题通法

由直观图还原平面图形的关键两点

(1)平行/轴的线段长度不变，平行V轴线段扩大为原来的2倍；

(2)对于相邻两边不与/、y'轴平行的顶点可通过作x'轴，轴平行线变

换确定其在X。)，中的位置.

［变式训练3］一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形

04'B'C的面积为加,则原梯形的面积为()

A.2B.巾C.2啦D.4

答案D

解析如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上下底边的长

度是一样的，不一样的是两个梯形的高.

原梯形的高0C是直观图中。C'长度的2倍，0C的长度是直观图中梯形

的高的也倍，由此知原梯形的高0C的长度是直观图中梯形高的26倍，故其面

积是梯形。4'B'C面积的倍，梯形OA'B'C'的面积为也，所以原梯

形的面积是4.

培优部落

易错点>画直观图时忽略斜二测画法的规则

［典例］画出下图中四边形0ABC的直观图.

［错解］如图⑴所示，画X,轴和y'轴，使Nx'O'y=45。.在x'轴上取

O'B'=4,O'D'=3,在y'轴上取O'C=1,过。'作D'A'=

90°,取A'D'=1,顺次连接O'A',A'B',B'C,擦去辅助线，所得

四边形O'A'B'C为四边形0A3C的直观图，如图⑵所示.

(1)(2)

［错因分析］错解中没有将N8'D'A'画成135。.

［正解］如图(1)所示,画/轴和V轴，使4O/y'=45。.在x'轴上

取O'B'=4,O'D'=3,在y'轴上取O'C=1,过。'作NB'D'A'

=135°,取A'D'=1,顺次连接O'A',A'"，B'C,擦去辅助线，所

得四边形。'A'B'C为四边形0A8C的直观图，如图(2)所示.

A'

(1)⑵

课堂小结

1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻

找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确

定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.两者之间关系为：

Si\［2

工=4-

2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比

仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.

随堂巩固训练

1.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4,则此正

方形的面积为（）

A.16B.64

C.16或64D.无法确定

答案C

解析等于4的一边在原图形中可能等于4,也可能等于8,所以正方形的面

积为16或64.

2.利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的

（）

7

3OL5=\.5n2S

3333

ABCD

答案C

解析正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2：1.

3.在用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，与轴不平行的线段的

长度（）

A.变大B.变小

C.一定改变D.可能不变

答案C

解析当与无轴不平行时，过该线段的中点作x轴的垂线，该垂线与y轴平

行，画直观图时，该直线平行于y'轴，并且长度减半，从而原线段端点位置改

变，导致长度改变.

4.水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正则4

ABC是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.任意三角形

答案C

解析水平放置的△ABC有一边在水平线上，因为直观图是正三角形，所以

原图形有一角大于90。，故为钝角三角形.

课后课时精练

时间：25分钟

1.关于斜二测画法的叙述，其中正确的个数为()

(1)两条相交直线的直观图可能是平行直线；

(2)两条互相垂直的直线的直观图仍然垂直；

(3)正方形的直观图可能是梯形；

(4)平行四边形的直观图是平行四边形；

(5)相等线段的直观图仍然相等.

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析由于斜二测画法保共点性，所以(1)错；保平行性，所以(3)错，(4)对;

原来垂直的两线段，在直观图中夹角为45。，所以(2)错；与y轴平行的线段长度

变为原来的一半，所以(5)错.

2.如下图建立坐标系，得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一

组是()

答案C

解析在A、B、D中，三角形ABC的直观图的底面边长和高均相等，它们

是全等的，只有C不全等.

3.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△4‘B'C'

的面积为()

答案D

解析先根据题意，画出直观图，然后根据直观图△4'B'C的边长及夹

角求解.

图(2)所示为实际图形的直观图，由(2)可知，A'B'=AB=a,O'C=；。。

=乎处在图(2)中作C'D'J_A'"于£>',则C'D'=乎0'C邛a.

/.SAABC=^A'B'C'D'=[xaX害。=系/.

ZZO1o

4.如下图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形,

则原来图形的形状是（）

答案A

解析直观图边长为1,对角线为也，则原图形中对应的对角线为2也.故选

5.如图所示是水平放置的正方形ABCO,在平面直角坐标系xOy中，点B

的坐标为（4,4）,则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点二到』轴的距

离为（）

■■y

A«(4,4)

~0Cx

、历

A.^2B.^-C.2^2D.2

答案A

解析由斜二测画法规则画出直观图如图所示,

作"ELx'轴于点E,在Rt△夕CE中，"C=2,NB‘CE=45。,

B'E=B'Csin45°=2X^-=V2.

6.如下图，矩形O'A'B'C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中

O'A'=6cm,O'C=2cm,则原图形是（）

A.正方形B.矩形

C.菱形D.一般的平行四边形

答案c

解析如图,

在原图形0A8C中，。。=20'D'=2X2yf2=4yf2cm,CD=CDf=2cm.

0C=\l0D2+CD2=^/(4A/2)2+22=6cm,：.OA=OC,故四边形0A8C是菱形.

7.如图，正方形O'A'B'C的边长为1cm,它是水平放置的一个平面

图形的直观图，则原图的周长是()

A.8cmB.6cm

C.2(1+4)cmD.2(1+V2)cm

答案A

解析根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形O43C为平行四边

形，0B=2®QA=1,AB=3,从而原图周长为8cm.

8.若一个三角形，采用斜二测画法作