




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
第2课时空间中直线、平面的平行与垂直1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系1课前预习素养启迪1.空间中直线、平面的平行(1)两直线平行的判定方法设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2⇔
⇔∃λ∈R,使得
.(2)直线和平面平行的判定方法设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l⊄α,则l∥α⇔
⇔
.u1∥u2u1=λu2u⊥nu·n=0(3)平面和平面平行的判定方法设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔
⇔∃λ∈R,使得
.[问题1]若直线l的方向向量m和平面α的法向量垂直,则l是否与平面α平行?答案:l与α不一定平行,有两种情况:l⊂α或l∥α.n1∥n2n1=λn22.空间中直线、平面的垂直(1)两直线垂直的判定方法设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔
⇔
.(2)直线和平面垂直的判定方法设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔
⇔∃λ∈R,使得
.u1⊥u2u1·u2=0u∥nu=λn(3)平面和平面垂直的判定方法设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔
⇔
.[问题2](1)若两个平面的法向量不垂直,那么这两个平面垂直吗?答案:(1)不垂直.(2)若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直,那么l与α垂直吗?答案:(2)垂直.n1⊥n2n1·n2=01.设直线l1的一个方向向量a=(1,3,-2),直线l2的一个方向向量b=(-4,3,m),若l1⊥l2,则m等于(
)B2.若α,β表示不同的平面,平面α的一个法向量为
v1=(1,2,1),平面β的一个法向量为v2=(-2,-4,-2),则平面α与平面β的位置关系是(
)A.平行
B.垂直
C.相交
D.不确定A3.已知m=(1,2,-1)为平面α的一个法向量,n=(-2,t,1)为直线l的一个方向向量,若l∥α,则t=
.
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=CC1=1,若在CD上存在点E,使得A1E⊥平面AB1D1,则DE=
.
2课堂探究素养培育空间中直线、平面的平行角度1直线与直线平行[例1]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,M,N分别为A1B,AC的中点.求证:MN∥B1C.向量法证明线线平行的思路要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证得
a∥b即可.具体方法有如下两种:(1)坐标法.根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线.(2)基向量法.取空间一个基底,用基底表示两直线的方向向量,证得它们共线.[针对训练]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.求证:PQ∥RS.角度2直线与平面平行[例2]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为CC1,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.利用空间向量证明线面平行的三种方法(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示.(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证.(3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.[针对训练]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:FC1∥平面ADE.角度3平面与平面平行[例3]已知正方体ABCD-A′B′C′D′,求证:平面AB′D′∥平面BDC′.向量法证明面面平行的三种思路(1)证明两个平面的法向量共线.(2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线.(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.[针对训练]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是正方体六个表面的中心,求证:平面EFG∥平面HMN.空间中直线、平面的垂直角度1直线与直线垂直[例4]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在棱A1B1上,E,F分别是CC1,BC的中点,AE⊥A1B1,AA1=AB=AC=2.求证:DF⊥AE.证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,有AA1⊥A1B1,AA1⊥A1C1.又因为AE⊥A1B1,AE∩AA1=A,AE,AA1⊂平面AA1C1C,所以A1B1⊥平面AA1C1C.向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可,具体方法有以下两种:(1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,计算出两向量的数量积为0.(2)基向量法:利用向量的加减运算,结合图形,将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来,利用数量积运算说明两向量的数量积为0.角度2直线与平面垂直[例5]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC.向量法证明线面垂直的两种方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线.(2)根据线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两个相交向量垂直.[针对训练]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.求证:EF⊥平面PAB.角度3平面与平面垂直[例6]如图,在四棱锥E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=120°.求证:平面ADE⊥平面ABE.向量法证明面面垂直的两种思路(1)证明两个平面的法向量垂直.(2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面.[针对训练]在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,AS⊥底面ABCD,且AS=AB,E是SC的中点.求证:平面BDE⊥平面ABCD.与平行、垂直有关的探索性问题[应用探究]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上(不含端点).(1)是否存在点E,使PC⊥平面BDE?解:因为底面ABCD为正方形,所以AB⊥AD,又PA⊥平面ABCD,所以以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=a,AP=c,a>0,c>0,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,c).[应用探究]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上(不含端点).(2)是否存在点E,使平面PCD⊥平面AED?1.两平面α,β的法向量分别为u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1),若α⊥β,则y+z的值是(
)A.-3B.6C.-6D.-12B解析:因为α⊥β,所以u·v=0,即(3,-1,z)·(-2,-y,1)=0,所以3×(-2)+(-1)×(-y)+z×1=0,解得y+z=6.A3.(多选题)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的是(
)A.两条不重合直线l1,l2的方向
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2024国际物流师技术优化考题分享试题及答案
- 安全工程师必知的国际标准试题及答案
- 2025年铁基记忆合金材料合作协议书
- 工程建设安全规程试题及答案分享
- 提升学习效率CPMM试题及答案
- 厦门广告牌制作施工方案
- 2025年蓄热式高温预热烧嘴项目合作计划书
- 2025天津市建筑工程职工大学辅导员考试题库
- 2025四川职业技术学院辅导员考试题库
- 2025青岛求实职业技术学院辅导员考试题库
- 同时性结直肠癌肝转移治疗进展
- 总监理工程师代表安全监理职责
- 钢筋安装施工技术交底
- GB/T 44990-2024激光熔覆修复层界面结合强度试验方法
- 《伤逝》介绍课件
- 《电梯维保规则》课件
- 华为错混料预防管理
- 5.1 人民代表大会:我国的国家权力机关 课件-高中政治统编版必修三政治与法治-1
- 热处理作业指导书范文
- DB14-T 2826-2023 地下水监测系统运行维护规范
- 高三冲刺毕业家长会课件2024-2025学年
评论
0/150
提交评论