用空间向量研究直线、平面的位置关系第2课时 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2课时空间中直线、平面的平行与垂直1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系1课前预习素养启迪1.空间中直线、平面的平行(1)两直线平行的判定方法设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2⇔

⇔∃λ∈R,使得

.(2)直线和平面平行的判定方法设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l⊄α,则l∥α⇔

⇔

.u1∥u2u1=λu2u⊥nu·n=0(3)平面和平面平行的判定方法设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔

⇔∃λ∈R,使得

.[问题1]若直线l的方向向量m和平面α的法向量垂直,则l是否与平面α平行?答案:l与α不一定平行,有两种情况:l⊂α或l∥α.n1∥n2n1=λn22.空间中直线、平面的垂直(1)两直线垂直的判定方法设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔

⇔

.(2)直线和平面垂直的判定方法设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔

⇔∃λ∈R,使得

.u1⊥u2u1·u2=0u∥nu=λn(3)平面和平面垂直的判定方法设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔

⇔

.[问题2](1)若两个平面的法向量不垂直,那么这两个平面垂直吗?答案:(1)不垂直.(2)若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直,那么l与α垂直吗?答案:(2)垂直.n1⊥n2n1·n2=01.设直线l1的一个方向向量a=(1,3,-2),直线l2的一个方向向量b=(-4,3,m),若l1⊥l2,则m等于(

)B2.若α,β表示不同的平面,平面α的一个法向量为

v1=(1,2,1),平面β的一个法向量为v2=(-2,-4,-2),则平面α与平面β的位置关系是(

)A.平行

B.垂直

C.相交

D.不确定A3.已知m=(1,2,-1)为平面α的一个法向量,n=(-2,t,1)为直线l的一个方向向量,若l∥α,则t=

.

4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=CC1=1,若在CD上存在点E,使得A1E⊥平面AB1D1,则DE=

.

2课堂探究素养培育空间中直线、平面的平行角度1直线与直线平行[例1]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,M,N分别为A1B,AC的中点.求证:MN∥B1C.向量法证明线线平行的思路要证明线线平行,只需取两直线的方向向量a,b,证得

a∥b即可.具体方法有如下两种:(1)坐标法.根据图形特征,建立适当的空间直角坐标系,求出两直线方向向量的坐标,证明它们共线.(2)基向量法.取空间一个基底,用基底表示两直线的方向向量,证得它们共线.[针对训练]在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.求证:PQ∥RS.角度2直线与平面平行[例2]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为CC1,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.利用空间向量证明线面平行的三种方法(1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示.(2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证.(3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.[针对训练]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:FC1∥平面ADE.角度3平面与平面平行[例3]已知正方体ABCD-A′B′C′D′,求证:平面AB′D′∥平面BDC′.向量法证明面面平行的三种思路(1)证明两个平面的法向量共线.(2)根据面面平行的判定定理,证明一个平面内有两个相交向量与另一个平面内的向量共线.(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.[针对训练]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是正方体六个表面的中心,求证:平面EFG∥平面HMN.空间中直线、平面的垂直角度1直线与直线垂直[例4]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D在棱A1B1上,E,F分别是CC1,BC的中点,AE⊥A1B1,AA1=AB=AC=2.求证:DF⊥AE.证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,有AA1⊥A1B1,AA1⊥A1C1.又因为AE⊥A1B1,AE∩AA1=A,AE,AA1⊂平面AA1C1C,所以A1B1⊥平面AA1C1C.向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可,具体方法有以下两种:(1)坐标法:根据图形的特征,建立适当的空间直角坐标系,准确地写出相关点的坐标,表示出两条直线的方向向量,计算出两向量的数量积为0.(2)基向量法:利用向量的加减运算,结合图形,将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来,利用数量积运算说明两向量的数量积为0.角度2直线与平面垂直[例5]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC.向量法证明线面垂直的两种方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线.(2)根据线面垂直的判定定理,证明直线的方向向量与平面内的两个相交向量垂直.[针对训练]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.求证:EF⊥平面PAB.角度3平面与平面垂直[例6]如图,在四棱锥E-ABCD中,AB⊥平面BCE,CD⊥平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=120°.求证:平面ADE⊥平面ABE.向量法证明面面垂直的两种思路(1)证明两个平面的法向量垂直.(2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面.[针对训练]在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,AS⊥底面ABCD,且AS=AB,E是SC的中点.求证:平面BDE⊥平面ABCD.与平行、垂直有关的探索性问题[应用探究]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上(不含端点).(1)是否存在点E,使PC⊥平面BDE?解:因为底面ABCD为正方形,所以AB⊥AD,又PA⊥平面ABCD,所以以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=a,AP=c,a>0,c>0,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,c).[应用探究]如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上(不含端点).(2)是否存在点E,使平面PCD⊥平面AED?1.两平面α,β的法向量分别为u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1),若α⊥β,则y+z的值是(

)A.-3B.6C.-6D.-12B解析:因为α⊥β,所以u·v=0,即(3,-1,z)·(-2,-y,1)=0,所以3×(-2)+(-1)×(-y)+z×1=0,解得y+z=6.A3.(多选题)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的是(

)A.两条不重合直线l1,l2的方向