第02讲 根式、分式的化简 精讲（解析版）数-高一数学学初升高衔接精讲精练（人教A版2019）

第02讲根式、分式的化简（精讲）

目录

一、知识巩固与延伸..................................................1

二、重点题型剖析....................................................2

题型一：二次根式有意义的条件....................................2

题型二：求二次根式中的参数......................................4

题型三：二次根式的乘法与除法及其混合运算........................5

题型四：最简二次根式.............................................9

题型五：二次根式的加法与减法及其混合运算.......................12

题型六：分母有理化..............................................16

题型七：二次根式化简求值........................................22

题型八：分式的意义..............................................26

题型九：分式的化简求值..........................................29

题型十：分式的基本性质..........................................31

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一、知识巩固与延伸

1、初中知识再现

（1）二次根式的定义

一般地，形如右（4>0）的式子叫做二次根式.

(2)二次根式性质：

①(右尸=a(a>0)

a(4Z>0)

-a{a<0)

③=\[a'\[b(a>0,b>0)

④口=平(〃>0力>0)

V。\la

（3）分式

A

形如：乙（其中8中含有字母）的式子叫作分式.

B

（4）分式的基本性质：

分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.用式子表示为:

AxNA+N

4(NoO)

~BBxNB+N

2、高中相关知识

2.1无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如：7x^2，

JY-1是无理式，而J7不是无理式

2.2分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母

的有理化因式.例如：产=_=V77T+4.

y/x+l-\Jx(VX+1-VX)(Vx+l+VX)

2.3有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式

叫做互为有理化因式.常用的有理化因式有：

①ix+i+4与jx+i-«②&与G+6

2.4繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，该分式就称为繁分式.如：「或

7+1

)'

x+y।等.繁分式的化简，通常将其化成分式的除法进行运算.

-1

X

二、重点题型剖析

题型一：二次根式有意义的条件

典型例题

例题1.(2023秋•河北石家庄•八年级统考期末)使代数式丁3一万石有意义的整

数x有()

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】C

fx+2>0

【详解】解：由题意，得q、八，

[3-o2x>0

3

解不等式组得-2Vx4二，

2

符合条件的整数有：-1、。、1共三个.

故选：C.

例题2.(2023•全国•九年级专题练习)当x满足时，式子〉=疟1+空有意

义.

【答案】~<x,,2

[2-x.O

【详解】解：由题意可得：。।八，

[2x+l>0

解得：

故答案为：-1<用,2.

例题3.(2023•全国•九年级专题练习)无论x取何实数，代数式J《—4x+m都有意义，

化简式子JG”3)2+7(4-/n)2.

【答案】2切-7

【详解】解：:dx2-4尤+〃?=-2)2-4,

且无论X取何实数，代数式J%2_4x+m都有意义,

m-4>0,

m>4.

当初24时，y](m-3)2+J(4—㈤2=(w-3)+(w-4)=2/77-7.

题型归类练

1.(2023秋•湖南株洲•八年级统考期末)若，口有意义，则x的取值范围是

【答案】x>\

【详解】解：由题意知，X—120,

解得：x>l,

故答案为：x>\.

2.(2023秋•黑龙江哈尔滨•九年级统考期末)函数y=立亘的自变量x的取值范围是____

x+2

【答案】x>-l

【详解】解：要使y=近亘在实数范围内有意义,

x+2

x+l>0x>-\

必须=>x>-l.

x+2w0=xw—2,

故答案为：x>-l.

3.（2023春•海南省直辖县级单位•八年级校考阶段练习）下列各式中字母取何值时，式子

在实数范围内有意义？

⑴以-5;

【答案】⑴

（2）x>3

【详解】（1）解：757二？有意义，

2%—520,

5

••2;

（2）解：解：；臣是二次根式，

Vx-3

••x—30,且工―3。0,

x—3>0,

x>3.

题型二：求二次根式中的参数

典型例题

例题1.（2023春•浙江•八年级专题练习）已知后工是正整数，则实数”的最大值为

（）

A.12B.11C.8D.3

【答案】B

【详解】解：由题意是正整数所以Ji=>0,且〃为整数，

.­.12-«>0,解得〃<12,

.•・实数”最大值取11，

故选：B

例题2.（2023♦全国•九年级专题练习）若最简二次根式3“痂言和,2a-b+6能合并,

则的值分别是（）

A.2和1B.1和2C.2和2D.1和1

【答案】D

【详解】解：最简二次根式””向口瓦和d-6+6能合并，

3a-b=2

4a+3b=2a-b+6

\3a-b=2

"[a+2b=3f

（a=1

解得一,

[b=l

故选D.

题型归类练

1.（2023春•浙江•八年级专题练习）若瓯是整数，则正整数”的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【详解】解：80"=42x5〃，血而是整数，

正整数〃的最小值是5,

故选：D.

2.（2022秋•八年级单元测试）如果二次根式屈其与近是同类二次根式，那么满足条

件的用中最小正整数是.

【答案】4

【详解】解：当5m+8=7时，m=1,不合题意，

当j5m+8=2J,即5m+8=28时，m=4,

二屈T两与不是同类二次根式，那么m的最小正整数是4,

故答案为：4.

题型三：二次根式的乘法与除法及其混合运算

典型例题

例题1.（2023•全国•八年级专题练习）计算：（2&+3卜（a+1卜总不

【答案】2

2

【详解】解：（2加+3卜（及+1卜/二

2&+3

x2

272+3

x2

2播+3

=2；

例题2.（2023春•全国•八年级专题练习）计算:

【答案］三叵

y

【详解】解:

=3

/'8

二8对

y

例题3.（2023春•八年级课时练习）计算

(2)2,16a—

336

【答案】⑴-4月

4

⑵一§

【详解】（1）解：原式=、，26x（」M

V52

(--710)

2

-4#>

(2)解：原式+

-4-^=X-y/b

y[b3

_4

~"3

例题4.（2023春•八年级课时练习）计算:

（1）厉x病

【答案】(1)15;(2)y.

【详解】(1)原式=36x5应XQ=15.

(2)原式=—•—=—5/4^2=—x2a=—.

6Va3663

题型归类练

1.

2

【答案】芸2x

]

2.（2023•全国•八年级专题练习）计算:2(73-1)-

【答案］注叵

【详解】解：2+（＞-142忘”

]

=(M

[

-4-26

4+2A/3

(4-2@(4+2⑹

4+26

一_~

_2+V3

2

3.(2023春・全国•八年级专题练习)羡族[一|质)-

【答案】-竺4〃2-瓦I--

b

【详解】解原式=+

4.(2023春•全国•八年级专题练习)计算:

(1)屈+历xM；

⑵旧2.

⑶^^6x44124-(―扬.

【答案】(1)2夜

(2)1

(3)18

【详解】(1)解:712-727x718

=273-5-3^x3^

=2x1x30

3

=272

(3)-x/6x47124-(-72)

23

i3_________

=—x4x—76x124-2

22

=3736

=18.

题型四：最简二次根式

典型例题

例题1.（2023秋•福建泉州•九年级统考期末）下列与20为同类二次根式的是（）

A.同B.如C.y/22D.而i

【答案】A

【详解】解：A.屈=5夜，与20为同类二次根式，符合题意；

B.740=2710,与2应不是同类二次根式，不符合题意；

C.后与20不是同类二次根式，不符合题意；

D.质=|石，与20不是同类二次根式，不符合题意.

故选：A.

例题2.（2023春•八年级课时练习）能够使庐与QTT是同类最简二次根式的x值

是（）

A.-3B.2C.一3或2D.不存在

【答案】A

【详解】根据题意得：

Jd-5=J—x+l，-0,x2—5>0»

•y/x2—5=J-x+1»

x2-5=-x+l,

解得：X=—3或1=2(舍)，

故选：A

例题3.（2023春•全国•八年级专题练习）把下列二次根式化为最简二次根式:

⑴12.5;⑵卡;(3)~~~5⑷3^^；(5)2“a3b2c

(a,b,均大于0).

【答案】(1)巫(2)2叵(3)73(4)好(5)4"疝

2530

故后的最简二次根式为：孚

的最简二次根式为：争,

故巨的最简二次根式为：6；

3

/八&72V275

3屈-374x5x2-6石x瓶-30

故卓的最简二次根式为：正；

3V4030

（5）1,,a,h,c均大于0

2JAa,trc=4ah\[ac-

例题4.（2023春•全国•八年级专题练习）如果最简二次根式j3“+4与,19-2。同类二

次根式，且j4a-3x+Jy-a=0,求x,的值.

【答案】x=4,y=3.

【详解】：最简二次根式J3a+4与J19-2”同类二次根式，

3a+4=19-2a,

解得，a=3,

•A/4x3-3x+VrZ3=0,BPV12-3X+V7Z3=0

J12-3x20,y]y-3>0,

12-3x=0,y-3=0,

解得，x=4,y=3.

题型归类练

1.（2023春•八年级课时练习）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.>/（L2B.RC.y/15D.而

【答案】C

【详解】A、耐=£二冬被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；

B、4=乎’被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意；

C、炉是最简二次根式，本选项符合题意；

D、而="忑=2后，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符

合题意；

故选：C.

2.（2023春•八年级课时练习）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.J（）.3B.J2.4aC,小p?-4qD.J4M-4—+1

【答案】C

【详解】解：A.闹=宿=噜，故A不符合题意；

C.犷W是最简二次根式，故C符合题意;

D.,4机2_4m+1=]（2吁=|2加-1],故D不符合题意.

故选：D.

3.（2023春•八年级课时练习）最简二次根式小形与“痒方是同类最简二次根式，则

a-b=.

【答案】2

【详解】根据题意得：a-l=2

a=3

.•最简二次根式^/^^2与“痒茄是同类最简二次根式

■."2=5—2/7

b=\

a—b=3—\=2

故答案为：2.

4.(2023春•八年级课时练习)下列各式：①g②百斤③字④加7是最简

二次根式的是:(填序号)

【答案】②③

【详解】②而③叵是最简二次根式，

4

故答案为②③.

题型五：二次根式的加法与减法及其混合运算

典型例题

例题1.(2023秋•广东深圳•八年级校联考期末)计算：

(1)月-近；

(2)712+|73-2|-(^-3.14)°；

⑶(6+&)(0-四)-(逐一1尸

【答案】(1)S⑵6+1(3)2石-5

【详解】(1)解：后一近

=2近-近

=币•

(2)解：V12+|>/3-2|-(^-3.14)0

=2'2-6-1

=++1.

(3)解：(百+⑸(石_伪-(6-I)?

-3-2-(5-2A/5+1)

=1-5+2宕-1

=2围-5.

例题2.(2023秋•陕西西安•八年级校考期末)计算：

(1)(748+^0)-(712-75)；

(2)A+G-2Ax病+(2亚+可；

【答案】⑴26+3后

⑵5石-同+11+4指

【详解】(1)(V48+V20)-(V12->/5)

=4下>+2后-2下,+旧

=2x/3+3>/5

(2)如+0-2耳x而+(2立+可

=4^+73-2x-xV30+11+476

2

=5石-病+11+4指

例题3.(2023春•海南省直辖县级单位•八年级校考阶段练习)计算

(1)V18-V32+V2

⑵使+4肝-4)

⑶瓜—2^^+(x—7)°

(4)(0+⑨z

(5)(2748-3^)-76

【答案】⑴0(2)73⑶&+1⑷5+2«⑸-立

2

【详解】(1)解：V18-y/32+y/2

=3近-4夜+血

=0；

(2)解：便+4)便-4)

=(^)2-42

=3—16

=-13；

(3)解：y/8-2^+(x-7)°

=20-&+1

=5/2+1;

(4)解：(应+腐产

=2+26+3

=5+2>/6;

（5）解：（2/一3场）+6

=（85/3-9>^）4->/6

=卜6卜指

=_①

-2

例题4.（2023春•全国•八年级专题练习）计算:

⑴舟2名-（厉-夜）；

⑵矫走一国旦

<5V5

（3）V3XV6-|1-X/2|-（V6-1）°+^27--^；

（4）（2+V3）X（2-V3）+（1-V2）2.

【答案】⑴3&-[⑵2（3）逑一3⑷4-2&

2

【详解】（1）解：原式=2夜+26-36+血

=3>/2—>/3；

（2）解：原式=+1-15xg

=2+1-1

(3)解：^^=718-(72-1)-1-3--

=3^-72+1-1-3--

2

30.

=-----3;

2

(4)解：原式=4-3+1-2a+2

=4-20-

题型归类练

1.（2023春・广东东莞•八年级校考阶段练习）计算：（3-及『+（3+&）（3-&）

【答案】18-6亚

【详解】解：原式=9-6忘+2+9-2

=18-6丘.

2.(2023秋•山东枣庄•八年级统考期末)计算:

(l)(V6-V24)x^-J|；

(2)(6-2)2-加+6..

【答案】⑴-(3

(2)7-4>/3

【详解】(1)解：-画

=3y/2-6y/2~—

2

=-"；

2

(2)解:(杉-2)。一月+6出

=3-4^+4-273+2^

=7-4百・

3.(2023秋•山东淄博•七年级统考期末)计算

⑴如-Q+卜闽

⑵^^一("+G)(夕-⑹

【答案】⑴8+近

【详解】(1)解：749-^8+|l-x/2|

=7-(-2)+V2-l

=7+2+0-1

=8+&;

5

=——17

5,

4.（2023秋・河北石家庄•八年级统考期末）计算

⑴后+我-夜；

⑵（尤+6『+（&+6）（夜-石卜

【答案】（1）5a

（2）4+2指

【详解】（1）解：任+直-&

=4&+2拒-41

=5夜;

（2）解：（a+6『+（&+&）（夜一石）

=（可+2后X4+（可+（可一阴2

=2+276+3+2-3

=4+26.

题型六：分母有理化

典型例题

例题1.（2023秋•湖南邵阳•八年级统考期末）计算：，石+2-石

【答案】4

【详解】解：/石+2-6

2+y/3同

一（2-6）（2+6）一“

=2+6+2-6

=4

故答案为：4.

2

例题2.（2023春•八年级单元测试）在进行二次根式化简时，我们可以将进一步

6+1

化简，如:

2_2，回1)_2(痒1)乃

G+1-(6+1)(6—1)一(0)2-产一一

2222

贝!1----F+-7=——T=+-7=——7=+…+，——，=.

I+V5V5+V9V9+V13J4〃-1+j4〃+3------

【答案】^(V4n+3-l)

7:帚八6*..二__2x(痒1)1/92_2x®6

'''1+V5(V5+l)(>/5-l)5(-)'出+亚(囱+6)(方-石)

=g(而⑹……

2222

I+J5-J5+-J9J9+V13…j4”-l+j4w+3

+'(j4〃+3-

=—(A/5—14->/9—5/5++J4,+3—，4/—1)

2

=—(V4/J+3-1),

2

故答案为：g(j4〃+3-l)

2

例题3.(2023春•广东东莞•八年级校考阶段练习)观察下列等式:

1..V2-1A.

①尤+1一(夜+1)(a-1)一；

]_6-血_AF)

-V

@?3772"(V3+V2)(X/3-V2)-"；

③京后g吟g吟77；

1_4-6_斤6

7^=(4+6)回6)"7…•

回答下列问题：

(1)利用上面你观察到的规律，化简7之后=，Uw=-

⑵计算：i+应+应+6+6+2++72022+72023,

【答案】⑴疗-灰，4-715

(2)(2023-1

【详解】⑴解：正匕不一遍=上巫=币_瓜

(V7+A/6)(V7-A/6)7-6

]=4--=4一.=4.屈

4+底(4+V15)(4-V15)16-15

故答案为：77-76,4-V15；

1

(2)解:=及-1,

V2+1

]=6-拉,

6+0

I=4-石,

"+百

可以得到规律-7=~7-=3-,

7n+\n-\

.,.原式=&-1+百-0+4-石++J2023-J2022

=72023-1.

例题4.（2023春•浙江•八年级专题练习）阅读材料，黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，

天下无敌.这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，团结一致、优势互补、

取长补短、威力无比,在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”.如：（遥+3乂石-3）=-4,

像（百+3）和（百-3）这样的两个二次根式，它们的积不含根号，我们就称这两个二次根式

互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.再如（g+&）与（后-④）也互为有理

2+W（2+6）（2+6）厂

化因式.于是，下面二次根式除法可以这样运算：下=号=）一r（7一尸（=7+4g,像

2-V3（2-V3）（2+V3）

这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程叫分母有理化，解决问

题.

4

（1）2e+3近的一个有理化因式是,t百分母有理化结果是

色）计算：念?+4至++•

⑶比较大小：77-75Vi5-Vi3.

【答案】⑴（26-30）：3+石

(2)1

(3)>

【详解】（1）解：；（2右+3近）（2/一3&）=-6

.2宕+3夜的一个有理化因式是（2打-30）,

.4_电+逐）4（3+均「

---<=3+V5

'3->/5（3-V5）（3+V5）4

4

二万分母有理化结果是3+方：

（2）解:念?+寻H出

=72-1+^-72+2-73

=1;

1_77+石_币+亚

（3）解:''斥硝万询产可

1_厉+如_而+9

715-713（岳-呵（屈+岳）2

又；77+75<715+713,

,y/l+45>/15+5/13

•--------<---------

22

11

-----<---------

一布-非715-5/13

■-■5-非>岳-屈.

题型归类练

1.（2023•陕西西安•校考一模）阅读下列材料，并解决相应问题：

22（^+V3）

=6+6,用上述类似的方法化简下列各式.

耳耳=（行-6）（石+6）

⑴^77；

⑵若。是&的小数部分，求之的值.

a

【答案】（1）5-布

⑵3夜+3

1屈-不£/7

［详解］⑴解：ET而邛不二近藕

（2）解：。是血的小数部分,

a=\/2-1>

3(>/2+l)

3二3=30+3

aV2-1(V2-I)(V2+1)

2.（2023秋•湖南常德•八年级统考期末）在学习二次根式化简时，有时会碰到形如的

式子，这时可以将其进一步化简,

22y/52751lx(V2+l)72+1

例如:=0+1.这种化简的步

115~y/5xy/5~~T'V2-I-(V2-l)x(V2+l)-(>/2)2-12

骤叫做分母有理化.

3

⑴根据上述方法化简：

1

（2）化简------------1-----------------1--------------1■…H-------------------1--------------------

e+i用&回+也而+w

【答案】（1）6+及

⑵而-1

3

【详解】（1）解：（1）~

3x（逐+回

(逐_&)x(布+A/2j

3x(75+72)

=ww

3x(75+72)

3

=75+72.

：2)解：⑵看+万片而:如

V2-1V3-V24-石

(血+1卜(a-1)(G+&卜(6-0)("+白卜研―6)

M-眄।(E-殉

(Vio+>/9)x(Vio->/9)(VH+Vio)x(7H-Vio)

=sfi-1+^3—>/2+—>/3+…+Jl0—5/9+■'/FT—y)\0

=E-1.

3.(2023秋•河北保定•八年级校考期末)材料阅读：

材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个

代数式互为有理化因式.

例如：6x6=3,+3)=6-2=4,我们称Q的一个有理化因式是否，

布-血的一个有理化因式是指+&.

材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因

式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化.

捌加11x6488(显旬8(6+间

例如：耳=瓦耳=?'ET('一©("+&)=-4—=？瓜+2亚.

请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：

⑴旧的有理化因式为,近+石的有理化因式为；(均写出一个即可)

⑵将下列各式分母有理化：(要求：写出变形过程)

①*T

2222

⑶化简：耳石+―万+万二后++72023+^021

【答案】⑴旧，币-小

(2)①半;②2石+3

(3)72023-1

【详解】(1)由题意可得，

的有理化因式为Ji3,77+6的有理化因式为近-石，

故答案为：y[\3,yjl—y[S：

33x而_3后一岳

(2)①

715-715x715-15-5

11x(26+3)_llx(2石+3)3县且=2君+3

②七(2石-3)x(2石+3)-20-911

2222

(3)-7=---1—7=---H—f=----产+H—/---]

V3+1V5+V3V7+V5V2023+V2021

=73-1+75->^+A/7-^+---+72023-5/2021

=72023-1.

4.(2023春•浙江•八年级专题练习)在数学课外学习活动中，小华和他的同学遇到一道题:

己知〃=表,

求4+1的值.小华是这样解答的:

"五耳二（2+码仅-司”，

.•“+1=3-6.请你根据小华的解题过程，解决下列问题.

⑴填空：耳片=——；七=——•

⑵化简：高+^71+；^^+…+廊:廊.

⑶若a=6：由'求1-（2"行『的值.

【答案】⑴6+夜，县比

2

（2）16

⑶-4

1石+3/T

【详解］⑴解：ET（痒⑹便+万|=昌区fT

1_g+1G+1

y/3—l（百—l）（g+l）2，

故答案为：石+垃，3担；

2

（2）解：原式=0-1+百-夜+4-6+-.+7^-7^函

=7289-1

=17-1

=16

1指+6指+g

⑶解："FT砰研百可〒’

.-.2"石=2x立+G=非,

2

.•.1-仅a-可=1-（9=-4.

题型七：二次根式化简求值

典型例题

例题1.（2023春•全国•八年级专题练习）已知x=9l二!,）,=立里，求土+上=

22yX

【答案】4

【详解】解:•…亨，尸”

,x_-172Kh

■<V3+r73+r2-20

2

也+1

y一丁.G+14+26E

六四-京-2+小

2

2+上=2-石+2+6=4；

yx

故答案为：4.

例题2.（2023春八年级课时练习）已知非零实数a,b满足2G（6+2扬）=G（6+5扬）,

2a+\[ab+3b

求代数式的值.

3a+\fab-2b

【答案】3

【详解】解：,非零实数小。满足26（«+2扬）=扬（&+5振），

由题意可知。>。力>。，

/.2(«)2+3后扬-5(而2=o,

(2&+5而(&-而二0

,a>0,b>0,

・•・26+5振>0,

/.4a=4b，

：.a=b,

,2a+>[ab+3b

3a+\fab-2b

_2。+a+3〃

3a+a-2a

6a

一五

例题3.（2023春•浙江•八年级专题练习）先化简，再求值:

其中x=8,y=L.

【答案】五+34，历+B.

23

［详解］解：原式=4+24-亨+6

=与+3&-

当尤=8、y=L时，

/

原式=®+3x

2

例题4.（2023春•浙江•八年级专题练习）已知：y=G7+/^+5,化简并求

【答案】

【详解】解：-/x-4>0K4-x>0,

x=4,

y=5,

66

x+^xyy-4xy

1_*_1

\[x+y[yJx-y/y

（7x+77）（\/x-77）

_2y[x

~，

x-y

_274

------f

4-5

=-4

题型归类练

1.(2。23•江西•九年级专题练习)先化简,再求值：2-普x+6x+9_,

+---o--;—，其中1=石r一3•

x-I

【答案】"5-4石

~5~

【详解】解：2-^1x2+6x+9

x2-1

2x+2-x+1(x+3)~

-m"(x+l)(x-l)

x+3/x+l)(xT)_I

尤+1(x+3)2x+3

—时,原式=妄出一手

(9Y—1、x—2

2.(2023秋,湖南邵阳,八年级统考期末)求代数式一--x-lU^-_■的值，其中

Vx-1)x-2x+l

x=6+\•

【答案】-x2+x,-2-V2

2x—1f—1)x—2

【详解】解：原式:一-——T卜厂

(Ix-l)(1)

22

=2x-x(-x-l)

x—\x—2

_-x(x-2)(x-1)2

x—1x—2

=­x(x—1)

=—x2+X，

"jx=V^+l时,原式:一++1)=—2—.

22

3.(2023春•全国•八年级专题练习)己知：x=6+®,y=6-五,求厂-"+.「

孙

【答案】9

【详解】解：f=(石+扬2=3+2舟2=5+2指

/=(73->/2)2=3-276+2=5-276

xy=(>/3+V2)(5/3-V2)=3-2=1

5+2指-1+5-2a

原式=

1

=9

—,1.'J3—173+1

4.（2023春・全国•八年级专题练习）l_i知x=一产—，求产+3肛+丁的值.

V3+1

【答案】17.

22

V3-1,（V3-1）,373+1（V3+1）、l

【详解】解:y=-f=—=-7=-----7=—=2+G

x/3+l（6+1）（石-1）'-6-1（存1）（x/3+l）

x2+3xy+y2

=（2-73）2+3（2-73）（2+6）+（2+6）2

=7-4相+3+7+4Q

=17.

题型八：分式的意义

典型例题

—2

例题1.（2023秋•湖南邵阳♦八年级统考期末）要使分式x三有意义，x的取值范围应

x+3

满足（）

A.x=2B.xw2C.x=-3D.xw-3

【答案】D

【详解】解：分式三x—2有意义，

x+3

."+3工0,

解得户-3,

故选：D.

例题2.（2023秋•河北石家庄•八年级统考期末）已知分式卫士（”，〃为常数）满足

x-m

表格中的信息，则下列结论中塔堤的是（）

X的取值-44a

分式的值无意义01

A.n=4B.m=-4C.«=12D.«=-8

【答案】A

【详解】解：•；x=T时，原分式无意义，

-4-%=0,解得：m=-4,B选项正确，

•・・当x=4时，原分式值为0,

2x4+〃

・•.E=。’解得一7,D选项正确，A选项错误,

由上分析，原分式为发，

•・•当x=”时，原分式值为1,

2。一8।

・・・----=1,

〃+4

解得：4=12,

经检验，4=12是原分式方程的解，C选项正确，

故选:A.

例题3.（2023春•江苏•八年级专题练习）化简分式：，~7厂告十㈠，并

（x'-4x+4x-4Jx-4

从1,2,3这三个数中取一个合适的数作为x的值代入求值.

x~+2x—3

【答案】化简为:取x=l,代数式的值为0

x-3

'x2-2x3).x-3

【详解】

/2—4X+4X1-^)X2-4

_(x-2)x3,x—3

=(x-2)2-(x-2)(x+2)_|"(x-2)(x+2)

=(x-2)x*(x-2)(x+2)_3*--2)(x+2)

(x-2)x—3(x-2)(x+2)x—3

_x(x+2)3

x—3x~3

x2+2x—3

=，

x-3

根据上述化简过程可知：％—3/0,x-2^0,x+2w0,

即工。3,x丰2、"-2,

・•.在1,2,3中，取x=l,

%2+2x—3l2+2xl-3八

当x=1时,-------------=0.

x—31-3

题型归类练

1.（2023春•重庆渝北•八年级校考阶段练习）若在实数范围内有意义，贝口的取值范

围是.

【答案】x>-2Kx^2

【详解】解：立三在实数范围内有意义，

x-2

.卜+220

解得：x>-2fl.x2,

故答案为：工之一2且x，2.

22

2.(2023秋•广东广州•八年级统考期末)已知4=三--x,8==^,问：当x为何值时,

X—1X—1

A=B.

【答案】户1

【详解】解：根据题意可得：

x-lx2-\

.X2(x+l)X2+X

x2-1x2-1x2-1

=

/.工2(太+1)--14~Xf

x-x=0»

0=0，

•.•当X=1时，分式无意义,

・•.X为除了1之外的所有实数，

故当xwl时，A=B.

f—4x-+-4(4、

3.(2023春•江苏•八年级专题练习)先化简，再求值：士：,其中一24x42,

取一个合适的整数代入求值.

【答案】一:，当x=l时，原式

x+23

r2—4r4-4

【详解】解：

x-2x

_(x-2y：--4

x(x-2)x

=-x---2--------x------

x(x+2)(x-2)

1

x+2'

xwO,九±±2,-2<x<2,x是整数,

・・・当x=l时，原式=」=!.

1+23

题型九：分式的化简求值

典型例题

例题1.(2023秋•重庆永川•八年级统考期末)若分式，-」=2,则分式一+：'"”包

mnm-3mn-n

的值等于()

4c4