2024河北中考数学二轮重难专题研究 专题二 函数图像与性质综合题（课件）

一题多设问二阶例如图，直线l1∶y＝－2x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为射线AO上的一点(点P不与点A重合)，BC是△ABP的中线，点C、C′关于直线BP∶y＝＋n对称，直线y＝a分别与直线l1、直线BP交于点G，H.专题二函数图象与性质综合题类型一一次函数综合题例题图例题图【思维教练】利用方程思想求解．解：(1)把x＝0代入y＝－2x＋4，得y＝4，把y＝0代入y＝－2x＋4，得x＝2，∴A(2，0)，B(0，4)；(1)求点A、B的坐标；(2)若∠APB＝45°，求直线PB的解析式；【思维教练】由∠APB＝45°即可求得点P的坐标，由待定系数法求解．(2)∵B(0，4)，∴n＝4，令y＝－x＋4＝0，解得x＝m，∴点P的坐标为(m，0)，∵∠APB＝45°，∠POB＝90°，∴点P在x轴的负半轴上，且△POB为等腰直角三角形，例题图∴OP＝OB＝4，∴P(－4，0)，∴m＝－4，∴直线PB的解析式为y＝x＋4；例题图(3)若S△BPC＝2S△BCO，求m的值；【思维教练】根据三角形的面积公式将S△BPC＝2S△BCO转化为PC＝2OC，分两种情况讨论，即点C位于y轴左右两侧．(3)∵点P的横坐标为m，A(2，0)，BC是△ABP的中线，∴PC＝PA＝，∵S△BPC＝2S△BCO，即PC·BO＝2×CO·BO，∴PC＝2CO，若点C在y轴的左侧，则＝2(－2)，解得m＝－6；例题图若点C在y轴的右侧，则＝2(2－)，解得m＝－；综上所述，m的值为－6或－；例题图(4)若点C′在x轴的下方，求m的取值范围；【思维教练】分三种情况讨论：①点P在x轴负半轴上；②点P与原点重合；③点P在点O、A之间，再结合轴对称的性质即可求解．(4)当点P在x轴负半轴上时，点C′在x轴的上方；点P与原点重合时，点C′在x轴上；点P在点O、A之间时，点C′在x轴的下方，综上可得，若点C′在x轴的下方，则m的取值范围为0＜m＜2；例题图(5)若BC＝BA.①求m的值；【思维教练】①通过已知将BC＝AB转化为CO＝AO，再结合点C，P之间的坐标关系即可求解；(5)①∵BC＝BA，BO⊥CA，∴CO＝OA，∵A(2，0)，∴C(－2，0)，∵BC是△ABP的中线，∴点C为AP的中点；∴P(－6，0)，∴m＝－6；例题图②当由直线PB、直线y＝a与直线l1围成的△BGH内(不含边界)整点的个数不超过5个时，求a的取值范围；②由①可得直线BP的解析式是y＝x＋4，如解图①②所示，当△BGH内(不含边界)整点个数不超过5个时，a的取值范围为1≤a≤7且a≠4.例题解图①例题解图②(6)若直线BP与反比例函数y＝有两个交点，直接写出m的取值范围．【思维教练】通过联立反比例函数与直线BP的解析式，结合一元二次方程根的判别式即可求解．【解法提示】∵直线BP的解析式为y＝－x＋4，联立直线与反比例函数的解析式可得，化简得2x2－2mx－m＝0，∴b2－4ac＝4m2＋8m＞0，解得m＞0或m＜－2，(6)m＜－2或0<m<2.∵m<2，∴当m＜－2或0<m<2时，直线BP与反比例函数y＝有两个交点．综合提升三阶1.

如图，已知直线AB与正比例函数y＝kx(k≠0)的图象交于点A(5，5)，与x轴交于点B，与y轴交于点C(0，)．点P为直线OA上的动点，点P的横坐标为t，以点P为顶点，在其上方作矩形PDEF，满足PD∥x轴，且PD＝1，PF＝2.(1)求k的值及直线AB的解析式；第1题图解：(1)设直线AB的解析式为y＝mx＋n，∵直线AB与正比例函数y＝kx(k≠0)的图象交于点A(5，5)，与y轴交于点C(0，)，∴5＝5k，解得k＝1，∴直线AB的解析式为y＝x＋；第1题图(2)在点P运动的过程中，当点F落在直线AB上时，求t的值；(2)∵点P在直线OA上，点P的横坐标为t，∴P(t，t)，∴F(t，t＋2)．当点F落在直线AB上时，把点F(t，t＋2)代入y＝x＋中，得t＋2＝t＋，解得t＝－1；第1题图(3)在点P运动的过程中，若矩形PDEF与直线AB有公共点，求t的取值范围．(3)要使矩形PDEF与直线AB有公共点，则要考虑点F和点D这两个点在直线AB上的情况：①当点F在直线AB上时，由(2)得t＝－1，②当点D在直线AB上时，∵P(t，t)，∴D(t＋1，t)，第1题图∴把点D(t＋1，t)代入y＝x＋中，得t＝(t＋1)＋，解得t＝7，∴若矩形PDEF与直线AB有公共点，t的取值范围为－1≤t≤7.第1题图2.(2022石家庄43中二模)如图，已知直线l∶y＝mx＋3与x，y轴分别交于A，B，正比例函数y＝kx的图象L与直线l交于点C(2，5)．(1)求k，m的值，并求点A的坐标；解：(1)∵直线l：y＝mx＋3与正比例函数y＝kx的图象交于C(2，5)，则：2m＋3＝5，2k＝5，解得m＝1，k＝，∴直线l：y＝x＋3，令y＝0，则x＋3＝0，解得x＝－3，∴点A的坐标为(－3，0)；第2题图(2)若点P为x轴正半轴上一点，S△AOC＝S△POC，求点P的坐标，将它标在坐标系中，则点A关于点P的对称点坐标是________；(9，0)(2)若点P为x轴正半轴上一点，S△AOC＝S△POC，求点P的坐标，将它标在坐标系中，则点A关于点P的对称点坐标是________；(9，0)(2)∵S△AOC＝S△POC，∴OA＝OP，∵A(－3，0)．P为x轴正半轴上一点，∴点P的坐标为(3，0)；将点P标在坐标系如解图①：第2题图．P【解法提示】设点A关于P的对称点为A′(a，0)，由对称的性质可知AP＝PA′，∴3－(－3)＝a－3，解得a＝9，∴点A关于点P的对称点坐标是(9，0)．(3)约定：将(2)△POC内部(不含边界)横、纵坐标是整数的点称为“要点”，若曲线y＝(x>0)使得这些“要点”分布在它的两侧，且每侧个数相等，直接写出符合条件的n的整数值．在△POC中，共有(1，1)，(2，1)，(1，2)，(2，2)，(2，3)，(2，4)六个要点，∴(1，1)，(2，1)，(1，2)在y＝(x＞0)的下方，(2，2)，(2，3)，(2，4)在y＝(x＞0)的上方，第2题解图②【解法提示】如解图②，当x＝2时，则y＝，即1＜＜2①，当x＝1时，则y＝n，即n＞2②，联立①②，解得2＜n＜4，∴满足条件n的整数值为n＝3.(3)3.

第2题解图②类型二二次函数综合题例如图，抛物线y＝a(x－2)2－2交x轴于点D、E，交y轴于点F(0，6)．边长为4的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，将正方形OABC从初始位置向右平移，记平移距离为h.例题图(1)求抛物线解析式及点B到抛物线对称轴的距离；【思维教练】由抛物线的顶点式即可得其对称轴，结合正方形的性质及点F的坐标即可求解．一题多设问二阶解：(1)把点F(0，6)代入y＝a(x－2)2－2，可得6＝a(－2)2－2，解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2(x－2)2－2，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵四边形OABC是边长为4的正方形，∴B(－4，4)，∴点B到抛物线对称轴的距离为4＋2＝6；例题图(2)当－1≤x≤4时，求y的最大值与最小值的差；【思维教练】由抛物线的开口方向及对称轴，判断图象的增减性及对称轴是否在x的取值范围内即可求解．(2)∵抛物线的开口向上，∴当－1≤x≤2时，y随x增大而减小，当2≤x≤4时，y随x增大而增大，∴当x＝2时，y有最小值，最小值为－2.∵|－1－2|＞|2－4|，∴当－1≤x≤4，y的最大值为2(－1－2)2－2＝16，∴y的最大值与最小值的差为16－(－2)＝18；例题图(3)当点C首次落在抛物线上时，求h的值；【思维教练】由平移的性质可得，平移后点C对应的点坐标为(h，4)，将其代入抛物线解析式即可求解，注意“首次”，对h的值进行取舍．(3)∵正方形的边长为4，且点C在y轴上，∴点C的坐标为(0，4)．∵正方形OABC从初始位置向右平移，平移距离为h，∴平移后点C对应点的坐标为(h，4)，将其代入抛物线解析式可得2(h－2)2－2＝4，解得h1＝2－，h2＝2＋(舍去)；∴h＝2－;例题图(4)当抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小时，直接写出h的取值范围；【思维教练】由抛物线的增减性可知，只有抛物线对称轴左侧的图象落在正方形内部时，才满足情况，此时临界情况为点C位于抛物线左侧的图象上，点O位于抛物线右侧的图象上，结合对应点坐标即可求解．例题图【解法提示】令y＝0，则2(x－2)2－2＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴点D(1，0)，点E(3，0)，当点C第一次落在抛物线上时，由(3)知h＝2－；当点O与点E重合时，则h＝3，综上可得，当抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小时，h的取值范围为2－＜h≤3.(4)2－＜h≤3；例题图(5)连接EF、BF，直线BF交x轴于点G.①当直线EF下方抛物线与正方形OABC有两个交点时，求h的取值范围；【思维教练】①观察平移过程可知，临界状态为点C，A分别经过抛物线对称轴左侧的图象，结合对应点坐标即可求解；(5)①当点C第一次落在抛物线上时，由(3)得h＝2－；当点A第一次落在抛物线上时，h＝AO＋OD＝4＋1＝5；∴当2－<h<5时，直线EF下方抛物线与正方形OABC有两个交点．例题图温馨提示：点击即可跳转到对应gsp文件。②若△EFG内部(不包含边界)的整点个数不少于4个，直接写出此时h的取值范围．【思维教练】②两个临界状态即直线BF分别经过点(1，1)和点(4，1)．【解法提示】如解图①，当直线BF过点(1，1)时，此时△EFG内部(不包含边界)的整点个数为3个，易得此时直线BF的解析式为y＝－5x＋6，令y＝4，则4＝－5x＋6，解得x＝，∴h＝4＋＝；例题解图①如解图②，当直线BF经过(4，1)时，此时△EFG内部(不包含边界)的整点个数为3个，易得此时直线BF的解析式为y＝－x＋6，令y＝4，则4＝－x＋6，解得x＝，∴h＝4＋＝；综上所述，当△EFG内部(不包含边界)的整点个数不少于4个时，h的取值范围为0＜h＜或h>.例题解图②②0<h<或h>.综合提升三阶1.(2023河北25题10分)如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且AO＝2，在ON上方有五个台阶T₁～T₅(各拐角均为90°)，每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶T₁到x轴距离OK＝10.从点A处向右上方沿抛物线L：y＝－x2＋4x＋12发出一个带光的点P.第1题图(1)求点A的横坐标，且在图中补画出y轴，并直接指出点P会落在哪个台阶上；第1题图【思路分析】A的横坐标：y＝0时，得x＝6或－2知A为L与x轴的左交点点A的横坐标为－2补画出y轴：如解图PP会落在哪个台阶上：当－x2＋4x＋12＝7得x＝－1(舍)或x＝5P(5，7)在T4上第1题解图【解法提示】当－x2＋4x＋12＝7，解得x＝－1(舍)或x＝5，则P(5，7)在T4上．解：(1)当y＝0时，－x2＋4x＋12＝0，解得x＝6或x＝－2，由题意可知点A为L与x轴的左交点，∴点A的横坐标为－2.(2分)补画出y轴如解图，(3分)点P会落在T4台阶上；(4分)第1题解图(2)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶T₅有交点；第1题图【思路分析】由题设C的解析式C的图象过P(5，7)由待定系数法得C的解析式及对称轴C的图象的对称轴与台阶T5有交点已知台阶T5两端坐标PC(2)设C的解析式为y＝－(x－h)2＋11，∵C的图象过P(5，7)，∴7＝－(5－h)2＋11，解得h＝3(舍)或n＝7，∴抛物线C的解析式为y＝－(x－7)2＋11，抛物线C的对称轴为直线x＝7，(6分)∵台阶T5两端坐标分别为(6，6)与M(7.5，6)，∴抛物线C的图象的对称轴与台阶T5有交点；(8分)第1题图PC(3)在x轴上从左到右有两点D，E，且DE＝1，从点E向上作EB⊥x轴，且BE＝2.在△BDE沿x轴左右平移时，必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上，则点B横坐标的最大值比最小值大多少？【注：(2)中不必写x的取值范围】【思路分析】抛物线C固定，要使点P落在边BD上点B横坐标最小时抛物线C过点B，点B横坐标最大时抛物线C过点D∵C的对称轴为x＝7∴点B、D横坐标＞7第1题图PC当y＝2时点B横坐标最小为10当y＝0时点B横坐标最大为7＋＋1＝8＋点B横坐标最大值比最小值大－2第1题图PC∴当－(x－7)2＋11＝2，解得x＝4(舍)或x＝10，点B横坐标最小为10，当－(x－7)2＋11＝0，解得x＝7－(舍)或x＝7＋，点B横坐标最大为7＋＋1＝8＋，∵8＋－10＝－2，∴点B横坐标最大值比最小值大－2.(10分)(3)∵抛物线C固定，要使点P落在边BD上，∴点B横坐标最小时抛物线C过点B，点B横坐标最大时抛物线C过点D，∵点B，点D纵坐标分别为2，0，点B，点D横坐标大于7，第1题图PC2.(2021河北26题12分)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴正半轴的交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；第2题图解：(1)当x＝0时，y＝x－b＝－b，∴B(0，－b)，∵AB＝8，A(0，b)，∴b－(－b)＝8，∴b＝4；(2分)∴L的解析式为y＝－x2＋4x，∴L的对称轴为直线x＝2，将x＝2代入直线a的解析式中得y＝2－4＝－2，∴L的对称轴与直线a的交点坐标为(2，－2)；(4分)第2题图(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(2)∵y＝－x2＋bx＝－(x－)2＋，∴L的顶点C的坐标为(，)．∵点C在l下方，∴点C与l的距离为b－＝－(b－2)2＋1≤1，∴点C与l距离的最大值为1；(7分)第2题图(3)设x₀≠0，点(x₀，y₁)，(x₀，y₂)，(x₀，y₃)分别在l，a和L上，且y3是y₁，y₂的平均数，求点(x₀，0)与点D间的距离；(3)由题意可得，y1＝b，y2＝x0－b，y3＝－＋bx0，∵y3是y1，y2的平均数，∴y3＝，即－＋bx0＝，化简得x0(2x0－2b＋1)＝0，解得x0＝0或x0＝b－，∵x0≠0，第2题图第2题图∴x0＝b－，对于抛物线L，当y＝0时，0＝－x2