华东师大版初中数学九年级上册专项素养巩固训练卷(八)化斜为直解三角形的常见类型练课件

九年级上册

数学华东师大版专项素养巩固训练卷(八)化斜为直解三角形的常见类型(练模型)类型一分割构造直角三角形(一)背靠背型1.(2023西藏中考,25,★☆☆)如图,轮船甲和轮船乙同时离开海港O,轮船甲沿北

偏东60°方向航行,轮船乙沿东南方向航行,2小时后,轮船甲到达A处,轮船乙到达

B处,此时轮船甲正好在轮船乙的正北方向.已知轮船甲的速度为每小时25海里,

求轮船乙的速度.(结果保留根号)

对应目标编号M9124006

解析如图,过O作OD⊥AB于D,在Rt△AOD中,∠AOD=90°-60°=30°,OA=25×2=50(海里),∴OD=OA·cos30°=50×

=25

(海里),在Rt△ODB中,∠DOB=45°,∴OB=

OD=25

×

=25

(海里),∴轮船乙的速度为

海里/小时.2.(2023内蒙古呼和浩特中考,18,★☆☆)如图所示,小明上学途中要经过A,B两

地,由于A,B两地之间有一片草坪,所以需要走路线AC,CB.小明想知道A,B两地

间的距离,测得AC=50m,∠A=45°,∠B=40°,请帮小明求出A、B两地间的距离.

(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可)

解析过C作CH⊥AB于H,如图,在Rt△ACH中,∠A=45°,AC=50m,∴AH=CH=AC·cosA=50×

=25

(m),在Rt△BCH中,∠B=40°,CH=25

m,∴BH=

=

m,∴AB=AH+BH=

m,∴A、B两地间的距离为

m.(二)母子型3.(2023湖南张家界中考,20,★☆☆)“游张家界山水,逛七十二奇楼”成为今年

旅游新特色.某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度,测量方案如图,先将

无人机垂直上升至距水平地面225m的P点,测得奇楼顶端A的俯角为15°,再将无

人机沿水平方向飞行200m到达点Q,测得奇楼底端B的俯角为45°,求奇楼AB的

高度.(结果精确到1m,参考数据:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)

对应目标编号M9124006

解析如图,延长BA交PQ的延长线于C,则∠ACQ=90°,由题意得BC=225m,PQ=200m,在Rt△BCQ中,∠BQC=45°,∴CQ=BC=225m,∴

PC=PQ+CQ=425m,在Rt△PCA中,∴AC=tan∠APC·PC≈0.27×425=114.75(m),

∴AB=BC-AC=225-114.75=110.25≈110(m),故奇楼AB的高度约为110m.4.(2024山东青岛二模,18,★★☆)为了响应国家“双减”政策,适当改变作业的

方式,某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动.如图,大楼的顶部竖有一块

广告牌CD,同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°,沿坡面AB

向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°,已知山坡AB的坡度i=1∶

,AB=12米,AE=27米,求广告牌CD的高度.

测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米,参考数据:

≈1.41,

≈1.73,sin53°≈

,cos53°≈

,tan53°

≈

解析如图,过点B作BM⊥AE,BN⊥CE,垂足分别为M,N,

∵i=1∶

=

=

=tan∠BAM,∴∠BAM=30°,∴AM=

AB=6

米,∴ME=AM+AE=(6

+27)米,∵∠CBN=45°,∴CN=BN=ME=(6

+27)米,∴CE=CN+NE=(6

+33)米,在Rt△ADE中,∠DAE=53°,AE=27米,∴DE=AE·tan53°≈27×

=36(米),∴CD=CE-DE=6

+33-36=6

-3≈10.38-3≈7.4(米),故广告牌CD的高约为7.4米.类型二填补构造直角三角形5.(2023陕西师大附中期末,23,★★☆)如图,小明家对面有一个山坡,一根电线杆

PQ直立在山坡上,小明想用学过的数学知识测量电线杆的高度,设计了如下方

案:小明在家门口小广场点A处,利用测倾器测得电线杆顶端点P的仰角∠PCE=45°,从点A朝着CE方向走8米到达B点,测得电线杆顶端点P的仰角∠PDE=60°,电

线杆底端点Q的仰角∠QDE=30°,计算电线杆PQ的高度(已知:测倾器的高度AC=

BD,AC⊥AB,BD⊥AB,PQ⊥AB,结果保留根号).

解析如图,作DH⊥PQ交PQ的延长线于H,设PQ=x米,∵∠PDE=60°,∠EDQ=30°,∴∠PDQ=∠PDE-∠EDQ=60°-30°=30°,∠DPQ=90°-∠PDE=90°-60°=30°,∴∠DPQ=∠PDQ,∴DQ=PQ=x米,∴QH=

DQ=

x(米),∴P