华东师大版初中数学九年级上册22-2一元二次方程的解法第5课时一元二次方程的根与系数的关系课件

九年级

上册华东师大版初中数学第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第5课时一元二次方程的根与系数的关系知识点6一元二次方程的根与系数的关系基础过关全练1.(2023天津中考)若x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,则

(

)A.x1+x2=6

B.x1+x2=-6C.x1x2=

D.x1x2=7A解析∵x1,x2是方程x2-6x-7=0的两个根,∴x1+x2=6,x1x2=-7.2.(一题多解)(2022四川乐山中考)关于x的一元二次方程3x2-2

x+m=0有两个根,其中一个根为x=1,则这两根之积为

(

)A.

B.

C.1

D.-

D解析解法1(利用方程解的定义):∵方程的其中一个根是x=

1,∴3-2+m=0,解得m=-1,∴两根之积为-

.解法2(利用根与系数的关系):设另一个实数根为x2,依题意可

得1+x2=

,解得x2=-

,∴两根之积为-

.3.(整体思想)(2023山东菏泽中考)一元二次方程x2+3x-1=0的

两根为x1,x2,则

+

的值为

(

)A.

B.-3

C.3

D.-

C解析∵一元二次方程x2+3x-1=0的两根为x1,x2,∴x1+x2=-3,x1

x2=-1,∴

+

=

=

=3.4.(新独家原创)张老师在整理授课素材时,不小心将两滴墨

水滴到了一道一元二次方程题上:●x2+4x+●=0.已知该方程

的正确解是x1=

,x2=-

,则该一元二次方程的二次项系数及常数项分别是

.4,-3解析设原方程为ax2+4x+c=0,∵x1=

,x2=-

,∴x1+x2=

-

=-1=-

,x1x2=-

=

,∴a=4,c=-3,故该一元二次方程的二次项系数及常数项分别为4,-3.5.若一元二次方程2x2+3x-5=0的两个实数根分别是x1、x2,则

+

的值是

.解析∵x1+x2=-

,x1x2=-

,∴

+

=(x1+x2)2-2x1x2=

-2×

=

+5=

.6.(2024吉林长春宽城期中)若关于x的一元二次方程(m-1)x2+

2x+m2-1=0有一个根为0,则另一个根为

.1解析把x=0代入(m-1)x2+2x+m2-1=0得m2-1=0,解得m1=1,m2=-1,∵m-1≠0,∴m=-1,∴原方程为-2x2+2x=0,解得x1=0,x2=1.7.(2024湖南衡阳蒸湘模拟)已知关于x的一元二次方程x2-6x+

2m-1=0有两个实数根x1,x2.(1)若x1=1,求x2及m的值.(2)是否存在实数m,满足(x1-1)(x2-1)=

?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.解析

(1)根据题意得Δ=(-6)2-4(2m-1)≥0,解得m≤5,∵x1+x2=

6,x1x2=2m-1,x1=1,∴1+x2=6,x2=2m-1,∴x2=5,m=3.(2)存在.∵(x1-1)(x2-1)=

,∴x1x2-(x1+x2)+1=

,即2m-1-6+1=

,整理得m2-8m+12=0,解得m1=2,m2=6,经检验m1=2,m2=6为方程(x1-1)(x2-1)=

的解,∵m≤5且m≠5,∴m=2.8.(2023四川乐山中考,7,★☆☆)若关于x的一元二次方程x2-8

x+m=0的两根为x1、x2,且x1=3x2,则m的值为

(

)A.4

B.8

C.12

D.16能力提升全练C解析∵一元二次方程x2-8x+m=0的两根为x1、x2,∴x1+x2=8,

∵x1=3x2,∴x1=6,x2=2,∴x1x2=m=6×2=12.9.(整体思想)(2023四川泸州中考,10,★★☆)若一个菱形的两

条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2-10x+m=0的两个

实数根,且其面积为11,则该菱形的边长为

(

)A.

B.2

C.

D.2

C解析设该菱形的两条对角线长分别为a、b,依题意可得

ab=11,即ab=22,∵a+b=10,∴菱形的边长=

=

×

=

×

=

=

=

.10.(2024吉林省实验中学模拟,8,★★☆)关于x的方程(x-1)(x+

2)=p2(p为常数)的根的情况,下列结论正确的是

(

)A.两个正根B.两个负根C.两根异号,且正根的绝对值较大D.两根异号,且负根的绝对值较大D解析∵(x-1)(x+2)=p2,∴x2+x-2-p2=0,∴b2-4ac=1+8+4p2=9+4

p2>0,∴方程有两个不相等的实数根,∵x1x2=-2-p2<0,x1+x2=-1,

∴方程的两根异号,且负根的绝对值较大.11.(2023四川内江中考,22,★★☆)已知a、b是方程x2+3x-4=0

的两根,则a2+4a+b-3=

.-2解析∵a是方程x2+3x-4=0的根,∴a2+3a-4=0,∴a2=-3a+4,∵a、b是方程x2+3x-4=0的两根,∴a+b=-3,∴a2+4a+b-3=-3a+4+

4a+b-3=a+b+1=-3+1=-2.12.(易错题)(2023湖南岳阳中考,14,★★☆)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根x1、x2,且x1+x2+x1x2=2,则实数m=

.3解析∵原方程有两个不相等的实数根,∴Δ=(2m)2-4×1×(m2

-m+2)>0,∴m>2.∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-

m+2=0的两个实数根,∴x1+x2=-2m,x1x2=m2-m+2,∵x1+x2+x1x2=

2,∴-2m+m2-m+2=2,解得m1=0(不符合题意,舍去),m2=3,∴实数

m=3.易错警示

利用根与系数的关系求方程中未知参数的值时,未知参

数的值应使根的判别式为非负数,即保证两根的存在.13.(2023内蒙古通辽中考,25,★★☆)阅读材料:材料1:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数

根x1,x2和系数a,b,c,有如下关系:x1+x2=-

,x1x2=

.材料2:已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,

求m2n+mn2的值.解:∵m,n是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根,∴m+n=1,mn

=-1,则m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1.根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:(1)应用:一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x1,x2,则x1+x

2=

,x1x2=

;(2)类比:已知一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为m,n,

求m2+n2的值;(3)提升:已知实数s,t满足2s2+3s-1=0,2t2+3t-1=0且s≠t,求

-

的值.解析

(1)∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两个根为x1,x2,∴x1+x2

=-

,x1x2=-

.(2)∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为m,n,∴m+n=-

,mn=-

,∴m2+n2=(m+n)2-2mn=

+1=

.(3)∵实数s,t满足2s2+3s-1=0,2t2+3t-1=0,且s≠t,∴s,t是一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根,∴s+t=-

,st=-

,∵(t-s)2=(t+s)2-4st=

-4×

=

,∴t-s=±

,∴

-

=

=

=±

.14.(运算能力)(2024河南南阳新野模拟)x1,x2是一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,若满足|x1-x2|=1,则此类方程

称为“差根方程”.根据“差根方程”的定义,解决下列问

题:(1)通过计算,判断下列方程是不是“差根方程”:①x2-4x-5=0;②2x2-2

x+1=0.素养探究全练(2)已知关于x的方程x2+2ax=0是“差根方程”,求a的值.(3)若关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a>0)是“差根方程”,请探索a与b之间的数量关系式.解析

(1)①设x1,x2是一元二次方程x2-4x-5=0的两个实数根,

则x1+x2=4,x1x2=-5,∴|x1-x2|=

=

=6,∴方程x2-4x-5=0不是“差根方程”.②设x1,x2是一元二次方程2x2-2

x+1=0的两个实数根,则x1+x2=

,x1x2=

,∴|x1-x2|=

=

=1,∴方程2x2-2

x+1=0是“差根方程”.(2)将x2+2ax=0因式分解得x(x+2a)=0,解得x1=0,x2=-2a,∵关于x

的方程x2+2ax=0是“差根方程”,∴2a=±1,即a=±

.(3)设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a>0)的两个

实数根,∴x1+x2=-

,x1x2=

,∵关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a>0)是“差根方程”,∴|x1-x2|=

=1,即

=1,∴b2=a2+4a.微专题3

根据一元二次方程的根与系数的关系构造方程1.已知x1,x2是一元二次方程x2+3x-5=0的两根,求以x1+2和x2+2

为根的一个一元二次方程.解析根据题意得x1+x2=-3,x1x2=-5,∴x1+2+x2+2=1,(x1+2)(x2+

2)=x1x