人教a版高中数学必修5第2章 数列全部教案 同步单元测试卷

2.1数列的概念与简单表示法

2.1.1数列的概念与简单表示法（一）

从容说课

本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，

再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共

同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能

理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系：了解数列的通项公式，并会用通项公

式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.

教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用.

教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.

教具准备课件

三维目标

一、知识与技能

1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；

2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；

3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.

二、过程与方法

1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；

2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；

3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.

三、情感态度与价值观

1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精

神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；

2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.

教学过程

导入新课

师课本图211中的正方形数分别是多少？

生1,3,6,10........

师图212中正方形数呢？

生1,4,9,16,25........

师像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？

生-1的正整数次暴：-1,1,-1,1,…；

无穷多个数排成一列数：1,1，1，1，.…

生一些分数排成的一列数：2,_1,A,12,....

315356399

推进新课

［合作探究］

折纸问题

师请同学们想一想，•・张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试（学生们兴趣

一定很浓）.

生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.

师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次

折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？

生随着对折数厚度依次为:2,4,8,16.........256,...；①

随着对折数面积依次为一,—，—,—---

24816256

生对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分1口256式，再折下去太困

难了.

师说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的

这一列一列的数，看它们有何共同特点？

生均是一列数.

生还有一定次序.

师它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.

［教师精讲］

1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.

注意：

(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，

那么它们就是不同的数列；

(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.

2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首

项)，第2项，…，第”项，….同学们能举例说明吗？

生例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数

列中的第4项.

3.数列的分类：

1)根据数列项数的多少分：

有穷数列：项数有限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6是有穷数列.

无穷数列：项数无限的数列.例如数列1,2,3,4,5,6…是无穷数列.

2)根据数列项的大小分：

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.

递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.

常数数列：各项相等的数列.

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.

请同学们观察：课本P”的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？

生这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数歹U，

(6)1.递增数列，2.递减数列.

［知识拓展］

师你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第〃项？

生256是这数列的第8项，我能写出它的第〃项，应为斯=2".

［合作探究］

同学们看数列2,4,8,16,256,…①中项与项之间的对应关系，

项2481632

11JJ1

序号12345

你能从中得到什么启示？

生数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝)的函数

a“=f(〃)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x),如果

f(i)(i=k2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(l),f(2),f(3),…,f(〃),….

师说的很好.如果数列｛%｝的第〃项即与”之间的关系可以用・个公式来表示，那么这个公

式就叫做这个数列的通项公式.

［例题剖析］

1.根据下面数列｛小｝的通项公式，写出前5项：

n

(1>„=----；(2)a„=(-l)n-n.

n+1

师由通项公式定义可知，只要将通项公式中“依次取1,2,3,4,5,即可得到数列的前5

项.

12345

生解：(1)“=1,2,3,4,5.4|=5;。2=§；的=7；44=M；45=%•

(2)n=l,2,3,4,5.«i=-l/2=2；的=-3;。4=4；。5=-5.

师好！就这样解.

2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

(3)0,1,0,1,0,1,...；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,...；

(5)2,-6,12,-20,30,-42,....

师这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定

的思考时间)

生老师，我写好了！

(4)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1>,

(5)将数列变形为"2,-2x3,3x4,-4x5,5、6,…,

.,.a„=(-l)"+1n(n+l).

师完全正确！这是山"数''给出数列的“式''的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规

律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.

［合作探究］

师函数与数列的比较(由学生完成此表)：

函数数列(特殊的函数)

定义域R或R的子集N*或它的有限子集｛1,2,〃｝

解析式y=f(x)a„=f(n)

图象点的集合一些离散的点的集合

师对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公

式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列：

4,5,6,7,8,9,10…;②1,-，…③的图象.

234

生根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为

师数列4,5,6,7,8,9,10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？

生与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.

师数列1,'，…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？

234

生与我们学过的反比例函数y的图象有关.

x

师这两数列的图象有什么特点？

生其特点为：它们都是一群孤立的点.

生它们都位于y轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y轴的右侧的点.

本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用,

体现新课程的理念.

课堂小结

对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数

列的前〃项求一些简单数列的通项公式.

布置作业

课本第38页习题2.1A组第1题.

板书设计

数列的概念与简单表示法（一）

定义

1.数列例1

2.项

3.一般形式例2函数定义

4.通项公式

5.有穷数列

6.无穷数列

备课资料

一、备用例题

1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

22-132-142-152-1

(1)1,3,5,7；(2)

2'3'4'5

⑶-我一后「万「说•

分析：

(1)项：l=2xl-l3=2x2/5=2x3,7=2x4-1

序号:1234

所以我们得到了斯=2“-1：

⑵序号：1234

项分母：2=1+13=2+14=3+15=4+1

11J

项分子：22-1=(1+1)2-132-1=(2+1)2-142-1=(3+1)2-152-1=(4+1)2.

所以我们得到了%=9包或(〃+2)・〃；

〃+1"+1

⑶序号：1234

1Il

1111

1x22x33x44x5

1L

1111

lx(l+l)2x(2+l)3x(3+l)4x(4+l)

所以我们得到了«„=--—

MX（rt+l）

2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n项分别是下列各数:

,]+(—1严

(1)1,0,1,0；(%=——-------,n^N)

-23456〃+1

(2)—,—，-(册=(-1)")

3815,2435(〃+1)2-]

7

(3)7,77,777,7777;(an=­

(4)-1,7,-13,19,-25,31;(斯=(・1)"(6"-5))

_9_172"+1

()2'4'165256-

点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出

这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根

据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分

子和分母之间的关系.

3.已知数列｛对｝的通项公式是斯=2/一〃，那么（）

A.30是数列｛4｝的一项8.44是数列｛册｝的一项

C.66是数列｛a,,｝的一项D.90是数列｛为｝的一项

分析：注意到30,44,66,90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出

现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正

整数解的方法加以解决.

答案：C

点评：看一个数A是不是数列｛斯｝中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数〃,

使得an=A.

4.（链接探究题）假定有一张极薄的纸，厚度为壶cm就是每200张叠起来刚好为1cm,

现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为外；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为

方，又裁•为二，叠起来，它的厚度记为的，这样一裁•叠，每次叠起来所得的厚度依次排

列，就得到一个数列：山,“2,的，…,如•…

你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a50，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少

厘米吗？是否有10层楼高呢？

2"

答案：这个数列的通项公式为a„=—，

200

裁了50次、叠了50次后的厚度是5629499534213.12cm>56294995km,大于地球到月

球距离的146倍.

二、阅读材料

无法实现的奖赏

相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王

学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔.

达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就

可以了：在我的棋盘上（它有64个格）第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四

格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，

但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏.

请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？

2.1.2数列的概念与简单表示法（二）

从容说课

这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一步了解数列的递推公式，明确递推

公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；通过经历数列知识的感

受及理解运用的过程，作好探究性教学.发挥学生的主体作用，提高学生的分析问题以及解

决问题的能力.

教学重点根据数列的递推公式写出数列的前几项.

教学难点理解递推公式与通项公式的关系.

教具准备多媒体

三维目标

一、知识与技能

1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；

2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.

二、过程与方法

1.经历数列知识的感受及理解运用的过程；

2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验；

3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.

三、情感态度与价值观

通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.

教学过程

导入新课

师同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一

谈什么叫数列的通项公式？

生如果数列｛斯｝的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做

这个数列的通项公式.

师你能举例说明吗？

生如数列0,1,2,3,…的通项公式为&="-1（〃GN*）;

1,1,1的通项公式为a“=l（”GN*,lW〃W3）;

1,—，—，—，…的通项公式为'（"GN）.

234n

［合作探究］

数列的表示方法

师通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想想还有哪些方法可以表示数列？

生图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数”为横坐标，相应

的项斯为纵坐标，即以（凡斯）为坐标在平面直角坐标系中作出点（以前面提到的数列1,

…为例，作出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标

234

为正整数，所以这些点都在y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观

地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.

师说得很好，还有其他的方法吗？

生……

师下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法

知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下

图：钢管堆放示意图（投影片）.观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学

模型.

生模型一：自上而下

第1层钢管数为4,即14=1+3;

第2层钢管数为5,即25=2+3;

第3层钢管数为6,即36=3+3;

第4层钢管数为7,即47=4+3;

第5层钢管数为8,即58=5+3;

第6层钢管数为9,即69=6+3;

第7层钢管数为10,即710=7+3.

若用即表示钢管数，〃表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且斯=”+3（仁〃W7）.

师同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运

用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同

学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）

生模型二：上下层之间的关系

自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,

即田=4；。2=5=4+1=。1+1；的=6=5+1=。2+1.

依此类推：a„=«„.i+l（2<n<7）.

师

对于上述所求关系，同学们有什么样的理解？

生若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项.

师看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式.

推进新课

1.递推公式定义：

如果已知数列｛斯｝的第1项（或前几项）,且任一项a“与它的前一项a“i（或前n项）间的关系可

以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

注意：递推公式也是给出数列的种方法.

如下列数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89.

递推公式为：。1=3,。2=5,。"=%-1+。”-2（3W"W8）.

2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、

图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析

式法.

[例题剖析]

%=1

【例1】设数列｛%｝满足|,1,〃>1.写出这个数列的前五项.

%=1+一

I

师分析：题中已给出｛““｝的第1项即幻=1,题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再

求出二到五项即可.这个递推公式：a„=l+—我们将如何应用呢？

生这要将n的值2和a,=l代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可

以了.

师请大家计算一下！

[12]58

生解：据题意可知：41=1,42=1+—=2,的=1+—=—,。4=1+--—,05=—

%a23%35

师掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中

的前项与后项，或前后儿项之间的关系.

【例2】已知a产2,an+i=2a„,写出前5项，并猜想

师由例1的经验我们先求前5项.

生前5项分别为2,4,8,16,32.

师对，下面来猜想第〃项.

生由“1=2,。2=2*2=2\43=2x22=2'观察可得，我猜想“=2".

师很好！

生老师，本题若改为求斯是否还可这样去解呢？

师不能.必须有求解的过程.

生老师，我由a,+尸2斯变形可得斯=2。“」，即2=2,依次向下写，一直到第一项，然

a«-\

2

后将它们乘起来，就有2x4^x42x...x、=2i,所以%=ar2"」=2".

an_2a>3a

师太妙了，真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在L1知递推公式

求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法.

［知识拓展］

已知。尸2,a“+i=a“-4,求a„.

师此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢？

生1写出:a\=2,«2=-2,6=-6,。4=-10，...

观察可得：a„=2+(n-l)(n-4)=2-4(«-1).

生2他这种解法不行，因为不是猜出恁，而是要求出川.

我这样解：由册尸4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来，

a,,-a,,.\=-4

+)a2-%=—4

a

„-«t=-4(n-l)

师好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会.

［教师精讲］

(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始

值，那么这个数列是不能确定的.

例如，由数列｛斯｝中的递推公式的+产2册+1无法写出数列｛斯｝中的任何一项，若又知。尸1,

则可以依次地写出〃2=3,的=7,。4=15,....

(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出

通项公式.

［学生活动］

根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片)

(1)<?।—0,a„+1=+(2n-1)(n6N)；

a

(2)田=1,。“+尸一七(〃eN)；

4+2

(3)。］=3,即+［=3。〃・2(〃£AQ.

(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答)

解：(1)。|=0,。2=1，的=4,。4=9,。5=16,••an—(n-\)~.

2122122

(2)卬=1,。2=:，a^-=-,。4==，。5=:=:，••即=-----

324536n+1

2

(3)“i=3=l+2x3°,“2=7=1+2x31a3=19=l+2x3,

44=55=1+2x3',a5=163=l+2x3\.•.斯=1+2・3”1

注：不要求学生进行证明归纳出通项公式.

［合作探究］

一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最

上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？

析：这题是•道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要

分类考虑周到.

爬一级梯子的方法只有一种.

爬一个二级梯子有两种，即-级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种.

若设爬一个n级梯子的不同爬法有an种，

则。”=%-1+&-2+。"-3（*4）,

贝I」得至II4/1=1,02=2,4/3=4及"-|+册-2+的-3（稔4），就可以求得“8=81.

课堂小结

师这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与

通项公式的区别，谁能说说？

生通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的

关系.

生对于通项公式，只要将公式中的〃依次取1,2,3…，即可得到相应的项•而递推公式则要

已知首项（或前n项），才可求得其他的项.

（让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而

达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力）

布置作业

课本第38页习题2.L4组第4、6题.

预习内容：课本P4I〜Pw

板书设计

数列的概念与简单表示法（二）

一、定义二、例题讲解小结:

7.递推公式:

例1通项公式与

例2递推公式区别

备课资料

一、数列通项公式的求法介绍

求通项公式是学习数列时的一个难点.山于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此

求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强.现举数例.

1.观察法

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而

根据规律写出此数列的一个通项.

【例1】已知数列，…，写出此数列的一个通项公式.

248163264

2"-3

解：观察数列前若干项可得通项公式为。"=（-1）"方^.

2.公式法

已知数列的前〃项和求通项时，通常用公式%=/1,

S“-S“」,〃N2.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合

二为一",即卬和即合为一个表达式.

［例2］已知数列｛%｝的前“和S”满足log2（S”+l）="+l,求此数列的通项公式.

解:由条件可得S„=2n+1-1,

当n=l时，。]=3,当n>2时,%=S〃-S“.]=2""-2"=2".

所以。〃=3理=1,2n,n>2.

3.累差迭加法

若数列缶八｝满足〃向=斯+f(〃)的递推式，其中f(〃)又是等差数列或等比数列，则可用累差迭

加法求通项.

【例3】已知数列6,9,14,21,30,求此数列的通项.

解：•.72-01=3,〃3-〃2=5,〃4-〃3=7,…,〃，广〃小|=2〃-1,

各式相加得an~a1=3+5+7+...+(2〃・1),

2

/.an=n+5(n^N).

4.连乘法

若数列｛〃“｝能写成%=〃心1+(〃)(论2)的形式,则可由an=an.]f(n),an.f^an.2f(n-i)9an.2=a

小3f(〃-2),…以2=。由2薄乘求得通项公式.

【例4】已知数列｛斯｝满足m=l,S“=("+；"'("GN)，求｛”“｝的通项公式.

解:•.,2S“=(〃+1)%(〃WM，

2S,t-\=na/f_i(w>2,nGA9，

(1"

两式相减得2an=(n+1)an-nan.\,——=----£N).

%n-\

十日*%2%3幻4an,八八

于是有」=一,二=一n=——(〃22,*GM，

at1a22a33%n-\

以上各式相乘，得a“=〃〃i=〃(佗：2,〃eN)•又。i=1,.,.a„=n(n^N).

5.求解方程法

若数列｛%,｝满足方程f(a„)=0时，可通过解方程的思想方法求得通项公式.

【例5】已知函数f(x尸2*-2",数列｛的｝满足f(log2斯尸-2”,求数列｛斯｝的通项公式.

解:由条件瑁。g2斯尸210g2u/,-2-1082〃”=-2凡即a,,--=-2n.

a„

a„2+2na„-1=0,又a”>0,.,.a,,=yn2+1-n.

6.迭代法

若数列｛〃“｝满足%=f(a“」)，则可通过迭代的方法求得通项公式.

二、阅读材料

愚公的子子孙孙

《愚公移山》中愚公说过这样一段话：“即使我死了，还有儿子在；儿子又生孙子，孙

子再生儿子，儿子又有儿子，儿子又有孙子，子子孙孙无穷无尽……”愚公的话，不但表达

了他移山的决心，而且提出了一个有趣的无穷数列，即他的子孙后代繁殖的数列.

设愚公的儿子，即第一代的人数为幻；

愚公的孙子，即第二代子孙的人数为。2；

孙子的儿子，即第三代子孙的人数为的；

•般地，第，7代子孙的人数为知.

这样，我们就得到一个由正整数组成的无穷数列a”a2,a3,an.(1)

这个数列描述了愚公子孙生殖繁衍的“无穷无尽”的状态.这个数列的每一项显然都与它

前血的项有关，但这种关系不是确定的关系，而具有随机性质.可惜我们没有任何资料来确

定(1)的具体数字.如果愚公的时代人们也自觉地计划生育，例如，一对夫妇只生两个孩子(假

设愚公子孙们不能互相通婚)，那么数列(1)就可成为递推数列：

a„+i=2a„.(2)

如果愚公有3个儿女，即田=3,就得到下面这个数列：

3,6,12,24,48,96,(3)

这个数列(3),就是一个满足a„+l=2a„的数列.

2.2等差数列

2.2.1等差数列的概念、等差数列的通项公式

从容说课

本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念,接着用不完全归纳法归纳出等差数

列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观

察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观

察——分析概括——师生互动，形成概念——启发引导，演绎结论——拓展开放，巩固提高.

在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.

在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的枳极性，尽可能让学生经历知识

的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体

地位.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认

知能力.使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学

问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化.

教学重点理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单

的问题.

教学难点(1)等差数列的性质，等差数歹『‘等差”特点的理解、把握和应用；

(2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式.

教具准备多媒体课件，投影仪

三维目标

一、知识与技能

1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是

等差数列；

2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、

项数、指定的项.

二、过程与方法

1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力：

2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性.

三、情感态度与价值观

通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新

知的创新意识.

教学过程

导入新课

师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项

公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列

的例子：(课本P4I页的4个例子)

(1)0,5,10,15,20,25,

(2)48,53,58,63,

(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5...;

(4)10072,10144,10216,10288,10366....

请你们来写出上述四个数列的第7项.

生第一个数列的第7项为30,第二个数列的第7项为78,第三个数列的第7项为3,第四

个数列的第7项为10510.

师我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说.

生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5,依据这个规律性我得到了这个数列的第7

项为78.

师说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的

是共同特征.

生1每相邻两项的差相等，都等于同一个常数.

师作差是否有顺序，谁与谁相减？

生1作差的顺序是后项减前项，不能颠倒.

师以上四个数列的共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等

差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数列.

这就是我们这节课要研究的内容.

推进新课

等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每•项与它前一项的差等于同一个常

数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母表示).

(1)公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求：

(2)对于数列｛斯｝,若a,“一产d(与〃无关的数或字母)，n>2,nGN*,则此数列是等差数

列，d叫做公差.

师定义中的关键字是什么?(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，

是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.

因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力)

生从“第二项起”和“同一个常数”.

师很好！

师请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？

生数列(1)通项公式为5〃-5,数列⑵通项公式为5〃+43,数歹1(3)通项公式为2.5〃-15.5，….

师好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这几个通项公

式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们

来共同思考.

［合作探究J

等差数列的通项公式

师等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列｛斯｝的首项是s，

公差是“，则据其定义可得什么？

生。2-。1=4即a2=ai+d.

师对，继续说下去！

生的-。2=/即。3=。2+4=。|+24；

44-〃3=",即。4=〃3+4=田+34；

师好！规律性的东西让你找出来了，你能山此归纳出等差数列的通项公式吗?

生由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是a„=a｝+(n-l)d.

师很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项0和公差4,便可求得其通

项七了.需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它吗？

生前面一学过一种方法叫迭加法，我认为可以用.证明过程是这样的：

因为。2-。1=4。3-。2=4。4-。3=",…,而。"-1=”.将它们相加便可以得到：a„=a\+(n-\)d.

师太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了.

［教师精讲］

由上述关系还可得：am="i+(m-l)d,

即ai=am-(m-l)d.

则a„=a1+(«-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,

即等差数列的第二通项公式斯=am+(〃-m)d.(这是变通的通项公式)

n-n

由此我们还可以得到d=.

m-n

［例题剖析］

【例1】(1)求等差数列8,5,2,…的第20项；

(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13…的项？如果是，是第几项？

分析(1)

师这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗？

生1这题太简单了!首项和公差分别是。尸8/=5-8=2-5=-3.又因为〃=20,所以由等差数列的

通项公式,得“20=8+(20-l)x(-3)=-49.

师好!下面我们来看看第(2)小题怎么做.

分析(2)

生2由ai=-5,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为a„=-5-4(n-l).

由题意可知，本题是要回答是否存在正整数〃，使得-401=-5d(〃-l)成立，解之，得〃=100,即-401

是这个数列的第100项.

师刚才两个同学将问题解决得很好，我们做本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式

就是aH,a｝,d,n组成的方程(独立的量有三个).

说明：(1)强调当数列｛斯｝的项数〃已知时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程

的正整数解的问题.这类问题学生以前见得较少，可向学生着重点出本问题的实质：要判断

-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式斯，判断是否存在正整数”，使得卬=-401

成立.

【例2】已知数列｛册｝的通项公式〃“=p”+q,其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是

等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

例题分析：

师由等差数列的定义，要判定｛斯｝是不是等差数列，只要根据什么？

生只要看差斯-%」(此2)是不是一个与n无关的常数.

师说得对，请你来求解.

生当稔2时，(取数列｛%｝中的任意相邻两项%与a„(n>2))

an-a„.i=(pn+1)-［p(n-l)+q］=p”+q-(pn-p+q)=p为常数，

所以我们说｛%｝是等差数列，首项〃尸p+q,公差为p.

师这里要重点说明的是：

(1)若P=。，则｛〃“｝是公差为0的等差数列，即为常数列q，q,q.....

⑵若p，0,则是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点均在一次函数y=px+q

的图象上，一次项的系数是公差p,直线在y轴上的截距为q.

(3)数列｛册｝为等差数列的充要条件是其通项a.=p〃+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式.

课堂练习

(1)求等差数列3,7,11,…的第4项与第10项.

分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.

解：根据题意可知。1=3,d=7-3=4..,.该数列的通项公式为a„=3+(n-l)x4,即afl=4n-l(n>l,

nSN*).«4=4><4-1=15,aIO=4X1O-1=39.

评述：关键是求出通项公式.

(2)求等差数列10,8,6,…的第20项.

解:根据题意可知J=8-10=-2.

所以该数列的通项公式为a„=10+(n-l)x(-2),即a„=-2n+12>所以"20=-2'20+12=-28.

评述：要求学生注意解题步骤的规范性与准确性.

(3)100是不是等差数列2,9,16,…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.

分析：要想判断•个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数”

值，使得小等于这个数.

解：根据题意可得。尸2,4=9-2=7.因而此数列通项公式为%=2+(*1户7=7〃-5.

令7n-5=100,解得〃=15.所以100是这个数列的第15项.

(4)・20是不是等差数列0,-3,，・7,…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理

2

由.

177

解：由题意可知外=0,〃=3上,因而此数列的通项公式为册=-」〃+」.

222

774777

令――〃+—=一20,解得〃=一.因为――”+—=—20没有正整数解，所以-20不是这个数

22722

列的项.

课堂小结

师(1)本节课你们学了什么？(2)要注意什么？(3)在生活中能否运用？(让学生反思、

归纳、总结，这样来培养学生的概括能力、表达能力)

生通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式“一产成色2);其

次要会推导等差数列的通项公式斯=。|+(〃-1)45多).

师本课时的重点是通项公式的灵活应用，知道对，d,“中任意三个，应用方程的思想,

可以求出另外一-个.最后，还要注意一重要关系式a“=am+("-m)d和a“=p"+q(p、q是常数)的

理解与应用.

布置作业

课本第45页习题2.2A组第1题，B组第1题.

板书设计

等差数列的概念、等差数列的通项公式

1.定义

2.数学表达式例1.(略)

3.等差数列的通项公式例2.(略)练习

备课资料

一、备用习题

1.已知｛斯｝是等差数列，。5=10，d=3,求田0.

解法一：设数列的首项为a”山〃5=a1+4</得为=-2,故而a|0=.+9d=25.

解法二：aio=as+5d=25.

2.已知｛%｝是等差数列,。5=1°，。]2=31,求。20，%.

解法一:设｛〃“｝的首项为〃”公差为d,则

q+4d=10a=—2

<=>〈]

q+lld=31d=3

因为〃20=Qi+19d=55,所以an=a\+(n-1)d=3n-5.

解法二：因为〃]2=a5+74所以d=3.所以得〃20=。12+8"=55,4〃=。12+(〃-12)d=3n-5.

注：根据以上两个例题的解法二启发学生得出等差数列的变形公式：即=〃m+(〃・m)d.

3,等差数列2,5,8,107共有多少项？

解：由107=2+(〃・l)x3得片36.

引申：设等差数列｛6｝的首项为末项为公差为d,则其项数〃=殳#+1,

a

这是等差数列通项公式的又一变形公式.

4.在-1与7之间顺次插入三个数a、b、c使这五个数成等差数列，试求出这个数列.

解法一：因为-IM,"c,7成等差数歹％所以b是数-1与数7的等差中项.

所以b=±Z=3.a又是-1与3的等差中项，所以“=二9=1.

22

又因为c是3与7的等差中项，。=土工=5.

2

解法二：设田=-1,05=7,所以7=-l+(5-l)d=>d=2.

则所求的数列为-1,1,3,5,7.

5.在一次大型庆祝“申奥”成功的活动中，广场上正对着观礼台的场地上由近及远地竖立着

“2008相聚北京"八块标语牌.每块牌子的高为2m,距离观礼台最近的标语牌与观礼台的距

离为20m.若一个人从观礼台上距离地面8m的高处能完整地看清这八块标语牌.问：最后一

块“京”字标语牌与观礼台的距离至少要多少米？(结果精确到1米)

答案：最后一块"京''字标语牌与观礼台的距离至少要149米.

二、阅读材料

等差数列的子数列问题

从等差数列me,的，…，&,…中，选出一些项按原来的次序组成一个新的数列出,｝，则

称数列｛儿｝是数列｛册｝的子数列.例如，数列2,4,6,8.........2〃，…是数列1,2,3.........

”，…的一个子数列.

子数列的概念虽然教材中没有讲，但我们仍可以遇到很多等差数列的子数列问题，在解

此类问题时，需注意两点：

其一，这些项是按什么“标准”选取出来的，不同的标准，选出来的子数列具有不同的性

质，因此要弄清这种“标准”的数学含义，并把它用数学式子表示出来.

其二，无论按何标准选取出来的子数列的项，都是原数列的一项，在这意义之下，我们

可以得出下面的结论：

若原数列｛恁｝的通项公式为an=f(n),子数列｛g｝的通项公式为6m=g(m),则必存在

〃,016/7*使得出"尸8(111)成立.

【例1】已知•个无穷等差数列｛为｝的首项为外,公差为4，取出这数列中所有项数为7的

倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是否是等差数列？如果是，它的首项与公差各是

多少？如果不是，请说明理由.

分析：新数列｛乩｝是由原数列｛4｝中的项数为7的倍数的各项组成的，因此，有仇=劭“，再

由等差数列的定义判定差办+「6”是否为与n无关的常数.

解：设新数列为｛瓦｝,依题意可知仇；="7"=。1+(7“-1)公7力2+。1-”.

所以bn+1-b„=ld(n+1)+a।-d-ldn-ai+d=7J为常数.

所以新数列是等差数列，其公差为7",首项为外+6".

点评:本题的关键在于抓住选项的“标准”，即"项数为7的倍数”，于是得到了力=的”进而得

出新的数列｛儿｝的通项公式.

【例2】等差数列1002,1005,1008,…，1998中能被4整除的项共有多少项?并写出

这些项按原来的次序组成的新数列的通项公式.

分析：原数列的通项公式为册=1002+3(〃-1),设数列中各数均为3的倍数，故数列中能被4

整除的项必为12的倍数.

解：设原等差数列为｛%｝,则斯=1002+3("-1)=3"+999,此数列中各项均为3的倍数.

又依题意新数列是由原数列中能被4整除的各项组成的，所以新数列中的各项为12的倍数.

设12k是新数列中的项，则1002$12kq998,解得83.5先166.5,故k取84,85,86,

166,即原数列中能被4整除的项共有83项.

这些项组成的新数列的通项公式为

bn=12〃+996(,GN*,1<n<83).

点评:本例还可以运用等差数列的性质，先判断出新数列是以12为公差的等差数列，再找出

其首项为1008,即可写出它的通项公式.

2.2.2等差数列通项公式

从容说课

本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式

及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列的通

项公式是关于正整数”的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学会用图

象与通项公式的关系解决某些问题.

在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.在教学过程中，

遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，

激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位，通过等差数列

概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.

通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与

一般的辩证唯物主义观点，通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗

透方程思想，进一步渗透数形结合思想、函数思想.通过引导学生积极探究，主动学习，提

高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果.

教学重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.

教学难点等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.

教具准备多媒体及课件

三维目标

一、知识与技能

1.明确等差中项的概念；

2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数

列的性质；

3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题.

二、过程与方法

1.通过等差数列的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通

项公式的运用，渗透方程思想；

2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习；

3.理论联系实际，激发学生的