华东师大版初中数学九年级上册24-4解直角三角形第3课时坡角问题与其他问题课件

第24章解直角三角形24.4解直角三角形第3课时坡角问题与其他问题知识点4解直角三角形的应用——坡度与坡角问题基础过关全练1.(2024湖南衡阳船山实验中学期末)如图,河堤横断面迎水坡AB的坡度是1∶

,AC=5

m,则坡面AB的长度是

m.

10解析∵迎水坡AB的坡度是1∶

,∴

=

,∵AC=5

m,∴BC=5m,∴AB=

=10m.2.(2023黑龙江大庆中考)某风景区观景缆车路线如图所示,缆车从点A出发,途经点B后到达山顶P,其中AB=400米,BP=200米,且AB段的运行路线与水平方向的夹角为15°,BP段的运行路线与水平方向的夹角为30°,求垂直高度PC.(结果精确到1米,参考数据:sin15°≈0.259,cos15°≈0.966,tan15°≈0.268)

解析如图,过点B作BD⊥PC,垂足为D,过点B作BE⊥AC,垂

足为E,由题意得CD=BE,在Rt△ABE中,∠A=15°,AB=400米,

∴BE=AB·sin15°≈400×0.259=103.6(米),∴CD=BE=103.6米,

在Rt△BDP中,∠PBD=30°,BP=200米,∴DP=

BP=100(米),∴PC=PD+DC≈204(米),∴垂直高度PC约为204米.知识点5其他问题3.(2023吉林长春中考)学校开放日即将来临,负责布置的林

老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面,如

图所示.已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC=25°),彩旗绳

固定在地面的位置与图书馆相距32米(即AC=32米),则彩旗

绳AB的长度为(

)D

A.32sin25°米

B.32cos25°米C.

米

D.

米解析由题意知AC=32米,∠A=25°,在Rt△ABC中,∵cosA=

,∴AB=

=

米.4.(跨学科·语文)(2024福建福州鼓楼屏东中学二模)周末,刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上,忽复乘舟梦日边.”邀约好友一起去江边垂钓.如图,钓鱼竿AC的长为4m,露在水面上的渔线BC的长为2

m,刘老师想看看鱼钩上的情况,把鱼竿AC移到AC'的位置,此时,∠CAC'=15°,则此时露出水面的渔线B'C'的长度是

(

)C

A.3m

B.2

m

C.2

m

D.3

m解析在Rt△ABC中,AC=4m,BC=2

m,∴sin∠CAB=

=

=

,∴∠CAB=45°,∵∠CAC'=15°,∴∠C'AB=∠C'AC+∠CAB=60°,在Rt△C'AB'中,AC'=4m,∴C'B'=AC'·sin60°=4×

=2

(m),∴露出水面的渔线B'C'的长度是2

m.5.(2023江苏盐城中考)如图1,位于市区的“铁军”雕塑“大

铜马”是盐城市标志性文化名片,如图2,线段AB表示“铁

军”雕塑的高,点B,C,D在同一条直线上,且∠ACB=60°,∠

ADB=30°,CD=17.5m,则线段AB的长约为

m.(计算

结果保留整数,参考数据:

≈1.7)15图1图2解析∵∠ACB=60°,∠ADB=30°,∠ACB=∠ADB+∠CAD,∴

∠CAD=30°,∴∠ADB=∠CAD,∴AC=CD=17.5m,∵∠ABC=

90°,∠ACB=60°,∴AB=AC·sin∠ACB=17.5×

≈15(m).6.(2023浙江台州中考)教室里的投影仪投影时,可以把投影

光线CA,CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示

的△ABC,∠BAC=90°,黑板上投影图像的高度AB=120cm,CB

与AB的夹角∠B=33.7°,求AC的长.(结果精确到1cm.参考数

据:sin33.7°≈0.55,cos33.7°≈0.83,tan33.7°≈0.67)

解析在Rt△ABC中,AB=120cm,∠BAC=90°,∠B=33.7°,tanB

=

,∴AC=AB·tan33.7°≈120×0.67=80.4≈80(cm),即AC的长约为

80cm.能力提升全练7.(2023湖北十堰中考,7,★★☆)如图所示,有一天桥AB高5

米,BC是通向天桥的斜坡,∠ACB=45°,市政部门启动“陡改

缓”工程,决定将斜坡的底端C延伸到D处,使∠D=30°,则CD

的长度约为(参考数据:

≈1.414,

≈1.732)

(

)

DA.1.59米

B.2.07米

C.3.55米

D.3.66米解析在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=45°,∴∠ABC=45°=∠ACB,∴AC=AB=5米,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠D=30°,

∴tanD=tan30°=

=

,∴AD=

AB,∴CD=AD-AC=

AB-AC≈1.732×5-5=3.66(米),∴CD的长度约为3.66米.8.(情境题·数学文化)(2023浙江杭州中考,10,★★☆)第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图,在由四个全等的直角三角形

(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个小正方形EFGH

拼成的大正方形ABCD中,∠ABF>∠BAF,连结BE.设∠BAF=

α,∠BEF=β,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为

1∶n,tanα=tan2β,则n=

(

)C

A.5

B.4

C.3

D.2解析设AE=a,DE=b,则BF=a,AF=b,EF=b-a,∴tanα=

,tanβ=

,∵tanα=tan2β,∴

=

,∴(b-a)2=ab,∴a2+b2=3ab,∵a2+b2=AD2=S正方形ABCD,(b-a)2=S正方形EFGH,∴S正方形EFGH∶S正方形ABCD=

ab∶3ab=1∶3,∵S正方形EFGH∶S正方形ABCD=1∶n,∴n=3.9.(新考向·开放型试题)(2024江苏盐城盐都康居路初中教育集团二模,20,★☆☆)已知△ABC为钝角三角形,其中∠A>90°,有下列条件:①AB=10;②AC=6

;③tanB=

;④tanC=

.(1)你认为从中至少选择

个条件,可以求出BC边的

长;(2)你选择的条件是

(填序号),写出求BC边的长的解

答过程.解析

(1)根据解直角三角形的条件可知,至少选择3个条件,

可以求出BC边的长.(2)答案不唯一,如:选择①②④.理由:如图,过点A作AD⊥BC

于点D,设AD=x,∵tanC=

,∴

=

,∴CD=2x,∵AC=6

,∴根据勾股定理得x2+(2x)2=(6

)2,解得x=6或x=-6(不合题意,舍去),∴AD=6,CD=2x=12,∵AB=10,∴根据勾股定理得BD=

=8,∴BC=CD+BD=12+8=20.素养探究全练10.(应用意识)(2024吉林长春汽开区二模)“日照间距系数”

反映了房屋日照情况.如图1,当前后房屋都朝向正南时,日照

间距系数=L∶(H-H1),其中L为楼间水平距离,H为南侧楼房高

度,H1为北侧楼房底层窗台至地面高度,如图2,山坡EF朝北,

EF长15m,其坡度为1∶0.75,山坡顶部平地EM上有一高为24.3m的楼房AB,底部A到E点的距离为5m.欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD,已知该楼底层窗台P处至地面

C处的高度为1.1m,要使该楼的日照间距系数不低于1.25,底

部C距F处至少多远?

图1

图2解析如图,过点E作EQ⊥NF,交NF的延长线于点Q,∵山坡

EF坡度为1∶0.75,∴

=

=

,设EQ=4xm,则FQ=3xm,∴EF=

=5xm,∵EF=15m,∴5x=15,解得x=3,∴EQ=4x