新教材同步备课2024春高中数学课时分层作业25圆柱圆锥圆台的表面积和体积新人教A版必修第二册

课时分层作业(二十五)圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积一、选择题1．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是()A．1∶2 B．2∶3C．1∶3 D．1∶42．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为()A．7 B．6C．5 D．33．假如圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面绽开图扇形的圆心角为()A．120° B．150°C．180° D．210°4．在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，现以AB所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为()A．24π B．21πC．33π D．39π5．(多选)如图是一个圆台的侧面绽开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和9，且∠ABC＝120°，则该圆台的(A．高为42B．体积为502C．表面积为34πD．上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶9∶22二、填空题6．表面积为3π的圆锥，它的侧面绽开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．7．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)8．如图所示的几何体是一棱长为4的正方体，若在其中一个面的中心位置上，挖一个直径为2、深为1的圆柱形的洞，则挖洞后几何体的表面积是________．三、解答题9．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．10．将半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是()A．524πR3 B．58πC．324πR3 D．38π11．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台．如图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的体积约为()A．100cm3 B．200cm3C．300cm3 D．400cm312．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为()A．210 B．25C．3 D．213．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．14．如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其中有一个高为xcm的内接圆柱．(1)试用x表示圆柱的侧面积；(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？恳求出这个最大值．15．某养路处建立圆锥形仓库用于贮藏食盐(供溶化高速马路上的积雪用)．已建的仓库的底面直径为12m，高为4m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4m(高不变)；二是高度增加4m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪种方案更经济？课时分层作业(二十五)1．B[设正方形边长为1，则S侧＝2π×12×1＝π，S表＝S侧＋2S底＝π＋2π·122＝32π．所以S侧∶S表2．D[设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r．由S侧＝7π(r＋3r)＝84π，解得r＝3．]3．C[设圆锥的底面半径为r，母线长为l，侧面绽开图扇形的圆心角为θ，依据条件得πrl＋πr2＝3πr2，即l＝2r．又由弧长公式得θπl180＝2πr，解得θ＝4．A[因为在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，所以△ABC是以∠B为直角的直角三角形，故以AB所在直线为轴旋转一周得到的几何体为圆锥，所以圆锥的底面半径为3，母线长为5，所以底面周长为6π，侧面积为12×6π×5＝15π，所以几何体的表面积为15π＋π×32＝24π．故选5．AC[设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2πr＝13×2π×3，2πR＝13×2π×9，解得r＝1，R＝3．圆台的母线长l＝6，圆台的高为h＝62-3-圆台的体积＝13π×42×32+3×1+1圆台的上底面积为π，下底面积为9π，侧面积为π1+3×6＝24π，则圆台的表面积为π＋9π＋24π＝34π，则C正确；由前面可知上底面积、下底面积和侧面积之比为1∶9∶24，则选项D错误．故选AC．]6．2[设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，由题意可知，πrl＋πr2＝3π，且πl＝2πr．解得r＝1，即直径为2．]7．3[圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量为π3102+108．96＋2π[原正方体的表面积为4×4×6＝96，圆柱的侧面积为2π×1＝2π，则挖洞后几何体的表面积为96＋2π．]9．解：将四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周形成一个被挖去一个圆锥的圆台，如图．由题意可得CD＝22，AD＝2，CE＝ED＝2，AB＝5，AE＝4，BC＝5，所以几何体的表面积为S＝π·EC·DC＋π(EC＋AB)·BC＋π·AB2＝42π＋35π＋25π＝60π＋42π，几何体的体积为V＝13π·(CE2＋AB2＋CE·AB)·AE－13π·CE2·DE＝52π－83π10．C[设圆锥的底面半径为r，则2πr＝πR，所以r＝R2．所以圆锥的高h＝R2-r所以圆锥的体积V＝13πr2×h＝13πR22×32R＝32411．C[由题图可知，石瓢壶的体积V＝13π×6×(32＋52＋3×5)＝98π≈300(cm3)．故选12．A[圆柱的侧面绽开图如图，圆柱的侧面绽开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，AC＝22+62＝2]13．7[设新的底面半径为r，则有13×πr2×4＋πr2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r＝14．解：(1)在△POB中，DBD1D＝OBPO，即∴DB＝13x，∴OD＝OB－DB＝2－13∴圆柱的侧面积S＝2π·OD·D1D＝2π2-13xx＝2π3(6－x)x(2)由(1)知S＝2π3(6－x)·x＝－2π3(x－依据二次函数的性质得，当x＝3时，圆柱的侧面积最大，最大值为6πcm2．15．解：(1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V1，V2．方案一：仓库的底面直径变成16m，则其体积V1＝13×π×1622×4＝2563方案二：仓库的高变成8m，则其体积V2＝13×π×1222×8＝96π(m(2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S1，S2．方案一：仓库的底面直径变成1