2025高考备考数学知识点突破3　数列中的创新型问题

突破3数列中的创新型问题学生用书P107命题点1数学文化情境下的数列应用例1[2021新高考卷Ⅰ]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5；如果对折n次，那么∑nk=1Sk＝240（3－n+32解析依题意得，S1＝120×2＝240（dm2）；S2＝60×3＝180（dm2）；当n＝3时，共可以得到5dm×6dm，52dm×12dm，10dm×3dm，20dm×32dm四种规格的图形，且面积均为30dm2，所以S3＝30×4＝120（dm当n＝4时，共可以得到5dm×3dm，52dm×6dm，54dm×12dm，10dm×320dm×34dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且面积均为15dm2，所以S4＝15×5＝75（dm2……所以可归纳Sk＝2402k×（k＋1）＝所以∑k=1nSk＝240（1＋322＋423＋…＋所以12×∑k=1nSk＝240（222＋323＋424由①－②得，12×∑k=1nSk＝240（1＋122＋123＋124＋…＋12n－n+12n+1）＝240{1＋122[1－（12）方法技巧通过数学建模解决数学文化问题的步骤读懂题意会“脱去”题目中的背景，提取关键信息.构造模型由题意构建等差数列、等比数列或递推关系式的模型.“解模”把问题转化为与数列有关的问题，如求指定项、公差（或公比）、项数、通项公式或前n项和等.训练1[2023安徽名校联考]“物不知数”原载于《孙子算经》，它的系统解法是南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中给出的.“大衍求一术”是中国古算中最具独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.现有一道同余式组问题：将正整数中，被4除余1且被6除余3的数，按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记{an}的前n项和为Sn，则S10＝（C）A.495 B.522 C.630 D.730解析由题知，被4除余1且被6除余3的数中，最小的正整数是9，则满足条件的数列{an}是以9为首项，12为公差的等差数列，则an＝12n－3（n∈N*），所以S10＝10×（9+117）2＝630.命题点2现代生活情境下的数列应用例2某市抗洪指挥部接到最新雨情预报，未来24h城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝.经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20辆某型号翻斗车，平均每辆翻斗车需要工作24h.而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调.若抽调的翻斗车每隔20min才有一辆到达施工现场投入工作，要在24h内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车（C）A.25辆 B.24辆 C.23辆 D.22辆解析由题意可知，一辆翻斗车需要20×24＝480（h）才能完成拦洪坝的加高加固工程，设至少需要n辆这种型号的翻斗车才能在24h内完成该工程，这n辆翻斗车的工作时间（单位：h）按从大到小排列依次记为a1，a2，…，an，则数列{an}是公差为－13的等差数列，所以a1＝24，记{an}的前n项和为Sn，则Sn＝na1＋n（n－1）2×（－13）＝24n－16n（n－1），当n＝23时，Sn≈467.7＜480，当n＝24时，Sn＝484＞480，故训练2[多选]如图所示，这是小朋友们喜欢玩的彩虹塔叠叠乐玩具.某数学兴趣小组利用该玩具制订如下玩法：在2号杆中自下而上串有由大到小的n（n∈N*）个彩虹圈，将2号杆中的彩虹圈全部移动到1号杆中，3号杆可以作为过渡使用；每次只能移动一个彩虹圈，且无论在哪个杆中，小的彩虹圈必须放置在大的上方；将一个彩虹圈从一个杆移动到另一个杆中记为移动1次，记an为2号杆中n个彩虹圈全部移动到1号杆所需要的最少移动次数，设bn＝an＋1－n，则下面结论正确的是（ABD）A.a3＝7B.an＋1＝2an＋1C.bn＝2n＋n－1D.∑i=1nb解析由题意易得，a1＝1，a2＝3.易知将n＋1个彩虹圈全部移动到1号杆中所需要的最少次数为an＋1，若要将2号杆中的n＋1个彩虹圈全部移动到1号杆中，则第一步，将除了最大的彩虹圈的n个彩虹圈全部移动到3号杆中，所需要移动的最少次数为an；第二步，将最大的彩虹圈移动到1号杆中，最少需要移动1次；第三步，将3号杆中的n个彩虹圈全部移动到1号杆中，需要移动的最少次数为an，所以an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2（an＋1）.又a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，an＝2n－1，a3＝7，所以选项A，B均正确；因为bn＝an＋1－n，所以bn＝2n＋1－1－n，所以选项C错误；因为bn＋nbnbn+1＝1bn－1bn+1，所以∑i=1nbi＋ibibi+1＝1b1－1b2＋命题点3数列中的新定义问题例3我们把形如Fn＝22n＋1（n∈N）的数叫做“费马数”，设an＝log2（Fn－1），n∈N*，Sn表示数列{an}的前n项和，则使不等式22S1S2＋23S2S3＋A.5 B.6 C.7 D.8解析因为Fn＝22n＋1（n∈N），所以当n∈N*时，an＝log2（Fn－1）＝log2（22n＋1－1）＝2n，所以Sn＝2×（1－2n）1－2＝2n＋1－2.而2n+1SnSn+1＝2n+1（2n+1－2)(2n+2－2）＝12n+1－2－12n+2－2，所以22S1训练3函数y＝[x]称为高斯函数，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.已知数列{an}满足a3＝3，且an＝n（an＋1－an），若bn＝[lgan]，则数列{bn}的前2025项和为4968.解析由an＝n（an＋1－an），得（n＋1）an＝nan＋1，即an+1an＝n+1n，利用累乘法（或an+1n+1＝ann＝a33＝1），可得an＝n.记{bn}的前n项和为Tn，当1≤n≤9时，0≤lgan＜1，bn＝[lgan]＝0；当10≤n≤99时，1≤lgan＜2，bn＝1；当100≤n≤999当1000≤n≤2025时，3≤lgan＜4，bn＝3.所以T2025＝（b1＋…＋b9）＋（b10＋…＋b99）＋（b100＋…＋b999）＋（b1000＋…＋b2025）＝9×0＋90×1＋900×2＋1026×3＝4968.1.[命题点1/2023河南郑州一模]我国古代有这样一个数学问题：今有男子善走，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？其大意是：现有一个善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他一共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论错误的是（A）A.d＝15B.此人第三天行走了一百二十里C.此人前七天一共行走了九百一十里D.此人前八天一共行走了一千零八十里解析设此人第n（n∈N*）天走an里，则数列{an}是公差为d的等差数列，记数列{an}的前n项和为Sn，由题意可得a1=100，S9=9a1+36d=1260，解得d＝10，A错.a3＝a1＋2d＝120，B对.S7＝7a1＋6×72d＝910，C对.S2.[命题点2/2023江西清江中学期末]现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年产量（单位：万件）为T（n）＝14n（n＋1）（n＋3），如果年产量超过60万件，可能出现产量过剩，产生药物浪费.从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为（BA.7年 B.8年 C.9年 D.10年解析设第n年年产量为an，则第一年年产量为a1＝T1＝2，以后各年年产量为an＝T（n）－T（n－1）＝14n（3n＋5）（n≥2，n∈N*a1＝2也符合上式，所以an＝14n（3n＋5）（n∈N*）令14n（3n＋5）≤60，得3n2＋5n－240≤设f（x）＝3x2＋5x－240，其图象的对称轴为直线x＝－56，则当x＞0时，f（x）单调递增又f（8）＝3×82＋5×8－240＝－8＜0，f（9）＝3×92＋5×9－240＝48＞0，所以3n2＋5n－240≤0的最大正整数解为8，则这条生产线的最大生产期限应拟定为8年.故选B.3.[命题点3/多选/2023北京师范大学第二附属中学期中]若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称这个数列为“m积特征列”，若各项均为正数的等比数列{an}为“6积特征列”，且a1＞1，则当{an}的前n项之积最大时，n的值为（CD）A.5 B.4 C.3 D.2解析由{an}是等比数列，得an＝a1qn－1，其中q为数列{an}的公比.因为数列{an}是“6积特征列”，所以a6＝a1a2a3a4a5a6，所以a15q10＝1，所以a1q2＝1，所以a1＝q－因为数列{an}各项均为正数，a1＞1，所以0＜q＜1.设数列{an}的前n项之积为Pn，则有Pn＝a1a2…an＝a1nq1＋2＋3＋…＋（n－1）＝因为0＜q＜1，所以当n2－5n2结合二次函数的图象及n∈N*知当n＝2或n＝3时，n2－5n2最小，P学生用书·练习帮P3151.[2023武汉市5月模拟]将1，2，…，n按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤i＜j≤n，如果ai＞aj，那么称数对（ai，aj）构成数列{an}的一个逆序对.若n＝4，则恰有2个逆序对的数列{an}的个数为（B）A.4 B.5 C.6 D.7解析由题知数列{an}中的项都是正整数，当n＝4时，1≤i＜j≤4，将1，2，3，4按照某种顺序排成一列，则用列举法列出所有恰有2个逆序对的数列的组合为{1，4，2，3}，{1，3，4，2}，{2，1，4，3}，{2，3，1，4}，{3，1，2，4}，共5个，故选B.2.[2024湖南名校联考]南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列{an}本身不是等差数列，但从数列{an}中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{bn}（称数列{an}为一阶等差数列），或者{bn}仍旧不是等差数列，但从数列{bn}中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{cn}（称数列{an}为二阶等差数列）……以此类推，得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列{an}：1，1，3，27，729，…是一阶等比数列，则∑n=110log3an的值为（参考公式：12＋22＋…＋n2＝n6（n＋1）（2n＋1））（A.60 B.120 C.240 D.480解析由题意知，数列{an}为一阶等比数列.设bn＝an+1an，则{bn}为等比数列，其中b1＝1，b2＝3，公比为q＝b2b1＝3，所以bn＝3n－1.故an＝bn－1bn－2…b1·a1＝31＋2＋3＋…＋（n－2）＝3（n－1)(n－2）2，n≥212（n2－3n＋2）.所以∑n=110log3an＝log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10＝12×[（12＋22＋…＋102）－3×（1＋2＋…＋10）＋2×10]＝12×[（16×10×11×21）－3×（1+10）×102＋3.[2023昆明市模拟]Farey序列是指把在0到1之间的所有分母不超过n（n∈N*）的最简分数及0（视为01）和1（视为11）按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记作F－n，例如F－4就是01，14，13，12，23，34，11.解析F－7中分子为1的有17，16，15，14，13，12；分子为2的有27，25，23；分子为3的有37，35，34；分子为4的有47，45；分子为5的有54.对于数列{an}，使数列{an}的前k项和为正整数的k的值叫做“幸福数”.已知an＝log4n+1n，则数列{an}在区间[1，2025]内的所有“幸福数”的个数为5解析an＝log4n+1n＝log4（n＋1）－log4n，设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝log42－log41＋log43－log42＋…＋log4（n＋1）－log4n＝log4（n＋1根据题意得Sk为正整数，设Sk＝m（m∈N*），则log4（k＋1）＝m，所以k＋1＝4m，令1≤k≤2025，则1≤4m－1≤2025，故m可取1，2，3，4，5，共5个数，所以所求“幸福数”有5个，故答案为5.5.我国古人将一年分为二十四个节气，如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，冬至的晷长最长，夏至的晷长最短，周而复始.已知冬至的晷长为13.5尺，芒种的晷长为2.5尺，则一年中夏至到大雪的晷长的和为84尺.解析依题意，冬至的晷长为13.5尺，记为a1＝13.5，芒种的晷长为2.5尺，记为a12＝2.5，因为相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，所以从冬至到芒种的晷长可构成等差数列{an}，n∈N*，n≤12，则数列{an}的公差d＝a12－a112－1＝2.5－13.512－1＝－1.因为夏至与芒种相邻，且夏至的晷长最短，所以夏至的晷长为a12＋d＝1.5（尺），又大雪与冬至相邻，且冬至的晷长最长，所以大雪的晷长为a1＋d＝12.56.某项测试有10道必答题，甲和乙参加该测试，分别用数列{an}和{bn}记录他们的成绩.若第k题甲答对，则ak＝k，若第k题甲答错，则ak＝－k；若第k题乙答对，则bk＝2k－1，若第k题乙答错，则bk＝－2k－1.已知b1＋b2＋…＋b10＝767，a1b1＋a2b2＋…＋a10b10＝9217，则a1＋a2＋…＋a10＝39.解析由题意可知｜ak｜＝k，｜bk｜＝2k－1，记T＝∑i=110｜ai｜｜bi｜＝1×20＋2×21＋…＋10×29，则2T＝1×21＋2×22＋…＋10×210，两式相减得T＝－（20＋21＋…＋29）＋10×210＝－1－2101－2＋10×210＝1＋9×210＝9217，所以∑i=110｜ai｜｜bi｜＝∑i=110aibi，该式表明对于10道题中的每一道题，甲和乙同时答对或者同