2025高考备考数学知识点第1讲　导数的概念及其意义、导数的运算

第三章一元函数的导数及其应用第1讲导数的概念及其意义、导数的运算课标要求命题点五年考情命题分析预测1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.2.体会极限思想.3.通过函数图象直观理解导数的几何意义.4.能根据导数定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数.6.会使用导数公式表.导数的运算2022全国卷甲T6；2020全国卷ⅢT15本讲是高考的必考内容.命题热点有导数的运算、求切线方程、已知切线方程求参数、公切线问题等，题型以选择题、填空题为主，有时也会以解答题的形式考查，难度中等偏下.导数的运算一般不单独命题，而是贯穿于导数应用的整个过程中，是整个导数部分的基础.预计2025年高考，命题依然稳定，备考时注重常规题型训练的同时强化知识的灵活运用.导数的几何意义2023全国卷乙T21；2023全国卷甲T8；2022新高考卷ⅠT15；2022新高考卷ⅡT14；2022全国卷乙T21；2021新高考卷ⅠT7；2021新高考卷ⅡT16；2021全国卷甲T13；2020全国卷ⅠT6；2020新高考卷ⅠT21；2019全国卷ⅠT13；2019全国卷ⅢT6与公切线有关的问题2022全国卷甲T20；2020全国卷ⅢT10；2019全国卷ⅡT20学生用书P0501.导数的概念及其几何意义（1）函数f（x）在x＝x0处的导数：如果当Δx→0时，平均变化率①ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y＝f（x）在xf（x）在x＝x0处的导数（也称为瞬时变化率），记作f'（x0）或y'

x＝x0，即f'（x0）＝lim（2）函数f（x）的导函数：当x变化时，y＝f'（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数（简称导数）.y＝f（x）的导函数有时也记作y'，即f'（x）＝y'＝②limΔx说明函数y＝f（x）的导数f'（x）反映了函数f（x）的变化趋势，其大小｜f'（x）｜反映了变化的快慢，在某一范围内｜f'（x）｜越大，函数在相应范围内变化得越快，函数的图象越“陡峭”（向上或向下）.辨析比较f'（x）与f'（x0），[f（x0）]'的区别与联系：f'（x）是一个函数，f'（x0）是函数f'（x）在x＝x0时的函数值（常数），不一定为0，[f（x0）]'是函数值f（x0）的导数，且[f（x0）]'＝0.（3）导数的几何意义：f'（x0）的几何意义就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率k，即k＝③f'（x0），相应的切线方程为④y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）.说明函数y＝f（x）在某点处的导数、曲线y＝f（x）在该点处切线的斜率和倾斜角，这三者之间是可以相互转化的.2.导数的运算（1）基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f（x）＝c（c为常数）f'（x）＝0f（x）＝xα（α∈R，且α≠0）f'（x）＝⑤αxα－1f（x）＝sinxf'（x）＝⑥cosxf（x）＝cosxf'（x）＝－sinxf（x）＝ax（a＞0，且a≠1）f'（x）＝⑦axlnaf（x）＝logax（a＞0，且a≠1）f'（x）＝1特别地，若f（x）＝ex，则f'（x）＝ex；若f（x）＝lnx，则f'（x）＝1x；若f（x）＝1x，则f'（x）＝－（2）导数的四则运算法则若f'（x），g'（x）存在，则a.[f（x）±g（x）]'＝⑧f'（x）±g'（x）；b.[f（x）·g（x）]'＝⑨f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）；c.[f（x）g（x）]'＝⑩f'（d.[cf（x）]'＝⑪cf'（x）.规律总结奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.（3）复合函数的导数复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y'x＝⑫y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.注意（1）要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆.（2）对于含有参数的函数，要分清哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零.1.下列说法正确的是（C）A.f'（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率B.f'（x）与f'（x0）（x0为常数）表示的意义相同C.曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点D.奇函数的导数还是奇函数解析对于A，f'（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬时变化率；对于B，f'（x）是一个函数，而f'（x0）（x0为常数）是函数f'（x）在x＝x0时的函数值；对于C，例如曲线y＝cosx在点（0，1）处的切线与曲线y＝cosx有无数个公共点；对于D，奇函数的导数是偶函数.故C正确.2.[教材改编]下列式子不正确的是（C）A.（3x2＋cosx）'＝6x－sinx B.（lnx－2x）'＝1x－2xC.（2sin2x）'＝2cos2x D.（sinxx）'解析由导数公式和运算法则可知A，B，D正确.（2sin2x）'＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确.3.[全国卷Ⅰ]函数f（x）＝x4－2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（B）A.y＝－2x－1 B.y＝－2x＋1 C.y＝2x－3 D.y＝2x＋1解析∵f（x）＝x4－2x3，∴f'（x）＝4x3－6x2，∴f'（1）＝－2，又f（1）＝1－2＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1.故选B.4.[2024河北省邢台市月考]在一次10米跳台跳水运动中，某运动员跳水过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：h（t）＝－4t2＋4t＋11.该运动员在t＝1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（A）A.－4 B.4 C.11 D.－11解析由h（t）＝－4t2＋4t＋11可得h'（t）＝－8t＋4，故h'（1）＝－4，即该运动员在t＝1s时的瞬时速度为－4m/s.故选A.学生用书P051命题点1导数的运算例1（1）[2024河南省商丘市部分学校质检]下列求导正确的是（D）A.[（2x－1）2]'＝2（2x－1）B.（2x＋x2）'＝2x＋2xC.（sinx－cosπ3）'＝cosx＋13D.（log2x）'＝lo解析[（2x－1）2]'＝2（2x－1）·2＝4（2x－1），故A错误；（2x＋x2）'＝2xln2＋2x，故B错误；（sinx－cosπ3）'＝cosx，故C错误；（log2x）'＝1xln2＝log2ex（2）[全国卷Ⅲ]设函数f（x）＝exx＋a.若f'（1）＝e4，则a解析由于f'（x）＝ex（x＋a）－ex（x＋a）方法技巧（1）求导之前，先把函数简化成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.（2）复合函数求导，要正确分析函数的复合层次，由外到内逐层求导，必要时要进行换元.注意（1）牢记导数公式和导数的四则运算法则；（2）若函数解析式中含有待定系数（如f'（x0），a，b等），则求导时把待定系数看成常数，再根据题意求解即可.训练1（1）[多选/2023湖北省黄冈市黄州中学质检]下列求导运算正确的是（BD）A.[cos（－2x）]'＝2sinx B.（lnxx）'C.（e3）'＝3e2 D.（lg2x）'＝1解析[cos（－2x）]'＝－sin（－2x）·（－2x）'＝2sin（－2x），故A错误；（lnxx）'＝x（lnx）'−x’lnxx2＝1－lnxx2，故B正确；（e3）'＝0，故C错误；（lg2x）'（2）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f（x）＝3xf'（1）＋2lnx，则f'（2）＝（B）A.－e－1 B.－2 C.0 D.e－1解析设f'（1）＝a，则f（x）＝3ax＋2lnx，f'（x）＝3a＋2x，所以f'（1）＝3a＋2＝a，解得a＝－1，所以f'（2）＝3×（－1）＋1＝－2.故选命题点2导数的几何意义角度1求切线方程例2（1）[2023全国卷甲]曲线y＝exx+1在点（1，e2）处的切线方程为（A.y＝e4x B.y＝eC.y＝e4x＋e4 D.y＝e2解析由题可得y'＝ex（x+1）－ex（x+1）2＝xy'x＝1＝e4，所以曲线y＝exx+1在点（1，e2）处的切线方程为y－e2＝e4（x－1），即y＝（2）[2022新高考卷Ⅱ]曲线y＝ln｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为y＝1ex，y－1ex解析先求当x＞0时，曲线y＝lnx过坐标原点的切线方程，设切点为（x0，y0），则由y'＝1x，得切线斜率为1x0，又切线的斜率为y0x0，所以1x0＝y0x0，解得y0＝1，代入y＝lnx，得x0＝e，所以切线斜率为1e，切线方程为y＝1ex.同理可求得当x＜0时的切线方程为y＝－1e方法技巧求切线方程的方法（1）已知切点A（x0，f（x0）），则切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）.（2）已知过点P（x0，y0）（非切点），可设切点为（x1，y1），由y1＝f（x1）,y注意曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点P（x0，y0）的切线”的区别：前者P（x0，y0）为切点，而后者P（x0，y0）不一定为切点.角度2求参数的值或取值范围例3（1）[全国卷Ⅲ]已知曲线y＝aex＋xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x＋b，则（D）A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1解析因为y'＝aex＋lnx＋1，所以y'x＝1＝ae＋1，所以曲线在点（1，ae）处的切线方程为y－ae＝（ae＋1）（x－1），即y＝（ae＋1）x－1，所以ae+1=2，b＝－1（2）[2022新高考卷Ⅰ]若曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.解析因为y＝（x＋a）ex，所以y'＝（x＋a＋1）ex.设切点为A（x0，（x0＋a）ex0），O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y'

x＝x0＝（x0＋a＋1）ex0＝（x0＋a）ex0x0，化简得x02＋ax0－a＝0.因为曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x02＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜方法技巧利用导数的几何意义求参数的方法利用切点处的导数等于切线的斜率、切点在切线上、切点在曲线上列方程（组）求解.训练2（1）[2024广州市中山大学附中月考]过点（3，0）作曲线f（x）＝xex的两条切线，切点分别为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），则x1＋x2＝（D）A.－3 B.－3 C.3 D.3解析因为f（x）＝xex，所以f'（x）＝（x＋1）ex，设切点为（x0，x0exf'（x0）＝（x0＋1）ex0，所以切线方程为y－x0ex0＝（x0＋1）ex0（x－x0），代入（3，0）得－x0ex0＝（x0＋1）ex0（3－x0），即（－x02＋3（－x02＋3x0＋3）ex0＝0有两个不同的根x1，x2，即关于x0的方程－x02＋3x0＋3＝0有两个不同的根x1，x2，由根与系数的关系得x1＋（2）[2024江苏省常州市调考]已知直线2ax－2y－a＝0与曲线y＝ln（2x－1）相切，则实数a＝（A）A.2e B.e2e C.2e 解析设切点为（x0，y0），则y'＝22x－1，故切线方程为y＝22x0－1（x－x0）＋ln（2x0－1），即y＝22x0－1x－2x02x0－1＋ln（2x0－1），由y＝ax－aln（2x0－1）＝0，解得x0＝e+12，所以a＝22x0命题点3与公切线有关的问题例4（1）已知曲线y＝ex在点（x1，ex1）处与曲线y＝lnx在点（x2，lnx2）处的切线相同，则（x1＋1）（x2－1）＝－2解析易知曲线y＝ex在点（x1，ex1）处的切线方程为y－ex1＝ex1（x－x1），即y＝ex1x－ex1x1＋ex1，曲线y＝lnx在点（x2，lnx2）处的切线方程为y－lnx2＝1x2（x－x2），即y＝1x2x－1＋lnx2，于是ex1＝1x2①，ex1－ex1x1＝－1+lnx2②，由①得x2＝1ex1，代入②得ex1－ex1x（2）[全国卷Ⅱ]若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln（x＋1）的切线，则b＝1－ln2.解析设y＝kx＋b与曲线y＝lnx＋2，y＝ln（x＋1）分别相切于点（x1，y1），（x2，y2），则k＝y1－y2x1－x2，即k＝1x1＝1x2+1＝lnx1+2－ln（x2+1）x1－x1＝12，y1＝2－ln2，因为点（12，2－ln2）在直线y＝kx＋b上，所以2－ln2＝2×12＋b，解得b＝方法技巧曲线的公切线问题的求解方法（1）求出两曲线各自的切线方程，利用两曲线的切线重合列方程组求解.（2）设公切线与两曲线y＝f（x），y＝g（x）的切点分别为（x1，f（x1）），（x2，g（x2）），则有f'（x1）＝g'（x2）＝f（x训练3（1）已知函数f（x）＝ax2与g（x）＝lnx的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为12e解析设公共点为P（x0，y0）（x0＞0），则ax02＝lnx0由f（x）＝ax2，得f'（x）＝2ax，由g（x）＝lnx，得g'（x）＝1x因为函数f（x）与g（x）的图象在公共点P（x0，y0）处有共同的切线，所以f'（x0）＝g'（x0），即2ax0＝1x0，得a＝12x02，代入①得12x02·x02＝lnx0，即lnx0＝12，得（2）曲线y＝－1x（x＜0）与曲线y＝lnx的公切线的条数为1解析设（x1，y1）是公切线与曲线y＝－1x（x＜0）的切点，x1＜0，则切线斜率k1（－1x）'

x＝x程为y＋1x1＝1x12（x－x1），整理得y＝1x12·x－2x1①.设（x2，y2）是公切线与曲线y＝lnx的切点，则切线斜率k2＝（lnx）'

x＝x2＝1x2，切线方程为y－lnx2＝1x2（x－由①②得1x12＝1x2，－2x1＝lnx2－1，消去x2得－2x1＝lnx12设t＝－x1＞0，则2lnt－2t－1＝0，只需探究此方程解的个数易知函数f（x）＝2lnx－2x－1在（0，＋∞）上单调递增，f（1）＝－3＜0，f（e）＝1－2e＞0，所以f（x）＝0有唯一解，即2lnt－2t－1＝1.[命题点1]已知f（x）＝（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）（x－5）（x－6），则f'（3）＝－12.解析易得f'（x）＝（x－3）'[（x－1）（x－2）（x－4）（x－5）（x－6）]＋（x－3）·[（x－1）（x－2）（x－4）（x－5）（x－6）]'，则f'（3）＝2×1×（－1）×（－2）×（－3）＝－12.2.[命题点2角度2/2021新高考卷Ⅰ]若过点（a，b）可以作曲线y＝ex的两条切线，则（D）A.eb＜a B.ea＜b C.0＜a＜eb D.0＜b＜ea解析解法一（数形结合法）设切点为（x0，ex0），则切线方程为y－ex0＝ex0（x－x0），因为切线过点（a，b），所以b－ex0＝ex0（a－x0），ex0（1－x0＋a）＝b，则由题意知关于x0的方程ex0（1－x0＋a）＝b有两个不同的解.设f'（x）＝ex（1－x＋a）－ex＝－ex（x－a）.由f'（x）＝0得x＝a，当x＜a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）max＝f（a）＝ea（1－a＋a）＝ea.当x＜a时，a－x＞0，所以f（x）＞0，当x→－∞时，f（x）→0，当x→＋∞时，f（x）→－∞，（提示：判断函数极值点左右两侧的图象特征很重要，需掌握用极限思想判断函数图象的趋势，从而能准确作出草图）则函数f（x）＝ex（1－x＋a）的大致图象如图1所示.因为f（x）的图象与直线y＝b有两个交点，所以0＜b＜ea.故选D. 图1 图2解法二（用图估算法）作出曲线y＝ex，如图2所示，过点（a，b）可以作曲线y＝ex的两条切线，则点（a，b）在曲线y＝ex的下方且在x轴的上方，得0＜b＜ea.故选D.3.[命题点2角度2]若点P（1，a）不在f（x）＝x3－ax的图象上，且过点P仅能作一条直线与f（x）的图象相切，则a的取值范围为（－∞，0）∪（12，＋∞）解析点P（1，a）不在f（x）＝x3－ax的图象上，则f（1）＝1－a≠a，即a≠12.P（1，a）的直线与f（x）＝x3－ax的图象切于点Q（t，t3－at），f'（x）＝3x2－a，则切线的斜率k＝f'（t）＝t3－at－at－1，即3t2－a＝t3－at－atg（t）＝2t3－3t2＋2a仅有1个零点.g'（t）＝6t2－6t，令g'（t）＝0，得t＝0或t＝1，所以g（0）·g（1）＞0，（数形结合可得）即2a（2a－1）＞0，所以a＞12或a＜4.[命题点2/2021新高考卷Ⅱ]已知函数f（x）＝｜ex－1｜，x1＜0，x2＞0，函数f（x）的图象在点A（x1，f（x1））和点B（x2，f（x2））处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则｜AM｜｜BN｜的取值范围是（解析解法一（构造函数法）f（x）＝｜ex－1｜＝ex－1，x≥0f'（x）＝ex，f'（x2）＝ex2；当x＜0时，f'（x）＝－ex，f'（x1）＝－ex1.因为函数f（x）的图象在点A，B处的两条切线互相垂直，所以－ex1ex2＝－1，即ex1＋x2＝1，所以x1＋x2＝0.因为A（x1，1－ex1），B（x2，ex2－1），所以函数f（x）的图象在点A，B处的切线方程分别为y－（1－ex1）＝－ex1（x－x1），y－（ex2－1）＝ex2（x－x2），分别令x＝0，得M（0，x1ex1＋1－ex1），N（0，－x12＋（x1ex1）2（－x1）2＋（－x1e－x解法二（不等式性质法）当x＞0时，f（x）＝ex－1，f'（x）＝ex，所以kBN＝ex同理可得kAM＝－ex1所以ex2（－ex1）＝－1，所以x1＋x所以｜AM｜｜BN｜＝1+因为x2＞0，所以0＜1ex2＜1，即｜AM｜｜5.[命题点3/2023河南省部分重点中学联考]已知函数f（x）＝lnx的图象在点P（1，f（1））处的切线也是函数g（x）＝aex的图象的一条切线，则a＝e－2.解析由f（x）＝lnx，得f（1）＝0，f'（x）＝1x，所以切线的斜率k＝f'（1）＝1，切线方程为y－0＝1·（x－1），即y＝x－1.设直线y＝x－1与函数g（x）＝aex的图象相切于点（x0，y0），易得g'（x）＝aex，则k＝g'（x0）＝aex0＝1，又y0＝g（x0）＝aex0＝x0－1，所以x0＝2，得a学生用书·练习帮P2751.[全国卷Ⅱ]曲线y＝2sinx＋cosx在点（π，－1）处的切线方程为（C）A.x－y－π－1＝0 B.2x－y－2π－1＝0C.2x＋y－2π＋1＝0 D.x＋y－π＋1＝0解析依题意得y'＝2cosx－sinx，y'

x＝π＝2cosπ－sinπ＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2（x－π），即2x＋y－2π＋1＝2.[2024福建泉州模拟]若直线x＋y＋a＝0与曲线y＝x－2lnx相切，则实数a的值为（C）A.0 B.－1 C.－2 D.－3解析由y＝x－2lnx，得y'＝1－2x.设直线x＋y＋a＝0与曲线y＝x－2lnx相切于点（x0，y0），则1－2x3.[易错题]已知函数f（x）＝f'（1）x2＋2x＋2f（1），则f'（2）的值为（D）A.－2 B.0 C.－4 D.－6解析因为f'（x）＝2f'（1）x＋2，所以f'（1）＝2f'（1）＋2，解得f'（1）＝－2，所以f'（x）＝－4x＋2，所以f'（2）＝－6，故选D.4.[全国卷Ⅰ]设函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax.若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（D）A.y＝－2x B.y＝－x C.y＝2x D.y＝x解析解法一因为函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），所以（－x）3＋（a－1）（－x）2＋a（－x）＝－[x3＋（a－1）x2＋ax]，所以2（a－1）x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f（x）＝x3＋x，所以f'（x）＝3x2＋1，所以f'（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x.故选D.解法二因为函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax为奇函数，所以f（－1）＋f（1）＝0，所以－1＋a－1－a＋（1＋a－1＋a）＝0，解得a＝1，所以f（x）＝x3＋x，f'（x）＝3x2＋1，所以f'（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x.故选D.解法三易知f（x）＝x3＋（a－1）x2＋ax＝x[x2＋（a－1）x＋a]，因为f（x）为奇函数，所以函数g（x）＝x2＋（a－1）x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f（x）＝x3＋x，所以f'（x）＝3x2＋1，所以f'（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为y＝x.故选D.5.曲线f（x）＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为（D）A.（1，3） B.（－1，3）C.（－1，3）或（1，1） D.（－1，3）或（1，3）解析设切点P（x0，y0），由f'（x）＝3x2－1，可得切线的斜率k＝f'（x0）＝3x02－1，因为曲线f（x）＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，所以3x02－1＝2，解得x0＝±1，当x0＝1时，可得f（1）＝3，此时P（1，3）；当x0＝－1时，可得f（－1）＝3，此时P（－1，3），综上，点P的坐标为（－1，3）或（16.已知曲线C：f（x）＝x3－3x，直线l：y＝ax－3a，则“a＝6”是“直线l与曲线C相切”的（A）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析由f（x）＝x3－3x，可知f'（x）＝3x2－3.设直线l与曲线C相切，且切点的横坐标为x0，则切线方程为y＝（3x02－3）x－2x03，所以3x02－3=a，2x03＝3a，解得x0＝7.[2024福建省宁德市模拟]曲线y＝－x3＋x2＋8x＋3在某点处的切线的倾斜角为锐角，且该点坐标为整数，则该曲线上这样的切点个数为（C）A.1 B.2 C.3 D.4解析由y＝－x3＋x2＋8x＋3，得y'＝－3x2＋2x＋8，∵曲线y＝－x3＋x2＋8x＋3在某点处的切线的倾斜角为锐角，∴－3x2＋2x＋8＞0，即3x2－2x－8＜0，解得－43＜x＜2.又切点坐标为整数，∴x＝－1，0，1，此时对应的y值也为整数.∴该曲线上这样的切点的个数为3.故选8.[多选]函数f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数为f'（x），若f'（x）＞0，且对∀x1，x2∈R，x1≠x2，总有f（x1）＋f（x2A.f（π）＜f（e）＜f（2）B.f'（π）＜f'（e）＜f'（2）C.f'（1）＜f（2）－f（1）＜f'（2）D.f'（2）＜f（2）－f（1）＜f'（1）解析由f'（x）＞0，得f（x）在R上单调递增，因为π＞e＞2，所以f（π）＞f（e）＞f（2），故A不正确；对∀x1，x2∈R，x1≠x2，总有f（x1）＋ff'（x）表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着x的增大，f（x）的图象上升得越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f'（π）＜f'（e）＜f'（2），故B正确；又f（2）－f（1）＝f（2）－f（1）2－1表示点（1，f（1））与点（2，f（2））连线的斜率，结合图象可知f'（2）＜f（2）－f（1）＜f9.[2024河南省名校调考]已知幂函数f（x）＝（m2－6m＋9）xm满足f'（1）＝2，则f（2）＝4.解析由幂函数的定义可得m2－6m＋9＝1，解得m＝2或m＝4，当m＝2时，f（x）＝x2，f'（x）＝2x，f'（1）＝2，符合题意；当m＝4时，f（x）＝x4，f'（x）＝4x3，f'（1）＝4，不符合题意.故f（x）＝x2，f（2）＝4.10.[新高考卷Ⅰ]已知函数f（x）＝aex－1－lnx＋lna.（1）当a＝e时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f（x）≥1，求a的取值范围.解析f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝aex－1－1x（1）当a＝e时，f（x）＝ex－lnx＋1，f'（1）＝e－1，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y－（e＋1）＝（e－1）（x－1），即y＝（e－1）x＋2.直线y＝（e－1）x＋2在x轴，y轴上的截距分别为－2e－1，因此所求三角形的面积为2e－1（2）当0＜a＜1时，f（1）＝a＋lna＜1.当a＝1时，f（x）＝ex－1－lnx，f'（x）＝ex－1－1x.当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0.所以当x＝1时，f（x）取得最小值，最小值为f（1）＝1，从而f（x）≥当a＞1时，f（x）＝aex－1－lnx＋lna＞ex－1－lnx≥1.综上，a的取值范围是[1，＋∞）.11.[条件创新]已知曲线y＝lnx在x＝x0处的切线经过点（－1，0），则x0的大致范围是（参考数据：e≈2.718，e2≈7.389）（C）A.（2，e） B.（e，3） C.（3，4） D.（4，5）解析∵y'＝1x，∴曲线y＝lnx在x＝x0处的切线方程是y－lnx0＝1x0·（x－x0），由切线经过点（－1，0），得1x0－lnx0＋1＝0.令g（x）＝1x－lnx＋1（x＞∵g（3）＝43－ln3＝lne4－ln273＞ln72－ln273＞0，g（4）＝54－ln4＝lne512.[2024南昌市模拟]若函数f（x）＝cosx，a∈（π2，π]，则函数f（x）在[π2，a]上平均变化率的取值范围为（BA.（－1，0] B.（－1，－2π]C.（－∞，0] D.（－∞，－2π解析记平均变化率为g（a），则g（a）＝cosa－cosπ2a－π2＝cosaa－π2，g'（a）＝（π2－a）·sina－cosa（a－π2）2.记h（a）＝（π2－a）sina－cosa，则h'（a）＝（π2－a）cosa.∵a∈（π2，π]，∴h'（a）＞0，∴h（a）在（π2，π]上单调递增，∴h（a）＞（π2－π2）sinπ2－cosπ2＝0，∴g'（－sinx，∴当a→π2时，g（a）→f'（π2）＝－sinπ2＝－1，∴a∈（－1，－2π13.[多选/2024惠州市一调]若过点P（1，λ）可作3条直线与函数f（x）＝（x－1）ex的图象相切，则实数λ的值可以是（BC）A.－4e B.－2e C.－1e解析设切点坐标为（x0，（x0－1）ex0），因为f'（x）＝xex，所以f'（x0）＝x0ex0，切线方程为y－（x0－1）ex0＝x0e又切线过P（1，λ），所以λ－（x0－1）ex0＝x0ex0（1－x0），整理得λ＝－ex0（x02－2x0＋1）.令g（x）＝－ex（x2－2x＋1），则g'（x）＝－ex（x2－1），由g'（x）＝0得x＝±1，当x＜－1或x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当－1＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增.故当x＝－1时，g（x）取得极小值g（－1）＝－4e；当x＝1时，g（x）取得极大值g（1）＝0.由g（x）＝－ex（x－1）2可知，当x≠1时，g（x）＜0，所以函数g（x）的大致图象如图，由图可知，当－4e＜λ＜0时，直线y＝λ与函数g（x）的图象有3个交点，此时过点P（1，λ）可作3条直线与函数f（x）＝（x－1）14.曲线y＝x2－lnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是2.解析设曲线在点P（x0，y0）（x0＞0）处的切线与直线x－y－2＝0平行，则切线的斜率k＝2x0－1x0＝1，∴x0＝1，y0＝1，则P（1，1），则曲线y＝x2－lnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝｜115.[2021全国卷乙节选]已知函数f（x）＝x3－x2＋ax＋1.求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标.解析记曲线y＝f（x）过坐标原点的切线为l，切点为P（x0，x03－x02＋ax0因为f'（x0）＝3x02－2x0＋a，所以切线l的方程为y－（x03－x02＋ax0＋1）＝（3x02－2x0＋